MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 16 (du lundi 11 au vendredi 15 f´evrier) lyc´ee Chaptal
D´ erivation des fonctions ` a valeurs r´ eelles
I. Fonction d´ eriv´ ee : les alg` ebres D(I), C (I). . .
1. Op´erations sur les fonctions d´erivables : d´erivation de combinaison lin´eaire, multiplication, quotient de fonctions d´erivables en un point. Structure de D(I) et deC1(I).
2. Composition : th´eor`eme de d´erivation des fonction compos´ees. Si f est une fonction continue strictement monotone sur I et d´erivable en a ∈ I, alors f−1 est d´erivable enb=f(a) si et seulement sif0(a)6= 0 et expression de la d´eriv´ee (r´esultat admis).
3. D´eriv´ees successives : notions de fonctions n-fois d´erivables, de classe Cn, C+∞. Liens avec les op´erations et la composition des fonctions. Formule de Leibniz.
II. Accroissements finis
1. Extrema locaux : condition n´ecessaire d’existence d’un extremum local ena pour f d´erivable ena:f0(a) = 0. Cette condition n’est pas suffisante. Exemples.
2. Th´eor`eme de Rolle: ´enonc´e ; interpr´etations graphique et cin´ematique.
3. Egalit´e des accroissements finis: ´enonc´e ; interpr´etations graphique et ci- n´ematique. Ecriturehhenf(x+h)ii. ProlongementC1d’une fonction
4. In´egalit´e des accroissements finis. Application : une fonction de classe C1 sur un segment est lipschitzienne sur ce segment.
III. Variations d’une fonction
Liens entre monotonie et signe de la d´eriv´ee d’une fonction d´erivable. Obten- tion de bijections. Application aux tableaux de variations de fonctions d´erivables.
Exemples.
IV. Exercices
Questions de cours
Q.1. Enonc´´ e et d´emonstration de la formule de Leibniz.
Q.2. Enonc´´ e et d´emonstration du th´eor`eme de d´erivation des fonctions compos´ees.
Q.3. D´emontrer que si f et g sont de classe Cn et composables, alors g◦f est aussi de classeCn.
Q.4. D´emontrer que si f est d´erivable surI et atteint un extremum en a point int´erieur deI, alorsf0(a) = 0.
Q.5. Enonc´´ e et d´emonstration du th´eor`eme de Rolle.
Q.6. Enonc´´ e et d´emonstration du th´eor`eme de l’´egalit´e des accroissements finis.
Q.7. Soitf une application de classe C1 sur le segment [a;b]. Montrer quef est lipschitzienne sur [a;b].
Q.8. Soitf une application de classeC1 sur ]a;b] telle quef etf0 admettent des limites finies ena. D´emontrer quef est alors prolongeable en une application de classeC1 sur [a;b]
Q.9. D´emontrer que la suite de terme g´en´eralun =
n
X
k=1
1
k2+ 1 est convergente.
Q.10. D´emontrer que si P ∈R[X] est scind´e simple, alorsP0 l’est aussi.
Q.11. D´emontrer quef :x7→ sin(x)1 d´efinit une bijection de [π2;π[ sur un intervalle J. D´eterminer K ⊂ J maximal sur lequel f−1 est d´erivable et d´eterminer une expression (relativement) simple de (f−1)0 surK.
A venir : formules de Taylor, d´` eveloppements limit´es.
