O BACCALAURÉAT BLANC B LI G AT O IR E
SESSION 2018
MATHÉMATIQUES
Série : ES/L OBLIGATOIRE Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficients : 5 pour les ES et 4 pour les L
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de QUATRE exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
5 points Commun à tous les candidats
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D
b b
b
P
R
Q
C
x y
e
La courbe C tracée ci-contre dans un repère orthonormé d’origine O est la représentation graphique d’une fonc- tion f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; 10]. On considère les points P (1 ; 3) et R (4 ; 6). Le point Q a pour abscisse e, avec e ≈2,718.
Les points P et Q appartiennent à la courbeC. La droite D est parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point Q.
La droite (PR) est tangente à la courbe C au point P et la droite D est tangente à la courbe C au point Q.
On rappelle quef′ désigne la fonction dérivée de la fonc- tion f.
Les parties A etB sont indépendantes.
Partie A Dans cette partie, les résultats seront donnés à l’aide d’une lecture graphique et avec justification.
1. Parmi les trois propositions ci-dessous, quelle est celle qui désigne l’équation de la droite (PR) ?
a. y= 2x+ 1 b. y =x+ 2 c. y = 2x+ 2
2. Donner les valeurs de f(1) et f′(1).
3. Encadrer l’intégrale Z 2
1
f(x)dx par deux entiers consécutifs.
Partie B La courbe C est la représentation graphique de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 10] par : f(x) = −xlnx+ 2x+ 1.
1. a. Calculer f′(x).
b. Démontrer que la fonction f admet un maximum sur l’intervalle ]0 ; 10].
c. Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction f sur ce même intervalle.
2. a. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [e ; 10].
b. Donner une valeur approchée à 10−2 près de cette solution.
3. On admet que la fonctionF définie parF(x) =−x2
2 lnx+5
4x2+x−7 est une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ; 10]. Calculer la valeur exacte de
Z 2 1
f(x)dx.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 10] par :
f(x) = 4e−0,5x+1+x−1
On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 10] et on note f′ sa fonction dérivée.
On donne en annexe, à remettre avec la copie, la courbe représentative C de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 10]
dans un repère d’origine O.
Partie A
1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle [1 ; 10] on a : f′(x) =−2e−0,5x+1+ 1.
2. a. Montrer que sur l’intervalle [1 ; 10], l’équation f′(x) = 0 admet pour unique solution le nombre α= 2 + 2 ln 2.
b. Placer sur le graphique fourni en annexe le point de la courbe C d’abscisse α.
3. On admet que l’ensemble des solutions sur l’intervalle [1 ; 10] de l’inéquation f′(x)>0 est [2 + 2 ln 2 ; 10].
En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 10].
Partie B
L’entreprise COQUE EN STOCK fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable.
Son usine est en mesure de produire entre 100 et 1000 coques par jour.
La fonctionf permet de modéliser le coût de production d’une coque en fonction du nombre de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si x désigne le nombre de centaines de coques produites alorsf(x)représente le coût, en euros, de production d’une coque.
1. Calculer, au centime près, le coût de production d’une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour.
2. a. Montrer que produire339 coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production.
b. En déduire le coût minimal de production d’une coque, en euros, au centime près.
Partie C
Le prix de vente d’une coque peut être modélisé par la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; 10] par :
g(x) =−1 4x+ 6
où x désigne le nombre de centaines de coques produites et g(x)le prix de vente d’une coque en euros.
Estimer les quantités de coques à produire par jour afin d’assurer un bénéfice à l’entreprise.
5 points Commun à tous les candidats
Le gérant d’un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures.
Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l’UNESCO et l’hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l’indique le tableau ci-dessous :
Année 1997 1998 1999 2000
Nombre de clients 950 1 105 2 103 2 470
1. Déterminer le pourcentage d’augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000.
Par ailleurs, depuis le 1er janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l’hôtel compte 1 200 nouveaux clients et que 70 % des clients de l’année précédente reviennent.
On modélise cette situation par une suite (un) oùun représente le nombre total de clients de l’hôtel durant l’année 2000 +n.
On a ainsi u0 = 2 470 et, pour tout entier natureln, on a un+1 = 0,7un+ 1 200.
2. Déterminer le nombre total de clients durant l’année 2001.
3. Le gérant de l’hôtel souhaite déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera 3 900.
Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l’année correspondante.
Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3
U ←−2 470 N ←−0
Tant queU <3 900 U ←−0,7×U+ 1 200 N ←−N+ 1
Fin tant que Afficher 2000 +N
U ←−2 470 N ←−0
Tant queU >3 900 U ←−0,7×U+ 1 200 N ←−N+ 1
Fin tant que Afficher 2000 +N
U ←−2 470 N ←−0
Tant que U <3 900 U ←−0,7×U+ 1 200 N ←−N+ 1
Fin tant que AfficherU
4. On considère la suite (vn) définie pour tout entier natureln par vn=un−4 000.
a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raisonq = 0,7 et préciser le premier terme.
b. Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.
c. Justifier que un = 4 000−1 530×0,7n pour tout entier naturel n.
d. Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé 3 900(la détermination du résultat par le calcul sera valorisée).
5. À long terme, déterminer le nombre de clients que le gérant de l’hôtel peut espérer avoir chaque année.
Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s’est déroulée en deux temps : – premier temps : étude du dossier présenté par le candidat ;
– deuxième temps : entretien en vue du recrutement.
Le processus de recrutement mis en oeuvre par l’entreprise est le suivant :
• si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines ;
• si le dossier n’est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l’entreprise.
Dans les deux cas, à l’issue de l’entretien, le candidat est recruté ou ne l’est pas.
À l’issue de cette campagne de recrutement, l’entreprise publie les résultats suivants :
• 30 % des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité ;
• 20 % des candidats n’ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés ;
• 38 % des candidats ont été recrutés.
1. On prend un candidat au hasard et on note :
• D l’évènement le candidat a un dossier jugé de bonne qualité ;
• R l’évènement le candidat est recruté par l’entreprise .
a. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré que l’on complétera au fur et à mesure.
b. Calculer la probabilité que le candidat n’ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l’entreprise.
c. Montrer que la probabilité de l’événement D∩R est égale à 0,24.
d. En déduire en justifiant la probabilité qu’un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité. Compléter l’arbre pondéré réalisé dans la question a.
2. Dix personnes postulent pour un emploi dans l’entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne parX la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes.
a. Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres n= 10 et p= 0,38.
b. Calculer la probabilité qu’au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à 10−3.
3. Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines.
Coralie arrive à 8 h 30 alors qu’Aymeric arrive au hasard entre 8 h et 9 h.
On désigne par T la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée d’Aymeric et on admet que T suit la loi uniforme sur l’intervalle [8 ; 9].
ANNEXE
À remettre avec la copie
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C
x y
O
