Unicité du tenseur de courbure

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La courbure

Erwan Penchèvre

30 mars 2015

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▶ On connaît maintenant l’effet d’un champ gravitationnel sur la matière et sur les lois de l’électrodynamique.

▶ Comment la matière crée-t-elle un champ gravitationnel ? Autrement dit : comment la matière influence-t-elle la structure métrique de l’espace-temps ?

Analogie :

les équations de Maxwell, équations différentielles décrivant le champ électromagnétiqueF^αβ en fonction deJ^α.

Quelles sont les équations différentielles reliant la structure de l’espace-temps au tenseur énergie-impulsionT^αβ de la matière ?

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Plan

Définition du tenseur de courbure Unicité du tenseur de courbure

Transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle Gravitation ou coordonnées curvilignes ?

Commutateur de deux dérivées covariantes Propriétés algébriques du tenseur de courbure Identités de Bianchi

Définition du tenseur de courbure 5 / 31

Le tenseur de courbure

Problème

On cherche un tenseur qui soit lié à la structure de l’espace-temps.

Il doit dépendre de g_µν et de ses dérivées.

Remarque

Tout tenseur ne dépendant que deg_µν et de ses dérivées premières ne dépend, en fait, que de g_µν.

Démonstration

Dans un référentiel localement inertiel, ∂g_µν

∂x^λ = 0...

Pour construire de nouveaux tenseurs, il faut regarder les dérivées secondes deg_µν (ou bien les dérivées premières deΓ_µν^λ ).

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Définition du tenseur de courbure 6 / 31

Γ_µν^λ = ∂x^λ

∂x^′τ

∂x^′ρ

∂x^µ

∂x^′σ

∂x^ν Γ_ρσ^′τ + ∂x^λ

∂x^′τ

∂²x^′τ

∂x^µ∂x^ν On isole ∂²x^′τ

∂x^µ∂x^ν :

∂²x^′τ

∂x^µ∂x^ν =∂x^′τ

∂x^λΓ_µν^λ −∂x^′ρ

∂x^µ

∂x^′σ

∂x^νΓ_ρσ^′τ On dérive par rapport à x^κ :

∂³x^′τ

∂x^κ∂x^µ∂x^ν = Γ_µν^λ (∂x^′τ

∂x^ηΓ_κλ^η −∂x^′ρ

∂x^κ

∂x^′σ

∂x^λΓ_ρσ^′τ )

−Γ_ρσ^′τ∂x^′ρ

∂x^µ (∂x^′σ

∂x^ηΓ_κ^η_ν−∂x^′η

∂x^κ

∂x^′ξ

∂x^νΓ_ηξ^′σ )

−Γ_ρσ^′τ∂x^′σ

∂x^ν

(∂x^′ρ

∂x^ηΓ_κµ^η −∂x^′η

∂x^κ

∂x^′ξ

∂x^µΓ_ηξ^′ρ )

+∂x^′τ

∂x^λ

∂Γ_µν^λ

∂x^κ −∂x^′ρ

∂x^µ

∂x^′σ

∂x^ν

∂x^′η

∂x^κ

∂Γ_ρσ^′τ

∂x^′η

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Définition du tenseur de courbure 7 / 31

Commutativité des dérivées partielles :

∂³x^′τ

∂x^κ∂x^µ∂x^ν − ∂³x^′τ

∂x^ν∂x^µ∂x^κ = 0

⇐⇒ ∂x^′τ

∂x^λ

(∂Γ_µν^λ

∂x^κ −∂Γ_µκ^λ

∂x^ν + Γ_µν^η Γ_κη^λ −Γ_µκ^η Γ_νη^λ )

−∂x^′ρ

∂x^µ

∂x^′σ

∂x^ν

∂x^′η

∂x^κ

(∂Γ_ρσ^′τ

∂x^′η −∂Γ_ρη^′τ

∂x^′σ −Γ_λσ^′τΓ_ηρ^′λ+ Γ_λη^′τΓ_σρ^′λ )

= 0

⇐⇒ ∂x^′τ

∂x^λR^λ_µνκ−∂x^′ρ

∂x^µ

∂x^′σ

∂x^ν

∂x^′η

∂x^κR^′τ_ρση = 0

⇐⇒ R^′τ_ρση = ∂x^′τ

∂x^λ

∂x^µ

∂x^′ρ

∂x^ν

∂x^′σ

∂x^κ

∂x^′ηR^λ_µνκ

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Définition du tenseur de courbure 8 / 31

Définition

le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel :

R^λ_µνκ= ∂Γ_µν^λ

∂x^κ −∂Γ_µκ^λ

∂x^ν + Γ_µν^η Γ_κη^λ −Γ_µκ^η Γ_νη^λ

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Unicité du tenseur de courbure 10 / 31

Unicité du tenseur de courbure

Proposition

R^λ_µνκ est l’unique tenseur constructible à partir de g_µν et de ses dérivées premières et secondes, et linéaire en les dérivées secondes.

Démonstration Soit un tel tenseur.

Γ_µν^λ = 0 ⇒ ∂g_µν

∂x^λ = 0 ⇒ le tenseur est fonction linéaire des dérivées secondes.

Étudions donc la forme que doit avoir ce tenseur dans un référentiel oùΓ_µν^λ = 0, en un point donné.

Il doit être fonction linéaire des ∂Γ_µν^λ

∂x^κ .

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Unicité du tenseur de courbure 11 / 31

Soit x^′ un autre référentiel tel qu’on ait aussiΓ_ρσ^′τ = 0.

Γ_µν^λ = ∂x^λ

∂x^′τ

∂x^′ρ

∂x^µ

∂x^′σ

∂x^ν Γ_ρσ^′τ + ∂x^λ

∂x^′τ

∂²x^′τ

∂x^µ∂x^ν

donc tous les référentiels x^′ tels que Γ_ρσ^′τ = 0 s’obtiennent à partir du référentiel xavec les changements de coordonnéesx→x^′ tels que :

∂²x^τ

∂x^µ∂x^ν = 0 Les dérivées troisièmes ∂³x^′τ

∂x^κ∂x^µ∂x^ν peuvent prendre des valeurs arbitraires au point en question.

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Unicité du tenseur de courbure 12 / 31

Pour un tel référentiel, l’expression des dérivées troisièmes vue plus haut montre que :

∂Γ_ρσ^′τ

∂x^′η = ∂x^µ

∂x^′ρ

∂x^ν

∂x^′σ

∂x^κ

∂x^′η

∂x^′τ

∂x^λ

∂Γ_µν^λ

∂x^κ − ∂x^µ

∂x^′ρ

∂x^ν

∂x^′σ

∂x^κ

∂x^′η

∂³x^′τ

∂x^κ∂x^µ∂x^ν Pour construire un tenseur, il faut choisir une combinaison linéaire des ∂Γ_µν^λ

∂x^κ pour laquelle les termes rouges se compensent et disparaissent.

On n’a pas le choix !

T^λ_µνκ= ∂Γ_µν^λ

∂x^κ −∂Γ_µκ^λ

∂x^ν

Dans un référentiel oùΓ_µν^λ = 0 on a doncT^λ_µνκ =R^λ_µνκ. Équation entre tenseurs⇒ elle est vraie dans tout référentiel.

Unicité du tenseur de courbure 13 / 31

Remarque

On peut certes construire d’autres tenseurs par combinaison linéaire des R^λ_µνκ :

▶ letenseur de RicciR_µκ=R^λ_µλκ

▶ lescalaire de courbureR=g^µκR_µκ

Transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle 15 / 31

Transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle

Comment mesurer les effets de la courbure de l’espace-temps ? Analogie :

quand on transporte parallèlement un vecteur le long d’une boucle sur une surface courbe, on ne retrouve pas toujours la valeur initiale après un circuit complet.

Équation dutransport parallèled’un vecteurS_µ: dS_µ

dτ = Γ_µν^λ dx^ν dτ S_λ

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Transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle 16 / 31

∆S_µ ∆S_µ=∑

N

∆_NS_µ

le long d’une boucle infinitésimale, ∆S_µ=. . .?

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Transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle 17 / 31

À l’ordre 1 en x^µ−X^µ, au point X=x(τ₀) :

S_µ(τ) =S_µ(τ₀) + Γ_µν^λ (X)(x^ν(τ)−X^ν)S_λ(τ₀) +. . .

Γ_µν^λ (x) = Γ_µν^λ (X) + (x^ρ−X^ρ)∂Γ_µν^λ

∂x^ρ (X) +. . . d’où :

S_µ(τ) =S_µ(τ₀) +

∫ _τ

τ0

dS_µ dτ dτ

=Sµ(τ0) +∫τ τ0

(

Γµν^λ(X) + (x^ρ(τ)−X^ρ)^∂Γ

µνλ

∂x^ρ(X)) (

Sλ(τ0) + Γµρ^σ(X)(x^ρ(τ)−X^ρ)Sσ(τ0))_dx^ν

dτ dτ

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Transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle 18 / 31

Le long d’une boucle, si x^µ(τ₁) =x^µ(τ₀),

∫ _τ1

τ0

dx^ν dτ dτ = 0

∆S_µ=S_µ(τ₁)−S_µ(τ₀)

=

(∂Γ_µν^σ

∂x^ρ (X) + Γ_µν^λ (X)Γ_λρ^σ(X) )

S_σ(τ₀)

∫ τ1

τ0

x^ρdx^ν dτ dτ Intégration par parties :

∫ _τ1

τ0

x^ρdx^ν dτ dτ =

∫ _τ1

τ0

d

dτ(x^ρx^ν)dτ−

∫ _τ1

τ0

x^νdx^ρ dτ dτ

=−

∫ _τ1

τ0

x^νdx^ρ dτ dτ

.

Transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle 19 / 31

d’où

∆S_µ=

(∂Γ_µν^σ

∂x^ρ + Γ_µν^λ Γ_λρ^σ )

S_σ(τ₀)×1 2

(∫ τ1

τ0

x^ρdx^ν dτ dτ −

∫ _τ1

τ0

x^νdx^ρ dτ dτ

)

= 1 2

(∂Γ_µν^σ

∂x^ρ −∂Γ_µρ^σ

∂x^ν + Γ_µν^λ Γ_λρ^σ −Γ_µρ^λΓ_λν^σ )

| {z }

R^σ_µνρ

S_σ(τ₀)

∫

x^ρdx^ν dτ dτ

donc le long d’une surface oùR^σ_µνρ= 0, on a∆S_µ= 0

.

Transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle 20 / 31

Corollaire 1

Dans une région de l’espace-temps où R^σ_µνρ= 0, la valeur d’un vecteur transporté parallèlement est indépendante du chemin suivi.

Corollaire 2

Dans une région de l’espace-temps où R^σ_µνρ= 0, à partir d’un vecteur défini en un point X donné,

on peut, par transport parallèle, définir un champS_µ(x) vérifiant : DS_µ

Dτ = 0,

le long de n’importe quelle trajectoire partant du point X.

Alors, en tout point :

S_µ;ν = 0

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Gravitation ou coordonnées curvilignes ? 22 / 31

Gravitation ou coordonnées curvilignes ?

Soit un espace-temps muni d’une métriqueg_µν̸=η_µν. Comment savoir s’il y a vraiment un champ gravitationnel ? (peut-être existe-t-il un changement de coordonnéesx→x^′ tel queg_µν^′ =η_µν globalement...)

Exemple

(r, θ, ϕ,t)

g_rr= 1, g_θθ =r², g_ϕϕ=r²sin²θ, g_tt =−1

Gravitation ou coordonnées curvilignes ? 23 / 31

Théorème

Il existe un changement de coordonnéesx→x^′ tel que g_µν^′ =η_µν si et seulement si R^λ_µνκ= 0partout.

Démonstration

(g_µν^′ =η_µν)⇒(R^λ_µνκ= 0) : évident.

(R^λ_µνκ= 0)⇒(g_µν^′ =η_µν)?

Soit un point X. Il existe un référentiel localement inertiel en X: η^αβ =g^µν(X)d^α_µd^β_ν

On définit quatre vecteurs covariants D⁰_µ,D¹_µ,D²_µ,D³_µ comme solutions des équations différentielles suivantes :





∂D^α_µ

∂x^ν −Γ_µν^λ D^α_λ= 0 D^α_µ(X) =d^α_µ

Gravitation ou coordonnées curvilignes ? 24 / 31

Ces solutions vérifient

∂D^α_µ

∂x^ν −∂D^α_ν

∂x^µ = 0,

donc chaqueD^α est le gradient d’un scalaire (Poincaré) :

∂ξ^α

∂x^µ =D^α_µ. On vérifie qu’on a alors, partout :

η^αβ =g^µνD^α_µD^β_ν car(g^µνD^α_µD^β_ν)_;ρ= 0.

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Commutateur de deux dérivées covariantes 26 / 31

Commutateur de deux dérivées covariantes

La dérivée covariante V_µ;ν est un tenseur covariant en µet enν.

On peut donc définir une dérivée covariante secondeV_µ;ν;κ :

V_µ;ν;κ= ∂V_µ;ν

∂x^κ −Γ_νκ^λ V_µ;λ−Γ_µκ^λ V_λ;ν

Exercice

Montrer que V_µ;ν;κ−V_µ;κ;ν =−V_σR^σ_µνκ et que V^λ_;ν;κ−V^λ_;κ;ν =V^σR^λ_σνκ.

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Propriétés algébriques du tenseur de courbure 28 / 31

Propriétés algébriques de R

R_λµνκ=g_λσR^σ_µνκ=g_λσ

(∂Γ_µν^σ

∂x^κ −∂Γ_µκ^σ

∂x^ν + Γ_µν^η Γ_κη^σ −Γ_µκ^η Γ_νη^σ )

Dans les termes en rouge, écrivons lesΓ_µν^σ en fonction de g_µν et de ses dérivées, puis écrivons toutes les dérivées premières deg_µν en fonction desΓ_µν^σ . Après simplification, on obtient :

R_λµνκ=1 2

( ∂²g_λν

∂x^κ∂x^µ − ∂²g_µν

∂x^κ∂x^λ − ∂²g_λκ

∂x^ν∂x^µ + ∂²g_µκ

∂x^ν∂x^λ )

+g_ησ(Γ_νλ^η Γ_µκ^σ −Γ_κλ^η Γ_µν^σ )

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Propriétés algébriques du tenseur de courbure 29 / 31

Proposition

▶ R_λµνκ=R_νκλµ

▶ R_λµνκ=−R_µλνκ =−R_λµκν =R_µλκν

▶ R_λµνκ+R_λκµν+R_λνκµ= 0

Corollaire

▶ Le tenseur de RicciR_µκ=g^λνR_λµνκ est symétrique.

▶ ε^λµνκR_λµνκ= 0.

Remarque

En utilisant la proposition, on voit qu’il n’y a, au signe près, qu’une seule manière de contracter deux indices de R_λµνκ : il y a

unicité du tenseur de Ricci.

De même pour le scalaire de courbure R=g^λνg^µκR_λµνκ.

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Identités de Bianchi 31 / 31

Identités de Bianchi

Proposition

▶ R_λµνκ;η+R_λµην;κ+R_λµκη;ν = 0

▶

(

R^µν−1 2g^µνR

)

;µ

= 0

Démonstration exercice