cours 17
DÉTERMINANT
Une matrice est un rectangle de nombre.
Lorsque le nombre de lignes de la matrice est le même nombre que le nombre de colonne, on que la matrice est carré
Une matrice est un rectangle de nombre.
Lorsque le nombre de lignes de la matrice est le même nombre que le nombre de colonne, on que la matrice est carré
Une matrice est un rectangle de nombre.
Lorsque le nombre de lignes de la matrice est le même nombre que le nombre de colonne, on que la matrice est carré
Une matrice est un rectangle de nombre.
Lorsque le nombre de lignes de la matrice est le même nombre que le nombre de colonne, on que la matrice est carré
Une matrice est un rectangle de nombre.
Lorsque le nombre de lignes de la matrice est le même nombre que le nombre de colonne, on que la matrice est carré
Une matrice est un rectangle de nombre.
Lorsque le nombre de lignes de la matrice est le même nombre que le nombre de colonne, on que la matrice est carré
Déterminant a b
c d
Déterminant a b
c d
Déterminant a b
c d
Déterminant a b
c d
Déterminant a b
c d
Exemple
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3 2 7
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3
2 7 = 4 ⇥ 7 3 ⇥ ( 2)
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3
2 7 = 4 ⇥ 7 3 ⇥ ( 2) = 28 + 6
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3
2 7 = 4 ⇥ 7 3 ⇥ ( 2) = 28 + 6
= 34
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3
2 7 = 4 ⇥ 7 3 ⇥ ( 2) = 28 + 6
= 34
Exemple
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3
2 7 = 4 ⇥ 7 3 ⇥ ( 2) = 28 + 6
= 34
Exemple
3 22 5
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3
2 7 = 4 ⇥ 7 3 ⇥ ( 2) = 28 + 6
= 34
Exemple
3 22 5 = 3 ⇥ ( 5) 2 ⇥ 2
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3
2 7 = 4 ⇥ 7 3 ⇥ ( 2) = 28 + 6
= 34
Exemple
3 22 5 = 3 ⇥ ( 5) 2 ⇥ 2 = 15 4
Déterminant a b
c d
Exemple
4 3
2 7 = 4 ⇥ 7 3 ⇥ ( 2) = 28 + 6
= 34
Exemple
3 22 5 = 3 ⇥ ( 5) 2 ⇥ 2 = 15 4
= 19
Faites les exercices suivants
# 3.1 a) à e)
Définition
Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme:Définition
Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme:Définition
Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme:où et les sont des variables.
Définition
Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme:où et les sont des variables.
Définition
Définition
Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme:où et les sont des variables.
Une solution de l’équation linéaire
Définition
Définition
Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme:où et les sont des variables.
Une solution de l’équation linéaire
est un n-uplet tel que
Définition
Définition
Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme:où et les sont des variables.
Une solution de l’équation linéaire
est un n-uplet tel que
Définition
Définition
Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme:où et les sont des variables.
Une solution de l’équation linéaire
est un n-uplet tel que
Résoudre une équation linéaire revient à trouver l’ensemble de toutes ses solutions.
Définition
Définition
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.Définition
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.Définition
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.Les indices ici servent à indiquer à quelle variable et à quelle équation un coefficient appartient.
Définition
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.Les indices ici servent à indiquer à quelle variable et à quelle équation un coefficient appartient.
Définition
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.Les indices ici servent à indiquer à quelle variable et à quelle équation un coefficient appartient.
Définition
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.Définition
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.Définition
Définition
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.Une solution d’un système d’équations linéaires est un n-uplet qui est solution de chaque équation du système.
Définition
Exemple
Le système d’équations linéaires suivant
Exemple
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
Exemple
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
Exemple
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
car
Exemple
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
car
Exemple
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
car
Exemple
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
car
et
Exemple
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
car
et
Exemple
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
car
et
Faites les exercices suivants
#3.2
ka b
kc d = k a b c d
ka b kc d
ka b
kc d = k a b c d
ka b kc d
ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc
ka b kc d
ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc = k(ad bc)
ka b
kc d = k a b
c d ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc = k(ad bc)
ka b
kc d = k a b
c d ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc = k(ad bc)
ka b
kc d = k a b
c d ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc = k(ad bc)
a kb
c kd = k a b c d
ka b
kc d = k a b
c d ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc = k(ad bc)
a kb c kd
a kb
c kd = k a b c d
ka b
kc d = k a b
c d ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc = k(ad bc)
a kb
c kd = akd kbc a kb
c kd = k a b c d
ka b
kc d = k a b
c d ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc = k(ad bc)
a kb
c kd = akd kbc = k(ad bc) a kb
c kd = k a b c d
ka b
kc d = k a b
c d ka b
kc d = k a b c d
= kad bkc = k(ad bc)
a kb
c kd = k a b
c d
= akd kbc = k(ad bc) a kb
c kd = k a b c d
a + e b c + f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d a + e b
c + f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d
= (a + e)d b(c + f ) a + e b
c + f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d
= (a + e)d b(c + f ) = ad + ed (bc + bf ) a + e b
c + f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d
= (a + e)d b(c + f ) = ad + ed (bc + bf )
= ad + ed bc bf a + e b
c + f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d
= (a + e)d b(c + f ) = ad + ed (bc + bf )
= ad + ed bc bf = (ad bc) + (ed bf ) a + e b
c + f d
a + e b
c + f d = a b
c d + e b f d
= (a + e)d b(c + f ) = ad + ed (bc + bf )
= ad + ed bc bf = (ad bc) + (ed bf ) a + e b
c + f d
= a b
c d + e b f d
a b + e
c d + f = a b
c d + a e c f
a b + e
c d + f = a b
c d + a e c f a b + e
c d + f
a b + e
c d + f = a b
c d + a e c f
= a(d + f ) (b + e)c a b + e
c d + f
a b + e
c d + f = a b
c d + a e c f
= a(d + f ) (b + e)c = ad + af (bc + ec) a b + e
c d + f
a b + e
c d + f = a b
c d + a e c f
= a(d + f ) (b + e)c = ad + af (bc + ec)
= ad + af bc ec a b + e
c d + f
a b + e
c d + f = a b
c d + a e c f
= a(d + f ) (b + e)c = ad + af (bc + ec)
= ad + af bc ec = (ad bc) + (af ec) a b + e
c d + f
a b + e
c d + f = a b
c d + a e c f
= a(d + f ) (b + e)c = ad + af (bc + ec)
= ad + af bc ec = (ad bc) + (af ec) a b + e
c d + f
= a b
c d + a e c f
a a
b b = 0
a a
b b = 0
a a b b
a a
b b = 0
a a
b b = ab ab
a a
b b = 0
a a
b b = ab ab = 0
Théorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerSi .
Preuve:
Preuve:
Preuve:
Preuve:
Preuve:
Preuve:
Preuve:
Preuve:
Preuve:
Preuve:
0
Preuve:
0
Preuve:
0
Donc,
Preuve:
0
Donc, et c’est la même idée pour
Preuve:
0
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Faites les exercices suivants
# 3.3 et 3.4
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
a b c d e f g h i
= a e f
h i b d f
g i + c d e g h
Exemple
Faites les exercices suivants
#3.1 f) et g)
Théorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerThéorème
Règle de CramerLa preuve est semblable à celle pour un système à deux équations et à deux inconnues.
Faites les exercices suivants
# 3.5