Lycée Paul Rey Denis Augier
Activité introduction exponentielle.
Exercice 1.
On considère la fonction définie surRpar :fpxq “cosp´3x`πq
Déterminer la dérivée de la fonctionf.
Exercice 2.
On considère une fonctionf définie sur R.Déterminer les dérivées des fonctions suivantes suivantes, (en fonction def1) :
Indication : on pourra utilisez la formulepu˝vq1“v1ˆu1˝v.
a) gpxq “fp2x`1q b) hpxq “fp´xq c) tpxq “fpx2´3q
Exercice 3.
On considère une fonctionf définie sur Ret vérifiant la propriété :f2“ ´f p1q. 1. Connaissez-vous des fonctions vérifiant cette propriétés ?2. Soient deux réelsaetb. Soitf une fonction définie surRpar : fpxq “acosx`bsinx Montrer quef vérifie la propriétép1q.
3. On veut déterminer une fonctionf vérifiant :
fp0q “1, f1p0q “1 et @xPR, f2pxq “ ´fpxq
Déterminer les valeurs de a et b, si l’on souhaite que la fonction fpxq “ acosx`bsinx (définie en 2.) vérifie la propriété précédente.
Exercice 4.
On veut déterminer les fonctionsf définies surRet vérifiant :fp0q “1 et @xPR, f1pxq “fpxq (1)
1. On considère ici que que de telles fonctions existent.
On considère donc deux fonctionsf et g(non forcément distinctes) vérifiant (1) . On définie la fonctionhdéfinie sur Rpar :
hpxq “gpxq ˆfp´xq
(a) En n’oubliant pas d’utiliser queg1“g etf1“f, déterminer l’expression deh1pxq.
(b) En déduire quehest une fonction constante et déterminersa valeur.
(c) En considérant le cas oùg“f, montrer que
@xPR, fp´xq ˆfpxq “1 (d) En déduire que :
@xPR, gpxq “fpxq
2. Construction de la fonctionf par approximation (Algorithme Python). On considère une fonctionf vérifiant (1) et Cf sa représentation.
(a) Déterminer l’équation de la tangente T1à Cf au point d’abscisse 1.
(b) Déterminer les coordonnées du pointA1deT1 d’abscisse 1.
(c) On considère que ce pointA1 est un point deCf. Déterminer l’équation de la tangenteT1 àCf au pointA1. 3. Détermination de f comme lim
nÑ`8
´ 1`x
n
¯n
.
TS 2019-2020 1
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1 import m a t p l o t l i b . p y p l o t a s p l t 2 from math import exp
3 n=10 # i n i t i a l i s a t i o n
4 y=1 5 t=0
6 h=3/f l o a t( n ) 7 temps = [ 0 ] 8 f o n c t i o n = [ 1 ] 9 expo = [ 1 ]
10 f o r i in range( n ) :
11 y=y+h∗y
12 t=t+h
13 temps . append ( t ) 14 f o n c t i o n . append ( y ) 15 expo . append ( exp ( t ) ) 16 p l t . p l o t ( temps , f o n c t i o n ) 17 p l t . p l o t ( temps , expo ) 18 p l t . show ( )
TS 2019-2020 2
