EXERCICE1 5 points Commun à tous les candidats
PARTIE A
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−10 ; 30] par
f(x)=5+xe0,2x−1.
On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet inter- valle.
1. Soitf′la fonction dérivée de la fonctionf.
Montrer que, pour tout réelxde l’intervalle [−10 ; 30], f′(x)=(0,2x+1)e0,2x−1. 2. En déduire le sens de variation def sur l’intervalle [−10 ; 30].
3. Justifier que l’équation f(x)=80 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [0 ; 20] et donner un encadrement deαà 0,1 près.
4. SoitF la fonction définie sur [−10 ; 30] par
F(x)=5(x−5)e0,2x−1+5x.
a. Montrer queF est une primitive de f dans l’intervalle [−10 ; 30].
b. Calculer la valeur exacte deI= Z10
5 f(x) dx.
PARTIE B
En 2010, un styliste a décidé d’ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d’abord dans son pays d’origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.
Il a utilisé la fonction f définie dans la partie A mais seulement sur l’intervalle [0 ; 20]
pour modéliser son développement et a désigné par f(x) le nombre de magasins de son enseigne existant en 2010+x.
1. Combien le styliste a t -il ouvert de magasins en 2010 ?
2. En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne dépassera 80 boutiques.
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Exercice 2 4 points Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Au- cune justification n’est demandée.
La courbeC ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère ortho- normé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−5 ; 5].
On note f′la fonction dérivée de f.
1 2
-1
1 2 3 4 5
-1 -2 -3 -4
-5 x
y
0
1. Sur l’intervalle [−5 ; 5] :
a. f est une fonction de densité de probabilité
b. f est positive
c. f n’est pas continue d. l’équation f′(x)=0 admet deux solutions
2. Sur l’intervalle [−5 ; 5] :
a. f′(1)=0 b. f′(0)=1 c. f′(0)=0 d. f′(1)=1
3. On admet qu’une équation de la tangente à la courbeC au point d’abscisse 4 est :
y= −x e2+ 5
e2.
Le nombre dérivé de f en 4 est : a. f′(4)= 5
e2 b. f′(4)= 1
e2 c. f′(4)= −1
e2 d. f′(4)=e−2 4. On poseA=
Z2
−2f(x) dx. Un encadrement deAest :
a. 0<A<1 b.1<A<2 c. 3<A<4 d. 4<A<5
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EXERCICE3 6 points Commun à tous les candidats
Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger. Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6 %.
Partie A
On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique (un) oùndésigne le nombre de mois depuis l’ouverture du site. On a doncu0=500.
1. Calculeru1etu2et donner le résultat arrondi à l’unité.
2. Exprimerunen fonction den.
3. Déterminer la limite de la suite (un).
Partie B
Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien de mois le site aura dou- blé le nombre de films proposés par rapport au nombre de films proposés à l’ouverture.
1. On veut déterminer cette valeur à l’aide d’un algorithme.
Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l’algorithme donne le ré- sultat attendu.
L1 : Initialisation Affecter àU la valeur 500
L2 : Affecter àN la valeur 0
L3 : Traitement Tant queU. . . .
L4 : Affecter àNla valeurN+1
L5 : Affecter àU la valeur . . . .
L6 : Fin Tant que
L7 : Sortie Afficher . . . .
2. Donner la valeur affichée par l’algorithme répondant au problème posé.
Partie C
En raison d’une offre de bienvenue, le nombre d’abonnés au lancement est 15 000. Sur la base des premiers mois, on estime que le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante : chaque mois, 10 % des clients se désabonnent et 2 500 nou- veaux abonnés sont enregistrés. On notevnl’estimation du nombre d’abonnésnmois après l’ouverture, on a ainsiv0=15 000.
1. Justifier que, pour tout entier natureln, on avn+1=0,9×vn+2 500.
2. On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturelnparwn=vn−25 000.
a. Montrer que la suite (wn) est géométrique de raison 0,9 et préciser son pre- mier terme.
b. En déduire que, pour tout entiern,vn=25 000−10 000×0,9n.
c. Peut-on prévoir, à l’aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d’abon- nés sur le long terme ? Justifier la réponse.
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EXERCICE4 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l ’enseignement de spécialité
Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s’est déroulée en deux temps :
– premier temps : étude du dossier présenté par le candidat ; – deuxième temps : entretien en vue du recrutement.
Le processus de recrutement mis en œuvre par l’entreprise est le suivant :
– si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines ;
– si le dossier n’est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l’entreprise.
Dans les deux cas, à l’issue de l’entretien, le candidat est recruté ou ne l’est pas. À l’issue de cette campagne de recrutement, l’entreprise publie les résultats suivants :
• 30 % des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité ;
• 90 % des candidats n’ayant pas un dossier jugé de bonne qualité n’ont pas été recrutés ;
• 80 % des candidats ayant un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés.
1. On prend un candidat au hasard et on note :
• Dl’évènement « le candidat a un dossier jugé de bonne qualité » ;
• Rl’évènement « le candidat est recruté par l’entreprise ».
a. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
b. Calculer la probabilité que le candidat ait un dossier de bonne qualité et soit recruté par l’entreprise.
c. Montrer que la probabilité de l’événement R est égale à 0,31.
d. En déduire la probabilité à 10−3près qu’un candidat ait un dossier de bonne qualité sachant qu’il est recruté.
2. Dix personnes postulent pour un emploi dans l’entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes.
a. Justifier queX suit une loi binomiale de paramètresn=10 etp=0,31.
b. Calculer la probabilité qu’au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à 10−3. 3. Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien
avec la direction des ressources humaines.
Coralie arrive à 8 h 30 alors qu’Aymeric arrive au hasard entre 8 h et 9 h.
On désigne parT la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée d’Aymeric et on admet queT suit la loi uniforme sur l’intervalle [8 ; 9].
Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de quinze mi- nutes.
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