MPSI B Corrigé (partiel) du DS 3 (commun) 29 juin 2019
Exercice
1. On peut permuter circulairement les vecteurs d'un produit mixte, on en déduit :
det(a, b, v) = det(b, v, a) = (b ∧ v/a) = (d/a) det(a, b, v) = det(v, a, b) = (v ∧ a/b) = −(c/b)
Lorsque le système d'équations vectorielles admet une solution, les deux expressions du déterminant sont égales d'où :
(d/a) + (c/b) = 0 2. a. L'étude de l'équation vectorielle d'inconnue v
a ∧ v = c
a été traitée en cours. Il existe des solutions lorsque a et c sont orthogonaux. Dans ce cas, l'ensemble des solutions est la droite vectorielle
− 1
kak
2a ∧ c + Vect a
b. D'après la question précédente, le système (∗) admet une solution dès que les deux droites vectorielles se coupent. Introduisons des points pour utiliser la formule donnant la distance entre deux droites dans l'espace.
Soit O un point considéré comme origine. Dénissons les points A et B par les relations :
−→ OA = − 1
kak
2a ∧ c + Vect a , − − → OB = − 1
kbk
2b ∧ d + Vect d Cherchons la distance entre les droites
D = A + Vect(a) , D
0= B + Vect(b) D'après le cours :
d(D, D
0) = det( − − → AB, a, b) ka ∧ bk
2avec det( − − →
AB, a, b) = det(− 1
kbk
2b ∧ d + 1
kak
2a ∧ c, a, b)
= − 1
kbk
2det(b ∧ d, a, b) + 1
kak
2det(a ∧ c, a, b)
= 1
kbk
2det(b ∧ d, b, a) + 1
kak
2det(a ∧ c, a, b)
= 1
kbk
2((b ∧ d) ∧ b/b) + 1
kak
2((a ∧ c) ∧ a/b)
= 1
kbk
2
kbk
2(d/a) − (b/d)
| {z }
=0
(d/a)
+ 1 kak
2
kak
2(c/b) − (c/a)
| {z }
=0
(a/b)
= (d/a) + (c/b) On en déduit que lorsque (d/a) + (c/b) = 0 , les deux droites se coupent et que le système admet une unique solution.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
