DEMONSTRATIONS APPARAISSANT DANS LA COLONNE
"COMMENTAIRES" DU PROGRAMME.
SUITES
Si une suite croissante ( ) u
nconverge vers un réel l, alors pour tout n de , u
nl.
Démonstration :
Par l absurde : supposons qu il existe un entier n
0tel que u
n0l . Alors l intervalle I ] l 1 u
n0[ est un intervalle ouvert contenant l .
La suite ( ) u
nconverge vers l donc, par définition de la limite d une suite, l intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang.
Mais la suite ( ) u
nest croissante donc, pour tout n n
0, u
nu
n0l : donc pour tout n n
0, u
nn appartient pas à I.
Il est donc impossible que I contiennent tous les termes de la suite à partir d un certain rang (puisqu il ne contient pas ceux de rang supérieur à n
0). On a donc une contradiction et il n existe pas d entier n
0tel que u
n0l . Ainsi, pour tout entier n, u
nl .
Une suite croissante et non majorée a pour limite + Démonstration :
Rappel : lim
n
u
nsi tout intervalle de la forme [A;+ [ où A est un réel contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang.
Soit ( ) u
nune suite croissante et non majorée.
Soit A un réel.
( ) u
nest non majorée par A donc il existe un entier naturel N tel que u
NA.
La suite ( ) u
nest croissante donc, pour tout n N, u
nu
NA.
L intervalle [A ; + [ contient donc tous les termes de la suite à partir du rang N.
Alors lim
n
u
nFONCTIONS
lim
h 0
sin(h)
h 1.
Démonstration Rq : On a une FI.
La fonction sinus est dérivable en 0.
On a donc lim
h 0
sin(0 h) sin(0)
h = sin (0), c'est-à-dire lim
h 0
sin(h)
h = sin (0).
Or sin (0) cos(0) 1. Ainsi lim
h 0
sin(h)
h 1.
lim
h 0
e
h h = 1 Démonstration :
h
lim
e
h
h = lim
h
e
h e
h = exp’(0) = exp(0) = 1 par définition du nombre dérivé.
lim
h 0
ln(1 h) h = 1 Démonstration :
La fonction ln est dérivable en 1 donc lim
h 0
ln h
h = ln’(1) = 1.
CALCUL INTEGRAL
Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a b]. Soit la fonction F définie sur [ a b ] par : F( x)
a
x
f( t)dt. Al ors F est dérivable sur [ a b ] et F f.
Démonstration dans le cas où f est positive et croissante sur [a ; b.
Soit x
0un réel de I, h un réel non nul tel que x
0+ h appartienne à [a b] . La fonction F est définie sur [a b] par : F(x)
a
x
f (t )dt
F(x
0+ h) F(x
0) = aire sous la courbe entre l axe des abscisses, la courbe et les droites d équations x x
0et x x
0h.
Si h > 0 : f est croissante sur [x
0; x
0+ h] donc f(x
0) f(x
0+ h).
F(x
0+ h) F(x
0) est compris entre les aires des rectangles HSVW et HSTU.
Aire de HSVW = h f ( ) x
0et Aire de HSTU = h f ( x
0h . )
On a donc f ( ) x
0F ( x
0h ) F ( ) x
0h f ( x
0h )
Si h < 0 : On a de même f ( x
0h ) F ( x
0h ) F ( ) x
0h f ( ) x
0Or f est continue en x
0donc lim
h 0
f ( x
0h = f ) ( ) x
0Alors, d après le th des gendarmes : lim
h 0
F ( x
0h ) F ( ) x
0h
=f ( ) x
0.
F est donc dérivable en x
0et on a F ( ) x
0f ( ) x
0Ce résultat est vrai pour tout x
0de [a b] donc F est dérivable sur [a b] et F f.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Démonstration dans le cas où l intervalle est de la forme [a ; b].
Pré requis : On admet que toute fonction continue sur un intervalle [a b] admet un minimum sur cet intervalle.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a b]. D après le pré-requis, f admet un minimum m sur [ a b].
Pour tout x de [a ; b], f(x) m, c'est-à-dire f(x) m 0.
Soit g la fonction définie sur [a ; b] par g(x)=f(x) m.
g est une fonction continue et positive sur [a ; b] donc la fonction G : x
a
x
g (t ) dt est une primitive de g sur [a ; b].
Posons F(x) = G(x) mx + C, où C est un réel
G est dérivable sur [a ; b] donc F est dérivable sur [a ; b] et F (x)=G (x) m=g(x) m=f(x) F est donc une primitive de f sur [a ; b].
Ainsi f admet des primitives sur [a ; b].
ESPACE
Théorème du toit : d et d sont deux droites parallèles contenues respectivement dans deux plans sécants P et P . Alors la droite d intersection de P et P est parallèle à d et d .
Démonstration :
Soit u un vecteur directeur de d et d et un vecteur directeur de .
Soit v un vecteur de P non colinéaire à u et v un vecteur de P non colinéaire à u P est dirigé par le couple ( u v et P est dirigé par le couple ) ( u v ) .
P et P n étant pas parallèles, u , v et v ne sont pas coplanaires.
Dans le plan P, u , v et sont coplanaires donc il existe des réels a et b tels que a u b v .
Dans le plan P , u , v et sont coplanaires donc il existe des réels a et b tels que a u b v . Alors (a a ) u b v b v .
u , v et v n étant pas coplanaires, on a a a b b 0.
On a donc a u b v a u . Or u est un vecteur directeur de d et d et est un vecteur directeur de Les droites d, d et sont donc parallèles.
PROBABILITES ET STATISTIQUES
Théorème : Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre , alors X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c est-à-dire : pour tous réels t et h strictement positifs, on a
P
X t(X t h) P( X h ) Démonstration :
Soit A un réel strictement positif.
P(X A) 1 P(0 X A) 1
0
A
e
xdx = 1
−e
x0
A
