Traduis chaque situation par un système de deux équations, et trouve l’ensemble-solution des systèmes d’équations par la
méthode algébrique la plus appropriée (CORRIGÉ)
#1 En établissant une comparaison entre la taille moyenne des Watussi, habitants d’Afrique centrale, et celle des Mbutti, les plus petits Pygmées, on constate que ces derniers mesurant 46 cm de moins que les Watussi. Le triple de la taille d’un
Watussi et le double de celle d’un Mbutti donnent 8,23m. Quelles sont les tailles moyennes des Watussi et des Mbutti?
Variables: w: la taille moyenne d’un Watussi m: la taille moyenne d’un Mbutti Équations: w = m + 0,46
3w + 2m = 8,23
Solution: Les Watussi ont une taille de 1,83m et les Mbutti de 1,37m
#2 Un marchand de vin emploie deux ouvriers au même taux journalier. Il donne au premier, pour 15 journées de travail, 765$ et 25 litres de vin; il donne au second, pour 24 journées, une somme de 1194$ et 50 litres de vin. Détermine le montant que le marchand de vin a alloué pour un litre de ce vin.
Variables: x: le montant alloué pour une journée de travail y: le montant alloué pour un litre de vin
Équations: 765 + 25y = 15x 1194 + 50y = 24x
Solution: Le montant alloué par le marchand pour un litre de vin est 3$
#3 Michel et Françoise ont vendu des billets. Ceux de Michel se vendaient 8$ l’unit. Et ceux de Françoise, 4$ l’unité. La vente de tous leurs billets aurait rapporté 128$.
Cependant, Michel n’a vendu que les trois quarts de ses billets et Françoise, la moitié. Ensemble, ils ont vendu 14 billets. Détermine le nombre de billets que Michel et Françoise possédaient.
Variables: m: nombre de billets à vendre par Michel f: nombre de billets à vendre par Françoise Équations: 8m + 4f = 128
3m/4 + f/2 =14
Solution: Michel et Françoise devaient vendre respectivement 8 et 16 billets.
#4 En 1990, les deux grandes villes les plus peuplées étaient Mexico et Tokio. La somme de leur population était estimée à 34 millions d’habitants. La population de Mexico valait alors 2 millions de moins que le double de la population de Tokio.
Détermine la population de Mexico et de Tokio.
Variables: m: la population de Mexico (en millions) t: la population de Tokyo (en millions) Équations: m + t = 34
2t - m = 2
Solution: La population de Mexico est de 22 millions et celle de Tokyo, 12 millions
#5 Jean dit à Paul: “Le triple de mon argent plus le quadruple du tien donnent 20$.”
Paul ajoute: “Quinze fois ton argent plus le décuple (dix fois) du mien égalent 80$
moins ce décuple.” Trouve l’avoir de l’un et de l’autre.
Variables: j: l’avoir de Jean p:l’avoir de Paul Équations: 3j + 4p = 20
15j + 10p = 80 - 10p
Solution: Impossible de déterminer l’avoir de chacun
#6 On vend des billets pour le cirque. Monsieur Gagné achète 2 billets d’adultes et 3 billets pour ses enfants. Madame Plourde, quant à elle, achète 4 billets d’adultes et 2 billets d’enfants. Les billets de monsieur Gagné valent 54$ et ceux de Madame Plourde, 76$. Détermine les prix d’entrée d’un adulte et d’un enfant.
Variables: x: le prix d’un billet pour un adulte y: le prix d’un billet pour un enfant Équations: 2x + 3y = 54
4x +2y = 76
Solution: Le billet d’un adulte coûte 15$ et celui d’un enfant 8$
#7 Un supermarché vend une encyclopédie en 32 fascicules. Tous les fascicules coûtent le même prix. On offre aussi à prix réduit un coffret de rangement. Josée s’est procuré 4 fascicules et le coffret pour 8$. Pierre a payé 26$ pour 14
fascicules et le coffret. Quel est le prix de l’encyclopédie entière avec le coffret?
Variables: f: le prix d’un fascicule c: le prix d’un coffret Équations: 4f + c = 8
14f + c = 26
Solution: Le prix de l’encyclopédie entière avec le coffret est 32f + c = 58,40$
#8 Le gorille des montagnes, qui vit au Ruanda, a une taille dix fois plus grande qu’un ouistiti mignon habitant le Bassin amazonien. Le double de la somme de leurs tailles donne 3,96m. Détermine la taille de chacun.
Variables: g: taille en mètres d’un gorille o: taille en mètres d’un ouistiti Équations: g = 10o
2 ( g + o ) = 3,96
Solution: La taille d’un gorille est 1,80m et celle d’un ouistiti est 0,18m
#9 Au cours de la troisième étape, Virginie a subi deux examens de mathématiques corrigés sur 100 points chacun. Elle a conservé une moyenne de 79 pour cent. Lors de son deuxième examen, Virginie a obtenu 14 points de plus qu’à son premier.
Détermine les résultats de Virginie pour chacun de ses examens.
Variables: x: note en % du premier examen y: note en % du deuxième examen Équations: ( x + y ) / 2 = 79
y - x = 14
Solution: Virginie a obtenu respectivement des notes de 72 et 86 pour ses premier et deuxième examens
#10 Un marchand a des alcools à 30% et à 18%. Combien doit-il en prendre de chaque qualité pour en faire 250 litres à 25% ?
Variables: x: le nombre de litres d’alcool à 30%
y: le nombre de litres d’alcool à 18%
Équations: x + y = 250
30 18 250 25 100 100 100
+ = ×
x y
Solution: Le marchand devra utiliser 145,83 litres à 30% et 104,16 litres à 18% pour préparer 250 litres à 25%
#11 Trois clients se présentent à la caisse dans une épicerie. Le premier paie 4$ pour 2 litres de lait et 3 muffins. Le deuxième paie 6,15$ pour 5 litres de lait et 2 muffins. Le troisième apporte à la caissière 1 litre de lait et 4 muffins. Quel montant le troisième client paiera-t-il pour ses achats?
Variables: x: le prix d’un litre de lait y: le prix d’un muffin Équations: 2x +3y = 4
5x + 2y = 6,15
Solution: Le prix d’un litre de lait est de 0,95$ et celui d’un muffin de 0,70$.
Le troisième a déboursé 3,75$.
#12 Tu paies 60$ pour un mélange de 3kg d’arachides et 2kg de noix. Pour un autre type de mélange de noix et d’arachides, tu paies 55$ pour 1kg d’arachides et 3kg de noix.
Détermine le coût de 1kg d’arachides.
Variables: a: le prix d’un kg d’arachides n: le prix d’un kg de noix Équations: 3a + 2n = 60
a + 3n = 55
Solution: Le coût d’un kg d’arachides est de 10$.
#13 Trouve une fraction équivalente à 3dont la somme de chacun des carrés des termes 5
égale 2176.
Variables: n: numérateur de la fraction d: dénominateur de la fraction Équations: n/d = 3/5
n² + d² = 2176
Solution: La fraction équivalente est 24/40
#14 Détermine les équations de la droite A, passant par les points (-4,4) et (6,-3) et de la droite B, passant par les points (-4,-2) et (3,6), puis trouve les coordonnées de leur point d’intersection.
Équations:
7 12 10 10 8 18
7 7
= − +
= +
a
b
y x
y x
Solution: Le point d’intersection est
32 74 43 , 43
−
#15 La somme du nombre de sièges par rangée et du nombre de rangées dans un théâtre est 70. Le nombre de sièges en diagonale est 50. Détermine le nombre de rangées et le nombre de sièges par rangée que renferme ce théâtre.
Variables: x: nombre de rangées
y: nombre de sièges par rangée Équations: x + y = 70
x² + y² = 50²
Solution: Le théâtre peut compter 40 rangées de 30 sièges ou 30 rangées de 40 sièges.
#16 Un graphique comprend une parabole qui passe par le point (0,5) et dont le sommet est (1,3). Il renferme également une droite passant par le point (6,-16) et dont la pente est -7/2. Trouve l’ensemble-solution de ce système d’équations.
Équations:
2 2
2( 1) 3 2 4 5
7 5
2
= − + = − +
= − +
p p
d
y x ou y x x
y x
Solution:
( ) 0,5 1 33 ,
4 8
et
#17 Le périmètre d’un terrain rectangulaire est 470 et son aire est 11 550m². Détermine les dimensions de ce terrain.
Variables: x: largeur du terrain y: longueur du terrain Équations: 2 (x + 7) = 470
xy = 11 550
Solution: Les dimensions du terrain sont 165m x 70m.
#18 Le périmètre d’un carré a 100m de plus que celui d’un autre carré. L’aire du plus grand carré dépasse de 325m² trois fois l’aire du plus petit. Quelles sont les dimensions de chacun des carrés?
Variables: x: mesure du côté du petit carré y: mesure du côté du grand carré Équations: 4 (y - x) = 100
y² = 3x² + 325
Solution: Les mesures des côtés des carrés sont de 30 et 55m.
#19 Pierre a décidé de clôturer les côtés et l’arrière de son terrain rectangulaire. Pour ce faire, il a dû se procurer 1000m de clôture. Les diagonales du terrain mesurent 500m chacune. Détermine les dimensions du terrain de Pierre.
Variables: x: la largeur du terrain y: la longueur du terrain Équations: 2x + y = 1000
x² + y² = 500²
Solution: Les dimensions du terrain de Pierre sont 300m x 400m.
#20 Une boîte de conserve a subi la décomposition suivante.
Les disques A et C représentent les bases inférieure et supérieure de la boîte et la figure B correspond à la face latérale de la boîte. Détermine le diamètre et la hauteur de la boîte de conserve, à l’unité près, si la différence entre la hauteur et le diamètre est 18 cm et celle entre l’aire latérale et l’aire des bases, 904,78cm².
Variables: d: diamètre de la boîte h: hauteur de la boîte Équations: h - d =18
2
2 904,78
2
− = dh d
π π
Solution: h = 30cm et d = 12cm
#21 Le produit de deux nombres est 736 et la différence entre le triple du grand et le plus petit est 73. Quels sont ces nombres s’ils sont naturels?
Variables: x: le plus petit nombre y: le plus grand nombre Équations: xy = 736
3y - x = 73
Solution: Les deux nombres sont 23 et 32.
#22 Les coordonnées du centre d’un cercle et de l’un de ses points sont respectivement (- 7,5) et (-10,9). Un rectangle dont la base mesure 14 unités de plus que sa hauteur a une diagonale de 26 unités. Détermine la différence d’aire entre ces figures.
Variables: x: la hauteur du rectangle y: la base du rectangle Équations: y = x + 14
x² + y² = 26²
Solution: x = 10 unités et y = 24 unités Aire du cercle = 78,54 unités² Aire du rectangle = 240 unités²
La différence d’aire est environ 162,46 unités²
A B C
#23 Un commerçant a commandé une pièce de tissu au coût de 450$. En la recevant, il constate qu’on lui a expédié une pièce qui vaut 62,5 cents de moins par mètre, mais qui contient 15m de plus que celle qu’il attendait. Combien la pièce commandée initialement contenait-elle de mètres et quel en était le prix au mètre?
Variables: x: le nombre de mètres de la pièce commandée y: le prix au mètre de la pièce commandée Équations: xy = 450
( x + 15 )( y - 0,625 ) = 450
Solution: Le commerçant a commandé environ 96,69m de tissu à 4,65$ le mètre.
#24 Les surfaces de deux carrés font ensemble 8621m² et le produit de leurs diagonales est 8540. Quelle est la mesure des côtés de chacun des carrés?
Variables: x: la mesure du 1er carré y: la mesure du 2ème carré Équations:
2 2
2 2 2 2
8621
8540 2 2 8540 2 8540
+ =
+ × + = ⇔ × = ⇔ =
x y
x x y y x y xy
Solution: Les carrés mesurent 70m et 61m de côté.
