Equations de Lagrange

Rappels de mécanique analytique

Position du problème

Système : N particules M_k (1 ≤ k ≤ N) ponctuelles

■ Pas de liaisons :∀ t, 3N paramètres = position,vitesse

■ ∃ c contraintes f = 3N − c degrés de liberté

⇒ q₁, q₂, ..., q_f indépendantes, i.e. ∀ 1 ≤ i, j ≤ f _∂q^∂qi

j = δ_ij Dans R_O

∀ 1 ≤ k ≤ N −−−→

OM_k = r_k = r_k (q₁, ..., q_f)

֒→ Vitesse

dr_k dt =

f

X

i=1

∂r_k

∂q_i dq_i

dt =

f

X

i=1

∂r_k

∂q_i q˙_i (1)

֒→ Accélération

d²r_k dt² =

f

X

i,j=1

∂²r_k

∂q_i∂q_j q˙_iq˙_j +

f

X

i=1

∂r_k

∂q_i q¨_i (2)

Principe fondamental de la dynamique : Equation vectorielle Equations planétaires : Equations scalaires

7→ Trouver des équations scalaires équivalentes au PFD.

Equations de Lagrange

Pour chaque particule k subissant une force résultante f_k, m_k d²r_k

dt² = f_k Quelles grandeurs scalaires ?

Energie cinétique totale T

T = 1 2

N

X

k=1

m_k

dr_k dt

2

(3)

1 ≤ l ≤ f, ... ∂T

∂q_l =

N

X

k=1

m_k

f

X

i,j=1

∂r_k

∂q_j

∂²r_k

∂q_i∂q_lq˙_jq˙_i

et ∂T

∂q˙_l =

N

X

k=1

m_k

f

X

j=1

∂r_k

∂q_l

∂r_k

∂q_j q˙_j (4)

Le génie de Lagrange fait le reste ...

d dt

∂T

∂q˙_l

=

N

X

k=1

m_k

f

X

i,j=1

∂²r_k

∂q_i∂q_l

∂r_k

∂q_j q˙_iq˙_j

+

N

X

k=1

m_k

f

X

i,j=1

∂²r_k

∂q_i∂q_j

∂r_k

∂q_l q˙_iq˙_j

+

N

X

k=1

m_k

f

X

j=1

∂r_k

∂q_j

∂r_k

∂q_l q¨_j on constate donc que

d dt

∂T

∂q˙_l

− ∂T

∂q_l =

N

X

k=1

m_k





f

X

i,j=1

∂²r_k

∂q_i∂q_j q˙_iq˙_j +

f

X

j=1

∂r_k

∂q_j q¨_j





∂r_k

∂q_l

qui grâce au PFD devient d dt

∂T

∂q˙_l

− ∂T

∂q_l =

N

X

k=1

f_k ∂r_k

∂q_l ⁽⁵⁾

Mécanique céleste ...

la force f_k ,dérive d’un potentiel U (q₁, ..., q_f) f_k = − ∂U

∂r_k ⁽⁶⁾

l’équation (5) devient d dt

∂T

∂q˙_l

− ∂T

∂q_l = −

N

X

k=1

∂U

∂r_k

∂r_k

∂q_l = −∂U

∂q_l

comme ∂U

∂q˙_l = 0, nous pouvons introduire le Lagragien

L = T − U (7)

qui vérifie donc pour chaque 1 ≤ l ≤ f les équations de Lagrange d

dt

∂L

∂q˙_l

− ∂L

∂q_l = 0

Principe de moindre action

Système à un degré de liberté (pour simplifier), L = L (q, ˙q,t)

=⇒Action entre t₁ et t₂, telle que S = R t₂

t₁ L(q,q, t)˙ dt vérifie δS =

Z t₂ t₁

∂L

∂q δq dt +

Z t₂ t₁

∂L

∂q˙ δq dt˙ soit

δS =

Z t₂ t₁

∂L

∂q δq dt +

Z t₂ t₁

∂L

∂q˙ d

dt (δq) dt une intégration par partie donne alors

δS =

Z t₂ t₁

∂L

∂q δq dt −

Z t₂ t₁

d dt

∂L

∂q˙

δq dt +

∂L

∂q˙ δq t₂

t₁

par hypothèse la position du système est parfaitement déterminée en t₁et t₂ : δq (t₁) = δq (t₂) = 0

ainsi

δS =

Z t₂ t₁

∂L

∂q − d dt

∂L

∂q˙

δq dt

Lagrange : Mouvement extremise l’action (min)

Le mouvement est donc vu sous un angle nouveau (Principe de moindre action) :

Tout système mécanique est caractérisé par son lagrangien L = L (q_i,q˙_i, t). Si aux instants t₁ et t₂ le système occupe deux positions déterminées, entre ces

deux instants le système se meut de telle façon que l’intégrale S =

Z t₂

t₁

L(q,q, t)˙ dt

ait la plus petite valeur possible.

⇒ Physique moderne ...

Equations de Hamilton

Lagrangien L = L(qi,q˙_i, t) donc

dL =

f

X

i=1

∂L

∂q_idq_i +

f

X

i=1

∂L

∂q˙_idq˙_i

Hamilton : nouvelle variable p_i := ∂L

∂q˙_i la différentielle du Lagrangien s’écrit alors

dL =

f

X

i=1

∂L

∂q_idq_i +

f

X

i=1

p_i dq˙_i

=

f

X

i=1

∂L

∂q_idq_i + d

f

X

i=1

˙ q_ip_i

!

−

f

X

i=1

˙ q_idp_i

⇔ d

f

X

i=1

˙

q_ip_i − L

!

=

f

X

i=1

−∂L

∂q_i

dq_i +

f

X

i=1

˙ q_idp_i

ainsi H =

f

X

i=1

˙

q_ip_i − L est une fonction de q_i et p_i, le Hamiltonien H = H (q_i, p_i, t) est né ! En fait L 7→ H : transformation de Legendre Equations du mouvement issues de H

dH = −

f

X

i=1

∂L

∂q_idq_i +

f

X

i=1

˙ q_idp_i

... équations de Lagrange ...

dH = −

f

X

i=1

d dt

∂L

∂q˙_i

dq_i +

f

X

i=1

˙

q_idp_i =

f

X

i=1

−dp_i dt

dq_i +

f

X

i=1

dq_i dt dp_i

⇒ ∀ 1 ≤ i ≤ f dq_i

dt = ∂H

∂p_i et dp_i

dt = −∂H

∂q_i ⁽⁸⁾

Pour un système sans liaisons internes tel que f = 3N on aura donc

∀ 1 ≤ α ≤ N







r_α = grad_pαH p_α = −grad_rαH

Comment s’interprète H ^?

p_i := ∂L

∂q˙_i = ∂

∂q˙_i





f

X

j=1

1

2m_jq˙_j² − U





souvent ... p_i := m_iq˙_i donc

H =

f

X

i=1

˙

q_ip_i − L =

f

X

i=1

m_iq˙_i² −

f

X

j=1

1

2m_jq˙_j² + U

d’ou l’on déduit immédiatement que

H =

f

X

j=1

1

2m_jq˙_j² + U

⇒ H : Energie mécanique totale

Crochets de Poisson

∀a(..., q_i, ...p_i, ...) et b(..., q_i, ...p_i, ...)

{a, b} :=

f

X

i=1

∂a

∂q_i

∂b

∂p_i − ∂a

∂p_i

∂b

∂q_i ⁽⁹⁾

indépendance des coordonnées généralisées: ∀ 1 ≤ i, j ≤ f {p_i, p_j} = {q_i, q_j} = 0 et {q_i, p_j} = δ_ij =

( 0 si i 6= j 1 si i = j

−→ équations de Hamilton dq_i

dt = {q_i,H} et dp_i

dt = {p_i,H}

Plus généralement pour toute fonction ϕ(..., q_i, ...p_i, ...) nous avons dϕ

dt =

f

X

j=1

∂ϕ

∂q_i dq_i

dt + ∂ϕ

∂p_i dp_i

dt =

f

X

j=1

∂ϕ

∂q_i {qi,H} + ∂ϕ

∂p_i {pi,H} = {ϕ,H}

⇒ Mécanique symplectique, systèmes dynamiques ....