X∈Mn,1(R)|AX=0ª , est un sous-espace vectoriel de l’espace vectorielMn,1(R

ECE2 Espaces vectoriels - Généralités - Exercices du cours Septembre 2021 - EXERCICE1 -

SoitA∈Mn(R). Montrer que le noyau deA,Ker (A)=©

X∈Mn,1(R)|AX=0ª

, est un sous-espace vectoriel de l’espace vectorielMn,1(R).

• Ker (A)⊂Mn,1(R) par définition.

• A0=0 donc 0∈Ker (A). (Ce 0 est le 0 deMn,1(R)). Ker (A)̸= ;.

• Soient (X,Y)∈(Ker(A))²etλ∈R. On a :

A(X+λY)=AX+λAY=0+λ0=0. En effet,AX=0 etAY=0 car (X,Y)∈(Ker(A))². DoncX+λY∈Ker(A).

Donc Ker (A), est un sous-espace vectoriel de l’espace vectorielMn,1(R).

- EXERCICE2 -

Soitaun réel fixé etE_al’ensemble des polynômes deR[X]qui s’annulent ena.

Montrer queE_aest unR-espace vectoriel.

Remarquons que : E_a={P∈R[X]|P(a)=0}.

• E_a⊂R[X] par définition.

• Le polynôme nul s’annule enadonc appartient àE_a. Ainsi,E_a̸= ;.

• Soient (P,Q)∈E²_aetλ∈R. On a : (P+λQ)(a)=P(a)+λQ(a)=0+λ0=0.

DoncP+λQ∈E_a.

DoncE_aest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel deR[X] donc c’est un espace vectoriel.

- EXERCICE3 -

• Écrire le vecteur(3,−1,−3)comme combinaison linéaire de(1,−1, 2),(5,−3, 1)et(−2, 2,−4).

On devine facilement une combinaison linéaire : (3,−1,−3)=(5,−3, 1)+(−2, 2,−4).

• Écrire la matriceM= µ3 4

−7 3

¶

comme combinaison linéaire deA= µ1 3

−1 2

¶ etB=

µ−1 2

5 1

¶ . De même :

µ3 4

−7 3

¶

=2 µ1 3

−1 2

¶

− µ−1 2

5 1

¶

soitM=2A−BdoncMest combinaison linéaire deAetB.

- EXERCICE4 -

Expliciter l’ensembleE=Vect(A,B)avecA= µ1 2

0 −2

¶ etB=

µ−1 2

3 1

¶

. Est-ce queM= µ−1 6

6 0

¶

∈E? Par définition, on a :

Vect(A,B)=©

a A+bB, (a,b)∈R²ª

soit Vect(A,B)=

½µa−b 2a+2b 3b −2a+b

¶

, (a,b)∈R²

¾

On remarque queM=A+2BdoncM∈E? - EXERCICE5 -

Écrire les ensembles suivants sous forme de sous-espace engendré.

a) A=©

(x,y,−2x+y) , (x,y)∈R²ª .

Commençons par signaler queAest un sous-ensemble deR³. A=©

(x,y,−2x+y) , (x,y)∈R²ª

=©

(x, 0,−2x)+(0,y,y) , (x,y)∈R²ª

=©

x(1, 0,−2)+y(0, 1, 1) , (x,y)∈R²ª

=Vect ((1, 0,−2), (0, 1, 1)) car par définition l’ensemble©

x(1, 0,−2)+y(0, 1, 1) , (x,y)∈R²ª

représente toutes les combinaisons linéaires des vecteurs (1, 0,−2) et (0, 1, 1) qui se note justement Vect ((1, 0,−2), (0, 1, 1)).

Ainsi,Aest le sev deR³engendré par la famille ((1, 0,−2), (0, 1, 1)). Remarquons que c’est un plan vectoriel.

–1/4–

b) B= (

¡x,y,z¢

∈R³|

(x+y+z=0 x+2y=0

)

Commençons par signaler queBest un sous-ensemble deR³. Soit−→u=¡

x,y,z¢

∈R³. On a :

−

→u∈B ⇐⇒

(x+y+z=0 x+2y=0 ⇐⇒

(−2y+y+z=0 x= −2y ⇐⇒

(z=y x= −2y

⇐⇒ −→u=¡

−2y,y,y¢

=y(−2, 1, 1)

doncB=Vect ((−2, 1, 1)). Ainsi,Best le sev deR³engendré par la famille ((−2, 1, 1)). Remarquons que c’est une droite vectorielle.

- EXERCICE6 -

Montrer que l’ensembleE=

½µx z y x+2y

¶

; (x,y,z)∈R²

¾

est unR-espace vectoriel.

On a :

E=

½µx z y x+2y

¶

; (x,y)∈R²

¾

=

½ x

µ1 0 0 1

¶ +y

µ0 0 1 2

¶ +z

µ0 1 0 0

¶

; (x,y)∈R²

¾

=Vect µµ1 2

0 1

¶ ,

µ0 −1

1 2

¶ ,

µ0 1 0 0

¶¶

Ainsi,Eest le sev engendré par la famille µµ1 2

0 1

¶ ,

µ0 −1

1 2

¶ ,

µ0 1 0 0

¶¶

donc c’est un espace vectoriel.

- EXERCICE7 - a) Montrer que :Vect¡

(4, 0,−2); (1, 2,−1); (−3; 2; 1)¢

=Vect¡

(2, 0,−1); (1, 2,−1)¢ . On a, en notant−→u=(4, 0,−2),−→v =(1, 2,−1) et−→w=(−3; 2; 1) :

Vect¡

(4, 0,−2); (1, 2,−1); (−3; 2; 1)¢

=Vect¡−→u,−→v,→−w¢

=Vect¡−→u,−→v¢

car→−w= −→v− −→u

=Vect¡1 2

−

→u,→−v¢

opération autorisée

=Vect¡

(2, 0,−1); (1, 2,−1)¢ b) Soit(e1,e2,e3,e4)une famille de vecteurs d’un espace vectorielE.

Montrer que :Vect¡

e1+e2+e3+e4;e2+e3; 2e2+2e3

¢=Vect¡

e1+e4;e2+e3

¢. On a :

Vect¡

e1+e2+e3+e4;e2+e3; 2e2+2e3

¢=Vect¡ u,v,w¢

=Vect¡ u,v¢

carw=2v

=Vect¡ u−v,v¢

opération autorisée

=Vect¡

e1+e4;e2+e3

¢

- EXERCICE8 -

Déterminer une famille génératrice des sous-espaces suivants.

a) F={M∈M2(R)|AM=M A} avecA= µ1 1

0 1

¶ .

–2/4–

• SoitM∈M2(R) :M= µa b

c d

¶ . On a :

M∈F ⇐⇒AM=M A⇐⇒

µ1 1 0 1

¶ µa b c d

¶

= µa b

c d

¶ µ1 1 0 1

¶

⇐⇒

µa+c b+d

c d

¶

=

µa a+b c c+d

¶

⇐⇒













 a+c=a b+d=a+b c=c d=c+d

⇐⇒

(c=0

d=a ⇐⇒M= µa b

0 a

¶

Ainsi,M∈F⇐⇒M= µa b

0 a

¶

⇐⇒M=a µ1 0

0 1

¶ +b

µ0 1 0 0

¶

doncF=Vect µµ1 0

0 1

¶ ,

µ0 1 0 0

¶¶

. b)G=©

P∈R2[X]|P−X P^′=0ª .

• SoitP∈R2[X] :P(X)=a X²+b X+c. On a :

P∈G ⇐⇒P−X P^′=0⇐⇒a X²+b X+c−X(2a X+b)=0

⇐⇒ −a X²+c=0

⇐⇒

(a=0

c=0 car un polynôm est nul si ses coefficients sont nuls

⇐⇒P(X)=b X Ainsi,P∈G⇐⇒P(X)=bXdoncG=Vect(X).

- EXERCICE9 -

Montrer que la famille((1, 0); (0, 1))est génératrice deR²puis en déduire que la famille((1, 1); (−1, 1))est également génératrice deR².

Soit−→u=(x,y)∈R². On a : →−u=(x,y)=x(1, 0)+y(0, 1).

Donc tout vecteur→−udeR²est combinaison linéaire de ((1, 0); (0, 1)) donc la famille ((1, 0); (0, 1)) est génératrice deR²: R²=Vect ((1, 0); (0, 1)).

Montrons que ((1, 1); (−1, 1)) est également génératrice deR²en montrant que Vect ((1, 1); (−1, 1))=Vect ((1, 0); (0, 1)).

On a :

Vect ((1, 1); (−1, 1))=Vect ((0, 2); (−1, 1)) premier moins deuxième

=Vect ((0, 1); (−1, 1)) premier divisé par 2

=Vect ((0, 1); (−1, 0)) deuxième moins premier

=Vect ((0, 1); (1, 0)) deuxième divisé par−1

=R²

–3/4–

- EXERCICE10 -

a) Montrer que la famille((1, 3,−3), (4, 2,−3), (−2, 7,−6))est libre dansR³. Soient (a,b,c)∈R³. On a :

a(1, 3,−3)+b(4, 2,−3)+c(−2, 7,−6)=(0, 0, 0)⇐⇒(a+4b−2c, 3a+2b+7c,−3a−3b−6c)=(0, 0, 0)

⇐⇒







a+4b−2c=0 3a+2b+7c=0

−3a−3b−6c=0

⇐⇒







a+4b−2c=0

−10b+13c=0 L2←L2−3L1

−b+c=0 L3←L3+L2

⇐⇒







a+4b−2c=0

−10b+13c=0 L2←L2−3L1

−3c=0 L3←10L3−L2

⇐⇒n

a=b=c=0 Donc la famille ((1, 3,−3), (4, 2,−3), (−2, 7,−6)) est libre.

b) La famille¡

1+X+X², 3+X+5X², 2+X+3X²¢

est-elle une famille libre ou liée deR[X]?

On remarque que : (1+X+X²)+(3+X+5X²)=2×(2+X+3X²).

On peut donc en déduire que la famille est liée.

- EXERCICE11 -

•La famille((1, 3,−3), (4, 2,−3))est-elle libre ou liée dansR³?

Cette famille est constituée de deux vecteurs non colinéaires donc elle est libre.

•La famille((3, 3, 3))est-elle libre ou liée dansR³?

Cette famille est constituée d’un vecteur non nul donc elle est libre.

–4/4–