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Sin=pm o`up est un nombre premier, alors Φn(x

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Academic year: 2022

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Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2019/2020

M1 Th´eorie de Galois Maria Chlouveraki

Correspondance galoisienne et polynˆomes cyclotomiques - TD 10

1. Soit p un nombre premier et n ∈ N∗. Montrer que Gal(Fpn/Fp) est un groupe cyclique d’ordre nengendr´e par l’automorphisme de Frobenius ϕ:Fpn →Fpn, a7→ap.

2. Trouver tous les sous-corps deF128. 3. Calculer Φn(x) pourn= 5, . . . ,12.

4. Sip est un nombre premier, alors Φp(x) =Pp−1 i=0 xi. 5. Sin >1 est un nombre impair, alors Φ2n(x) = Φn(−x).

6. Sin=pm o`up est un nombre premier, alors Φn(x) = Φp(xpm−1) =Pp−1

i=0 xipm−1. 7. Sin=pmr o`up est un nombre premier et pgcd(p, r) = 1, alors Φn(x) = Φpr(xpm−1).

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