MATHÉMATIQUES - TERMINALE S F.HUMBERT

(1)

Table des matières

Chapitre A - Revisions 2

Chapitre B - Limites 3

Chapitre C - Continuité 22

Chapitre D - Dérivées et Primitives 28

Chapitre E - Fonctions sinus et cosinus 34

Chapitre E - Fonction exponentielle 39

Chapitre F - Fonction logarithme 44

Chapitre G - Suites 50

Chapitre H - Calcul intégral 62

Chapitre I - Nombres complexes 72

Chapitre J - Produit scalaire dans l’espace 87

Chapitre K - Droites et plans dans l’espace 90

Chapitre L - Conditionnement et indépendance 101

Chapitre M - Lois à densité 115

Chapitre N - Fluctuation et estimation 125

Chapitre V - Vocabulaire des ensembles 132

Chapitre W - Algorithmique 133

Chapitre X - Rédiger une démonstration 141

1

(2)

2

Révisions

Chapitre A - Revisions

1. Révisions 1.1. Applications.

DM 1. Montrer que pour tout réel x : (1) (1 pt)√

1 +x²> x (2) (1 pt)√

1 +x²>−x (3) (1 pt)2√

1 +x²> x

On veillera à respecter la règle du jeu des mathématiques, en particulier, chaque déduction doit mimer un théorème du cours. On essayera de trouver les démonstrations les plus courtes possible.

1.2. Travaux Dirigés.

Exercice 1. Le jet se rétrécit. Pourquoi ? Quel est l’équation du profil de l’eau ?

Exercice 2. Une des figures représente l’allure de la courbe d’équationy²=x(x²−1). Laquelle ?

(3)

Chapitre B - Limites

1. Définitions 1.1. Préalables.

DM 2. Configurer Geogebra pour qu’il affiche les noms des points. On rendra l’énoncé complété.

1. Soitf : x7→ x

x²−4x+ 3. Afficher les axes puis la courbe représentative de f entre -20 et +20. Quel est l’ensemble de définition de f ?

———————————————————————————————————————————————

2. Créer un point A sur l’axe Ox. Créer la perpendiculaire à Ox passant par A. Créer son intersection avec la courbe en l’appelant M. Créer le segment [AM]. Effacer la droite (AM). Créer la perpendiculaire à Oy passant par M. Créer son intersection avec Oy en l’appelant B. Créer le segment [BM]. Effacer la droite (BM).

En faisant glisser le point A vers la droite avec la souris, observer ce qui se passe pour le point B.

Compléter : "Je peux rendre f(x) aussi proche de ... que je veux en rendant x suffisamment grand."

Puis compléter par exemple : "Pour que f(x) < 0,05, il suffit que x > ... ". On trouvera la valeur manquante en utilisant Geogebra.

En mathématiques, on dira : "f(x) tend vers ... lorsque x tend vers plus l’infini." On peut être plus précis en disant : "f(x) tend vers ... par valeurs supérieures lorsque x tend vers plus l’infini."

3. En faisant glisser le point A vers 3 par la droite, observer ce qui se passe pour le point B.

Compléter la phrase : "Je peux rendre f(x) aussi ...que je veux en rendant x suffisamment proche de 3 par valeurs supérieures."

Puis compléter par exemple : "Pour que f(x) > 100, il suffit que 3 < x < ... ". On trouvera la valeur manquante en utilisant GeoLabo.

En mathématiques, on dira : "f(x) tend vers ...lorsque x tend vers ...

par valeurs supérieures."

4. En faisant glisser le point A vers 3 par la gauche, observer ce qui se passe pour le point B.

Compléter : "f(x) tend vers moins l’infini lorsque x tend vers ..."

5. A l’aide de manipulations analogues, compléter les phrases suivantes.

"f(x) tend vers ... lorsque x tend vers 1 par valeurs supérieures."

"f(x) tend vers ... lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures."

"f(x) tend vers ... lorsque x tend vers moins l’infini."

"f(x) tend vers ... lorsque x tend vers 2."

Pour faire plus bref, au lieu d’écrire : "f(x) tend vers b lorsque x tend vers a." on peut écrire : lim

x→af(x) =b où a et b sont soit des réels, soit le symbole+∞, soit le symbole−∞.

De même, au lieu d’écrire : "f(x) tend vers b lorsque x tend vers a par valeurs inférieures." on peut écrire :

x→alim

x<a

f(x) =b ou lim

x→a⁻f(x) = b et au lieu d’écrire "f(x) tend vers b par valeurs supérieures lorsque x tend vers a" on peut écrire : lim

x→af(x) =b⁺ .

(4)

4

Limites

6. On travaille dorénavant avec f : x 7→ x²

(x+ 1)². Après avoir sauvegardé le fichier Geogebra précédent, créer un nouveau ficher, afficher les axes puis afficher la courbe représentative de cette nouvelle fonction. En l’observant, écrire toutes les limites faisant intervenir l’infini.

———————————————————————————————————————————————

Plutôt que d’écrire

( lim

x→a⁻f(x) =b lim

x→a⁺f(x) =b , on peut écrire seulement lim

x→af(x) = b. L’appliquer à la fonction précédente.

———————————————————————————————————————————————

7. Dorénavant f est la fonction cube. Après avoir sauvegardé le fichier Geogebra précédent, créer un nouveau ficher, afficher les axes puis afficher la courbe représentative de cette nouvelle fonction. En l’observant, écrire toutes les limites faisant intervenir l’infini.

———————————————————————————————————————————————

8. Dorénavant f est la fonction sinus. Après avoir sauvegardé le fichier Geogebra précédent, créer un nouveau ficher, afficher les axes puis afficher la courbe représentative de cette nouvelle fonction. En l’observant, écrire toutes les limites faisant intervenir l’infini.

———————————————————————————————————————————————

9. Dorénavantf :x7→ sinx

x . Après avoir sauvegardé le fichier Geogebra précédent, créer un nouveau ficher, afficher les axes puis afficher la courbe représentative de cette nouvelle fonction. En l’observant, écrire toutes les limites faisant intervenir l’infini.

———————————————————————————————————————————————

10.

Si f(x) tend vers une limite infinie lorsque x tend vers un réel fini a par valeurs supérieures ou inférieures, on dit que la courbe représentative de f admet la droite d’équation x = a comme asymptote verticale.

Si f(x) tend vers une limite finie b lorsque x tend vers+∞, on dit que la courbe représentative de f admet la droite d’équation y = b comme asymptote horizontale au voisinage de+∞.

Si f(x) tend vers une limite finie b lorsque x tend vers−∞, on dit que la courbe représentative de f admet la droite d’équation y = b comme asymptote horizontale au voisinage de−∞.

Reprendre le fichier de la fonctionx7→ x²

(x+ 1)² . Donner les équations des asymptotes.

Observer les positions des asymptotes par rapport à la courbe.

———————————————————————————————————————————————

(5)

———————————————————————————————————————————————

11. En s’appuyant sur les limites étudiées précédemment, donner les équations des asymptotes éventuelles aux courbes représentatives des fonctions étudiées précédemment :

x7→ x² (x+ 1)²

———————————————————————————————————————————————

x7→ x x²−4x+ 3

———————————————————————————————————————————————

x7→x³

———————————————————————————————————————————————

x7→sinx

———————————————————————————————————————————————

x7→ sinx

———————————————————————————————————————————————x

12. La courbe représentative d’une fonction admet-elle un nombre maximal d’asymptotes horizontales ? Si oui lequel ?

———————————————————————————————————————————————

La courbe représentative d’une fonction admet-elle un nombre maximal d’asymptotes verticales ? Si oui lequel ?

———————————————————————————————————————————————

(6)

6

Limites

1.2. Cours. Dans la définition suivante, a et b désignent soit des nombres, soit +∞, soit −∞. "Rendre x proche de +∞" signifie "rendre x grand et positif". "Rendre x proche de −∞" signifie "rendre x grand et négatif".

Définition 1. On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a ssi on peut rendre f(x) aussi proche de b qu’on veut en rendant x suffisamment proche de a. On note lim

x→af(x) =b. Remarque 1. Lorsqu’on rend x suffisamment proche de a, x reste différent de a.

Exercice 3. Etudier la limite en+∞de sin(x).

———————————————————————————————————————————————

Remarque 2. Les suites sont des fonctions dont le domaine de définition est un sous-ensemble de N. Etant donné qu’elles ne sont pas définies au voisinage des entiers où elles sont définies, on ne saurait envisager la limite d’une suite au voisinage d’un entier ; encore moins au voisinage de−∞. Les seules limites envisageables sont celles en+∞.

Remarque 3. Dans l’énoncé suivant, siadésigne un nombre, et si on remplaceapara⁺, il faut remplacer "x tend vers a" par "x tend vers a par valeurs supérieures" et "proche de a" par "proche de a et supérieur à a".

Même chose pourb,a⁻,b⁻. Théorème 1. lim

x→a⁺f(x) =b et lim

x→a⁻f(x) =b ssi lim

x→af(x) =b

Définition 2. Cfadmet une asymptote horizontale d’équationy=bau voisinage de+∞ssi lim

x→+∞f(x) =b. Même chose en−∞.

Définition 3. C_f admet une asymptote verticale d’équationx=assi lim

x→a⁺f(x) = +∞ou lim

x→a⁻f(x) = +∞

ou lim

x→a⁺f(x) =−∞ou lim

x→a⁻f(x) =−∞. 1.3. Travailler son cours.

Exercice 4. La courbe représentative d’une fonction f est donnée ci-dessous. Sans justification donner : l’ensemble de définition, les limites aux bornes de cet ensemble, l’ensemble de dérivabilité.

Remarque 4. L’expression lim

x→af(x) =b forme un tout indécomposable, ce n’est pas une égalité entre deux nombres. D’ailleurs elle se lit sans employer le mot égal : “f(x) tend vers b lorsque x tend vers a” . Si j’étais libre de mes notations, j’aurais certainement préféré la notation suivante :f(x)→b

x→a . Il en découle quelim

x→af(x)seul ne veut rien dire. Il en découle aussi qu’on ne peut pas enchaîner les égalités comme dans lim

x→+∞

1 x+ 1

x²

=

x→+∞lim 1 x+ lim

x→+∞

1

x² = 0+0 = 0pour la simple raison qu’on ne peut pas écrire lim

x→+∞

1 x+ 1

x²

avant d’avoir montré que cette limite existe. Vous trouverez malheureusement de tels “calculs” dans certains ouvrages peu recommandables.

Remarque 5. Dans l’expression lim

x→af(x) =b,b est par définition une constante. Il ne saurait y avoir de x à droite du =.

(7)

Remarque 6. Il faut mettre des parenthèses autour des sommes, différences et opposés dans des expressions comme lim

x→2(x+ 3) = 5, lim

x→2(x−3) =−1 ou lim

x→2(−2x) =−4.

Remarque 7. Pour les asymptotes horizontales on précise si c’est au voisinage de+∞ou−∞. Cela n’aurait aucun sens pour les asymptotes verticales.

Remarque 8. En général les asymptotes verticales sont situées aux points où la fonction n’est pas définie.

Mais pas toujours, il y a des contre-exemples.

Exercice 5. Vrai/Faux (1) Soit a un nombre fini. Silim

x→af(x) = +∞alors la courbe représentative de f admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses.

(2) Si l’ensemble de définition de la fonction f estR− {a}, alors la droite d’équationx=aest asymptote à la courbe représentative de f.

(3) Si une fonction f est strictement croissante sur[0; +∞[, alors elle ne vérifie pas nécessairement lim

x→+∞f(x) = +∞.

(4) Si une fonction f vérifie lim

x→+∞f(x) = +∞ alors elle est forcément croissante "à partir d’un certain moment".

(5) Si une fonction a une asymptote en+∞elle a forcément une asymptote en−∞.

(6) Si tout intervalle ouvert contenant 3 contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand, alors, lim

x→+∞f(x) = 3.

(7) Si, pour x plus grand que 1000, toutes les valeurs f(x) appartiennent à]2,999; 3,001[, alors lim

x→+∞f(x) = 3. (8) Si f est positive ou nulle et lim

x→+∞f(x) = 0, alors il existe nécessairement un intervalle[a; +∞[sur lequel f est décroissante.

(9) La fonction définie parf(x) =cos(x)−xn’a pas de limite en +∞. 1.4. Applications.

Exercice 6. Montrer que si une fonction admet une limite finie en +∞alors elle est bornée au voisinage de +∞. La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 7. Pour cet exercice, on utilisera aucun outil informatique.

1. Soitf :x7→x²−100x.

Compléter et justifier : “Pour rendre f(x) plus grand que 1000, il suffit de rendre x plus grand que ...”

. On cherchera une démonstration en commençant par la fin : “x >?⇒...⇒f(x)>1000”.

Généraliser la démonstration afin de pouvoir compléter : “Pour rendre f(x) plus grand que B il suffit de rendre x plus grand que ... (écrire ici une expression dépendant de B)”.

2. Soitf :x7→ x+ 10000 x−2 .

Compléter et justifier : “Pour rendre |f(x)−1| plus petit que 0,001 , il suffit de rendre x plus grand que ...” . On cherchera une démonstration en commençant par la fin : “x >?⇒...⇒ |f(x)−1|>0,001”.

Généraliser la démonstration afin de pouvoir compléter : “Pour rendre|f(x)−1|plus petit que B il suffit de rendre x plus grand que ... (écrire ici une expression dépendant de B)”.

3. Soitf :x7→ 1

(1000x−2000)².

Compléter et justifier : “Pour rendre f(x) plus grand que 1000, il suffit de prendre x dans]2; 2 +...[”. On cherchera une démonstration en commençant par la fin : “0<x-2< ?⇒...⇒f(x)>1000”.

Généraliser la démonstration afin de pouvoir compléter : “Pour rendre f(x) plus grand que B, il suffit de prendre x dans]2; 2 +...[(écrire une expression dépendant de B)”.

(8)

8

Limites

Exercice 8. Soit f définie par f(x) = ^x+1_x+2. Montrer que lim

x→+∞f(x) = 1 en revenant à la définition de la limite.

Exercice 9. Soit f définie parf(x) =x²−x+ 3. Montrer que lim

x→+∞f(x) = +∞en revenant à la définition de la limite.

Exercice 10. Soit f définie parf(x) = ^x+1_x−2. Montrer que lim

x→2⁺f(x) = +∞en revenant à la définition de la limite.

Exercice 11. Soita >0. Etude suivant les valeurs de m≥0 de la limite en+∞de f_m(x)=√

mx²+a−

√x²+x−a.

Exercice 12. Etudier la limite en ^π₂ de 1−sinx+cosx 1−sinx−cosx.

2. Limites et opérations 2.1. Préalables.

Exercice 13. Compléter le tableau suivant en donnant des exemples de fonctions a et b ayant les propriétés spécifiées lorsque x tend vers+∞.

a(x) a(x) tend vers : b(x) b(x) tend vers : u(x) u(x) tend vers :

+∞ +∞ a(x)−b(x) +∞

+∞ +∞ a(x)−b(x) −∞

+∞ +∞ a(x)−b(x) 0

+∞ +∞ a(x)−b(x) 5

+∞ +∞ a(x)

b(x) +∞

+∞ +∞ a(x)

b(x) 0

+∞ +∞ a(x)

b(x) 5

0 0 a(x)

b(x) +∞

0 0 a(x)

b(x) -∞

0 0 a(x)

b(x) 0

0 0 a(x)

b(x) 5

+∞ 0 a(x)×b(x) +∞

+∞ 0 a(x)×b(x) 0

+∞ 0 a(x)×b(x) 5

2.2. Cours.

Théorème 2. Limite de fonctions usuelles : Si n est un entier naturel non nul, lim

x→+∞xⁿ= +∞. Si n est un entier naturel pair non nul, lim

x→−∞xⁿ= +∞ . Si n est un entier naturel impair, lim

x→−∞xⁿ=−∞.

x→+∞lim

√x= +∞, lim

x→+∞

1

x = 0, lim

x→−∞

1

x= 0 , lim

x→0⁺ 1

x = +∞, lim

x→0⁻ 1 x =−∞

Les fonctions sin et cos n’ont pas de limite en l’infini.

Théorème 3. Limite d’une somme :

(9)

Si lim

x→af(x) =... et lim

x→ag(x) =... alors lim

x→a(f(x) +g(x)) =...

l l’

l +∞

l −∞

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ −∞

Théorème 4. Limite d’un produit : Si lim

x→af(x)g(x) =...

l l’

l >0 +∞

l <0 +∞

l >0 −∞

l <0 −∞

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ −∞

0 +∞

0 −∞

Théorème 5. Limite d’un quotient : Si lim

x→a f(x) g(x) =...

l l⁰6= 0

l +∞

l −∞

l >0 0⁺

l <0 0⁺

l >0 0⁻

l <0 0⁻

0 0

+∞ 0⁺

+∞ 0⁻

−∞ 0⁺

−∞ 0⁻

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ −∞

−∞ +∞

Remarque 9. Ces tableaux se retrouvent facilement en raisonnant ainsi : un grand nombre positif divisé par un petit nombre négatif donne un grand nombre négatif etc.

Remarque 10. Le seul cas où il est nécessaire de savoir si on s’approche d’une limite par valeurs supérieures ou inférieures est celui d’un dénominateur tendant vers 0.

Remarque 11. Il est mal vu de transformer une expression alors qu’on peut conclure dans l’immédiat.

Exemple 1. Etudier la limite en 3 de ^x−5_x−3. lim

x→3⁺(x−5) =−2 et lim

x→3⁺(x−3) = 0⁺ donc lim

x→3⁺ x−5 x−3 =−∞

lim

x→3⁻(x−5) =−2 et lim

x→3⁻(x−3) = 0⁻ donc lim

x→3⁻ x−5 x−3 = +∞

Exemple 2. Etudier la limite en+∞dex−x². Pour toutx∈]1000; +∞[,x−x²=x(1−x).

(10)

10

Limites

x→+∞lim (−x) =−∞donc lim

x→+∞(1−x) =−∞or lim

x→+∞x= +∞donc lim

x→+∞x(1−x) =−∞donc lim

x→+∞(x− x²) =−∞

Exemple 3. Etudier la limite en+∞de ^5x²_4x−5^+3x−2. Pour toutx∈]1000; +∞[, ^5x²_4x−5^+3x−2= ^5x

2(1+_5x³− ²

5x2)

4x(1−_4x⁵) = ^5x₄ ×¹⁺

3 5x− ²

5x2

1−_4x⁵ x→+∞lim

5

4x = 0donc lim

x→+∞ 1−_4x⁵

= 1(1) De même lim

x→+∞ 1 + _5x³ −_5x²2

= 1(2) (1) et (2) donc lim

x→+∞

1+_5x³− ²

5x2

1−_4x⁵ = 1or lim

x→+∞

5x

4 = +∞donc lim

x→+∞

5x 4×¹⁺

3 5x− ²

5x2

1−_4x⁵ = +∞donc lim

x→+∞

5x²+3x−2 4x−5 = +∞.

Remarque 12. Dans la rédaction d’une étude de limite, comme d’habitude, on mime les théorèmes. Il ne doit pas y avoir plus d’un théorème appliqué par "donc".

Exemple 4. Soitf :x7→ 2x−1

x+ 2 . Procédons à l’étude complète de cette fonction.

f est définie surR− {−2}

En affichant la courbe représentative de f sur une calculatrice, on conjecture que I(-2 ;2) est un centre de symétrie de cette courbe. Montrons-le.

Pour tout nombreh6= 0, f(−2 +h) +f(−2−h)

2 =

2(−2 +h)−1

h +2(−2−h)−1

−h

2 = (−5 + 2h)−(−5−2h)

2h =4h

2h = 2.

On pourra donc limiter l’étude de f à]−2; +∞[.

f est dérivable sur cet intervalle en tant que fonction rationnelle.

f⁰(x) =2(x+ 2)−(2x−1)×1

(x+ 2)² = 5

(x+ 2)² >0donc f est strictement croissante sur]−2; +∞[. Etudions les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.





 lim

x→−2⁺(2x−1) =−5 lim

x→−2⁺(x+ 2) = 0+ donc lim

x→−2⁺

2x−1

x+ 2 = −∞ donc Cf admet une asymptote verticale d’équation x=−2.

Pour tout x>1000,f(x) =

x(2− 1 x) x(1 + 2

x)

= 2− 1

x 1 + 2 x .

x→+∞lim 1

x = 0donc











x→+∞lim

2−1 x

= 2

x→+∞lim

1 + 2 x

= 1

donc lim

x→+∞

2− 1 x 1 + 2 x

= 2donc lim

x→+∞f(x) = 2doncCf admet une asymptote horizontale d’équationy= 2au voisinage de+∞.

x -2 +∞

f’(x) || +

f(x) || −∞ % 2

(11)

Remarque13. Les tracés de courbe sont des questions faciles mais longues qui rapportent beaucoup de points au baccalauréat. Il ne faut pas oublier de :

(1) respecter l’échelle et l’indiquer sur le graphique,

(2) calculer les coordonnées d’au moins 5 points et le faire savoir par de petites croix, (3) indiquer les tangentes horizontales systématiquement par le symbole←→,

(4) tracer toutes les asymptotes et tangentes (←→) déterminées dans les questions du problème.

2.3. Travailler son cours.

Exercice 14. Vrai/Faux

(1) La courbe représentative dex7→ 1

x−2 admet une asymptote verticale et une asymptote horizontale.

(2) Si lim

x→af(x) = +∞et lim

x→ag(x) =−∞alors lim

x→a(f(x) +g(x)) = 0. (3) Si lim

x→af(x) = +∞et lim

x→a

f(x) g(x) =−1. (4) Une courbe ne rencontre jamais son asymptote.

(5) Si lim

x→+∞f(x) = 0et lim

x→+∞g(x) =−∞alors lim

x→+∞

f(x) g(x) = 0. (6) lim

x→+∞

x

100000000000000 = 0 (7) Si f(x) tend vers 0 alors 3

f(x) tend vers+∞. 2.4. Applications.

Exercice 15. Conjecturer les limites des fonctionsf :x7→x+sinxetg:x7→x×sinxen+∞.

Remarque 14. Les seules limites supposées connues sont celles des fonctions de référence. Plus que jamais, dans une étude de limite, chaque déduction doit mimer un seul théorème sur la limite d’une somme, d’une différence, d’un produit ou d’un quotient ; On y fera attention dans l’exercice suivant.

Exercice 16. Etudier la limite en+∞dex√

x+ 1

√x+ 1.

———————————————————————————————————————————————

(12)

12

Limites

———————————————————————————————————————————————

Remarque 15. Lorsqu’on étudie la limite d’une fonction rationnelle en +∞ ou -∞, la mise en facteur du terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur permet de conclure. Attention cette règle ne s’applique qu’aux fractions rationnelles et elle n’est d’aucune utilité pour étudier une limite en un nombre fini.

Exercice 17. Etudier la limite en−∞de x³+ 2x²−1 x+ 2 .

———————————————————————————————————————————————

Remarque 16. Lorsqu’un dénominateur tend vers 0 il faut préciser si c’est 0 par valeurs supérieures ou inférieures pour pouvoir conclure. Les élèves oublient souvent de préciser. Exemple :

x→1lim(x−1)²= 0⁺ donc lim

x→1

2

(x−1)² = +∞

C’est le seul cas où il est utile de préciser si la limite est par valeurs inférieures ou supérieures.

Exercice 18. Etudier la limite en 2 de x²+ 3x−4 x²−5x+ 6.

———————————————————————————————————————————————

(13)

———————————————————————————————————————————————

Remarque 17. Lorsqu’on ne peut pas conclure dans l’immédiat, il faut transformer l’expression dont on cherche la limite jusqu’à ce qu’on puisse conclure avec les théorèmes sur les limites et les opérations.

Exercice 19. Etudier la limite en+∞de x+√ x x−√

x.

———————————————————————————————————————————————

Remarque 18. Pour pouvoir conclure il est parfois nécessaire de multiplier et diviser par la forme conjuguée.

Remarque 19. Au brouillon, étudier les limites en utilisant des “bulles”. Par exemple pour la limite en+∞de

(3x+1)³ 1+^√¹_x :

Exercice 20. Pour chaque fonction étudier la limite en a, au brouillon, à l’aide de bulles, et si on peut en déduire l’existence d’une asymptote, en donner l’équation.

(14)

14

Limites

f(x) a limite éventuelle en a asymptote éventuelle x√

2

3−x +∞

x²

(x+ 100)² -100 x√

2

3−x 3

x−1

x²−9 −3⁺ x−1

x²−9 3⁺ x−1

x²−9 −∞

Exercice 21.

1. Déterminer les asymptotes de la courbe représentative def :x7→ x+ 2 3x−6.

2. Etudier la position relative deCf par rapport aux éventuelles asymptotes horizontales.

———————————————————————————————————————————————

Exercice 22. Donner le tableau de variation des fonctions suivantesx7−→ −f(x),x7−→2f(x),x7−→ |f(x)|, x7−→f(x)²,x7−→ _f(x)¹ .

Aucune justification n’est attendue.

x −∞ α 3 +∞

f(x) -2 % 0 % +∞ || −∞ % 0

DM 3. Soitfndéfinie surR− {2}parfn(x) =x−n+ 2−²ⁿ⁻⁶_x−2 oùn∈N^∗. SoitCnla courbe représentative defn.

1. Montrer qu’il existe un point commun à toutes les courbes de cette famille de fonctions.

2. Quelle est la nature deC3?

3. Pour quelles valeurs de nfn a-t-elle des extremums ?

4. Démontrer que pourn6= 3toutes les courbes de la famille ont une asymptote.

5. Faire une étude complète def₂ et représenter C₂.

DM 4. Soit f définie surR− {−1; 2} par :f(x) =_(x+1)(x−2)^(x+2)² . Faire l’étude complète de f.

(15)

3. Limite de f(g(x)) 3.1. Cours.

Théorème 6. a, b et l désignant un réel, +∞ou -∞, si lim

x→af(x) =b et lim

y→bg(y) =l alors lim

x→ag(f(x)) =l.

Exemple 5. lim

n→+∞(x+ 1) = +∞et lim

x→+∞

√x= +∞donc lim

n→+∞

√x+ 1 = +∞

3.2. Applications.

Exercice 23. Etudier les limites en +∞ et 0 de la fonction f définie par f(x) =

√x+1−1

x et en déduire l’existence éventuelle d’asymptotes.

3.3. Recherche.

Exercice 24. Etudier la limite en ¹₂ de ^cosπx_2x−1.

4. Limites et comparaison 4.1. Cours.

Théorème 7. Théorème des gendarmes. Soit f, g et h trois fonctions définies dans un voisinage de a (éventuellement infini). Soit l un réel. Si pour tout x de ce voisinagef(x)≤g(x)≤h(x) et lim

x→af(x) =l et

x→alimh(x) =l alors lim

x→ag(x) =l.

Remarque 20. On rappelle qu’on appelle voisinage de a un intervalle ouvert contenant a, privé de a.

Théorème 8. Soit f et g des fonctions numériques. Soit a un réel ou +∞ ou -∞. Si pour tout x dans un voisinage de a,f(x)≤g(x)et lim

x→af(x) = +∞alors lim

x→ag(x) = +∞.

Démonstration. (ROC) On démontre ce théorème dans la cas particulier de deux suites u et v telles que

n→+∞lim un= +∞et∀n≥N0un≤vn. Il faut montrer qu’on peut rendrevn aussi grand et positif qu’on veut en rendant n suffisamment grand.

FixonsM ∈Rquelconque.

n→+∞lim u_n= +∞donc∃N⁰∈N∀n≥N⁰u_n≥M or sin≥N =sup(N₀;N⁰)v_n ≥u_ndonc sin≥N v_n≥M. On a montré que∀M ∈R∃N ∈Nvn≥M donc lim

n→+∞vn= +∞.

Théorème 9. Soit f et g des fonctions numériques. Soit a un réel ou +∞ ou -∞. Si pour tout x dans un voisinage de a,f(x)≤g(x)et lim

x→af(x) =−∞.

4.2. Applications.

Exercice 25. Etudier la limite en +∞dex+sin(x).

Exercice 26. On note E(x) la partie entière de x, c.a.d. le plus grand entier inférieur ou égal à x. Etudier les limites en +∞et -∞des fonctions suivantes :f :x7−→ ^E(x)_x ;g:x7−→xE(x).

5. Limites des suites arithmétiques et géométriques 5.1. Cours.

Théorème 10. Variations d’une suite arithmétique.

- Si la raison de la suite est strictement positive, la suite est - Si la raison de la suite est strictement négative, la suite est - Si la raison de la suite est nulle, la suite est

(16)

16

Limites

Théorème 11. Limites de certaines suites géométriques de raisonr.

- Sir >1, lim

n→+∞rⁿ= +∞.

- Si−1< r <1, lim

n→+∞rⁿ= 0 Démonstration. (ROC) Casr >1.

Soita >0tel quer= 1 +a. Montrons par récurrence :Pn: ”(1 +a)ⁿ ≥1 +na”pour tout entier natureln. Initialisation

(1 +a)⁰= 1et 1 + 0×a= 1 doncP0. Hérédité

Fixons un entier naturel n. Supposons que(1 +a)ⁿ≥1 +na.

(1 +a)ⁿ⁺¹ = (1 +a)ⁿ(1 +a)et (1 +a)ⁿ ≥1 +na(HR) et1 +a >0 donc(1 +a)ⁿ⁺¹ ≥(1 +na)(1 +a) = 1 + (n+ 1)a+na²≥1 + (n+ 1)a

Conclusion

On a montréP₀ et ∀n∈NP_n ⇒P_n+1 donc, d’après le principe de récurrence,∀n∈N(1 +a)ⁿ≥1 +naor

n→+∞lim (1 +na) = +∞donc lim

n→+∞rⁿ= +∞.

Démonstration. Cas où−1< r <1.

On ne traite pas le casr= 0 qui est évident.

Si r 6= 0 , soit q= _|r|¹. q > 1 donc d’après la première propriété lim

n→+∞qⁿ = +∞ donc lim

n→+∞

1

qⁿ = 0 donc

n→+∞lim |rⁿ|= 0donc lim

n→+∞rⁿ= 0.

5.2. Applications.

Exercice 27. Soit une suite définie par

u₀= 16

∀n∈Nu_n+1= ¹₂u_n+ 5 . Montrer par recurrence que cette suite est décroissante.

Exercice 28. Elise a placé 300€ sur un compte le 1° janvier 2002., puis elle a versé 350€ sur son compte le 1° janvier de cahque année suivante. Le compte est rémunéré à 4%. Les intérêts sont placés sur le compte lui-même chaque 1° janvier.

(1) Programmer en Python un algorithme qui demande un entier n et affiche le montants_n de l’épargne pendant l’année 2002+n.

(2) Programmer en Python un algorithme qui demande une somme S et affiche au bout de combien d’années le montant du compte dépassera cette somme.

(3) En utilisant ce programme, indiquer combien d’années Elise devra épargner pour avoir sur son compte plus de 10 000 € ? 50 000 € ? 200 000 € ? 1 000 000 € ?

(4) En déduire une conjecture quant à la suite(sn). (5) Montrons cette conjecture :

(a) Soit u une suite définie paru_n=s_n+ 8750. Montrer que(u_n)est géométrique. Quelle est la raison ? (b) Donner une définition explicite de(un).

(c) Etudier la limite de(u_n). (d) Etudier la limite de(sn).

DM 5. Soit une suite définie paru₀= 2,u₁= 5et pour tout entiern≥2,u_n = 5u_n−1−4u_n−2. (1) Démontrer que cette suite est strictement croissante.

(2) Donner une définition explicite de cette suite.

(3) Montrer que cette suite est divergente (c.a.d qu’elle tend vers+∞ou−∞ou n’a pas de limite).

Indication : les suites géométriques pourraient être utiles ...

(17)

Exercice 29. On construit une suite infinie de disques comme sur la figure suivante, de sorte queDn a un rayon moitié de celui deD_n−1. Montrer que tous les disques sont intérieurs au disqueD0. Montrer que l’aire des disques intérieurs est égale à 1/3 de l’aire du grand disque.

6. Limite d’une suite monotone 6.1. Préalable.

Exercice 30. Vrai/Faux 1. Si lim

n→+∞un= +∞, alors, à partir d’un certain rang, toutes les valeurs de la suite (un) sont nécessairement supérieures à 1000000.

2. Si à partir d’un certain rang, toutes les valeurs de la suite (un) sont nécessairement supérieures à 1000000, alors lim

n→+∞un= +∞.

6. Soit une fonction f définie surR⁺et la suiteundéfinie parun=f(n). Si lim

x→+∞f(x) = 10alors lim

n→+∞un= 10.

7. Soit une fonction f définie surR⁺et la suiteu_ndéfinie paru_n=f(n). Si lim

n→+∞u_n= 10alors lim

x→+∞f(x) = 10.

9. Si lim

n→+∞(un+1−un) = 0alors la suite(un)converge.

Exercice 31. Donner un exemple de suite tendant vers +∞qui ne soit pas croissante à partir d’un certain rang.

6.2. Cours.

Définition 4. Une suite estconvergentessi elle admet une limite finie.

Définition 5. Une suite estdivergentessi elle n’admet pas de limite, ou tend vers +∞ou -∞. Définition 6.

Une suite(u_n)est majorée ssi∃M ∈R∀n∈Nu_n≤M. Une suite(u_n)est minorée ssi∃m∈R∀n∈Nu_n≥m. Une suite est bornée ssi elle est majorée et minorée.

Théorème 12. Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.

(18)

18

Limites

Démonstration. (ROC) Soit]A; +∞[un voisinage quelconque de+∞. Comme(un)n’est pas majorée, il existe un indice p tel queup> A. Comme(un)est croissante, pour tout entiern≥p,un≥up>A. On a montré qu’il existe un voisinage ]p ;+∞[ de+∞telque pour toutn∈]p; +∞[,u_n∈]A; +∞[. Donc lim

n→+∞u_n= +∞. Théorème 13. Toute suite décroissante non minorée tend vers -∞.

Démonstration. idem

Théorème 14. Toute suite croissante majorée par A converge vers une limite l inférieure ou égale à A.

Démonstration. admis

Théorème 15. Toute suite décroissante minorée par A converge vers une limite l supérieure ou égale à A.

Théorème 16. Si une suite croissante tend versl, elle est majorée parl. Si une suite décroissante tend vers l, elle est minorée parl.

Démonstration. (ROC) Démontrons la première partie par l’absurde.

Supposons qu’il existen₀∈Ntel queu_n₀ > l.

]l−1;u_n₀[ est un voisinage de l (un intervalle ouvert contenant l) et lim

n→+∞u_n = l donc ce voisinage doit contenir tous les termes de la suite à partir d’un certain rang N.

u est croissante donc∀n > n₀u_n≥u_n₀⇒u_n∈]l/ −1;u_n₀[. Contradiction !

On a montré par l’absurde que u est majorée par l.

1. Si la suite(u_n)est croissante et majorée par 5, alors elle converge nécessairement vers 5.

Exercice 33. Soit(u_n), définie sur Nune suite strictement positive.

Soit(v_n), définie surNparv_n= −2

un. Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Selon les cas, justifier ou donner un contre-exemple.

(1) Si(un)est convergente, alors(vn)est convergente.

(2) Si(un)est minorée par 2, alors(vn)est minorée par -1.

(3) Si(un)est décroissante, alors(vn)est croissante.

(4) Si(un)est divergente, alors(vn)converge vers 0.

6.4. Applications.

Exercice 34. Soit une suite définie par

u0=^π₃

∀n∈Nun+1= ¹₂un|sin(un)| . On admettra que cette suite est positive.

(1) Etudier les variations de cette suite.

(2) Cette suite est-elle convergente, et si oui, quelle est sa limite ? Exercice 35. Soit une suite définie par

u₀= 3

∀n∈Nu_n+1 = 1 +u²_n . (1) Montrer que la suite est minorée par 1.

(2) Etudier les variations de la suite.

(3) Montrer que la suite n’est pas majorée.

(4) Quelle est la limite de cette suite.

Exercice 36. La suite u est définie par

u0= 2

∀n∈Nun+1= 2−_u³

n+2

.

(19)

(1)

(a) Conjecturer la limite de cette suite à l’aide de la calculatrice.

(b) Démontrer cette conjecture.

(c) Etudier les variations de cette suite.

(d) Démontrer qu’elle converge.

(2)

(a) Ecrire un programme Python qui permette d’obtenir le rang N à partir duquelu_n−1est inférieur à un réel donné par l’utilisateur.

(b) A partir de quel rang a-t-onu_n<1,0003? u_n<1,00005?

Exercice 37. Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

? En 2010 la population de ruraux compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;

? chaque année, à partir de 2011, 10% de ruraux émigrent à la ville ;

? chaque année, à partir de 2011, 5% de citadins émigrent en zone rurale.

On note un et vn les populations en zone rurale et en ville, en l’année 2010+n, exprimées en millions d’habitants. On suppose que la population totale est constante.

(1) A l’aide d’un tableur, afficher les populations citadines et rurales sur 60 ans (imprimer, coller dans le cahier).

(2) Quelle conjecture peut-on faire concernant l’évolution à long terme de cette population ? (3) Exprimeru_n+1 en fonction deu_n (uniquement).

(4)

(a) Démontrer par récurrence que (un)est décroissante.

(b) Démontrer par récurrence que (un)est positive.

(c) Que peut-on en déduire pour la suite ?

(5) Soit w la suite définie pour tout entier n par w_n =u_n−40.

(a) Démontrer que w est une suite géométrique dont on précisera la raison.

(b) En déduire l’expression de wn puisun puisvn en fonction de n.

(6) Valider ou invalider les conjectures précédentes.

(7) Ecrire en Python un programme qui détermine au bout de combien d’années la population des citadins dépasse celle des ruraux. L’imprimer et le coller dans le cahier.

DM 6. Soit f définie sur[0; +∞[parf(x) =ln(x+1)+¹₂x²et(u_n)définie paru₀= 1et∀n∈Nu_n+1=f(u_n). (1) Etudier les variations de f.

(2) Déterminer une équation de la tangente T en 0. Dans la suite on supposera queC_f est au-dessus de T.

(3) Montrer que∀n∈Nun ≥1. (4) Montrer que(un)est croissante.

(5) Montrer que(un)n’est pas majorée. On soignera la rigueur dans le traitement de cette question.

(6) Déterminer la limite de(un).

DM 7. Soit un carré ABCD dont le côté mesure 10 cm. Le pointA1est sur le côté[AB]à 1 cm du point A.

De même pourB1,C1 etD1.

(20)

20

Limites

1. Prouver queA1B1C1D1 est un carré.

2. On construit de la même façon un carré A2B2C2D2 à partir deA1B1C1D1, etc. On définit la suite (un) égale à la longueur des côtés des carrés successifs (u₀=AB). Montrer que(u_n)est décroissante et minorée.

En déduire qu’elle converge vers un nombre a positif ou nul.

3. Trouver une relation entreu_n+1et u_n. 4. En déduire la valeur de a.

DM 8. Soit(un)la suite définie paru0= 0et pour tout entier naturel n :un+1=un+e^−uⁿ. 1. Montrer que(un)est strictement croissante.

2. Montrer que si(un)converge vers un réel l, alorsl=l+e^−l. 3.(un)est-elle majorée ?

4. Déterminer la limite de(un)en +∞.

DM 9. SoitI= [0; 1]. Soit f définie sur I parf(x) = ^3x+2_x+4. 1. Etudier les variations de f et en déduire que,∀x∈I, f(x)∈I. 2. Soit(u_n)définie paru₀= 0et u_n+1=^3u_uⁿ⁺²

n+4. Montrer que ∀n∈N, u_n∈I. On se propose d’étudier(un)par 2 méthodes différentes :

Première méthode :

3.a Représenter f dans un repère orthonormal d’unité graphique 10 cm.

3.b En utilisant le graphique précédent, placer les points A0, A1, A2, A3 d’ordonnée nulle et dabscisses res- pectivesu0, u1, u2, u3. Que suggère le graphisme concernant le sens de variation de(un)et sa convergence ? 3.c Etablir la relationu_n+1−u_n =^(1−u_uⁿ^)(uⁿ⁺²⁾

n+4 et en déduire les variations de(u_n). 3.d Démontrer que(un)est convergente.

3.e Prouver que la limite l de la suite(un)vérifiel=f(l)et calculer l. (Rigueur !) Deuxième méthode :

4.a Soit(v_n)définie parv_n= ^u_uⁿ⁻¹

n+2. Prouver que(v_n)est une suite géométrique.

4.b Exprimervn en fonction de n.

4.c Exprimerun en fonction de n.

4.d En déduire la convergence de la suite(un)et sa limite.

DM 10. Soitun=

n

P

k=1 1

k et vn=

n

P

k=1 1 k².

(21)

1. Conjecturer à l’aide d’un tableur les limites de ces suites.

2. Montrer qu’elles sont croissantes.

3. Montrer que pour tout k>1, _k¹2 < _k(k−1)¹ = _k−1¹ −¹_k. En déduire un majorant de(vn). 4. Montrer que(vn)converge.

5. Minorer ²

n

P

k=2ⁿ⁻¹+1 1

k par une constante strictement positive.

6. En déduire que lim

n→+∞u2ⁿ= +∞puis que(un)tend vers+∞.

(22)

22

Continuité

Chapitre C - Continuité

1. Définition 1.1. Préalable.

Exercice 38. Trouver une fonctionf définie sur[0; 1]telle quef(0)<0,f(1)>0et que l’équationf(x) = 0 n’ait pas de solution.

1.2. Cours.

Définition 7. Soit f définie sur un intervalle I et a un élément de I. f est continue en a ssi

———————————————————————————————————————————————

Définition 8. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est continue sur I ssi f est continue en tout point de I.

Remarque 21. Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si on peut traver sa courbe repré- sentative sur cet intervalle sans lever le crayon.

Théorème 17. Les fonctions de référence sont continues.

Théorème 18. Les fonctions s’exprimant à l’aide des fonctions continues sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

Remarque 22. En pratique en Terminale, les seules fonctions discontinues rencontrées sont les fonctions définies par morceaux, ou qui s’expriment à l’aide de la fonction partie entière. (Ceci n’est pas un théorème !) Théorème 19. Si une fonction est dérivable, alors elle est continue.

Remarque 23. Le réciproque est fausse. Contre-exemple :

Exemple 6. Tracer la courbe représentative de la fonction "partie entière", notéeE, qui à tout réel xfait correspondre l’unique entierntel que n≤x < n+ 1. Est-elle continue ?

1. La fonction valeur absolue est continue surR.

2. Si une fonction est continue et change de signe sur un intervalle alors elle s’annule nécessairement sur cet intervalle.

(23)

1.4. Applications.

Exercice 40. Soit le pentagone ABCDO suivant dont les sommets ont des coordonnées entières dans le r.o.n.

proposé. Soitk∈R. Soitd_k :y=x+k.On définit la fonction A qui à tout réel k associe l’aire de la partie du pentagone située dans le demi-plan de frontièred_k contenant le point A.

(1) La fonction A est définie par morceaux. En donner une définition explicite. (On convient que A(-2)=0.) (2)

(a) Etudier les limites de A à gauche et à droite en 1. A est-elle continue en 1 ? (b) Etudier les limites à gauche et à droite en 0. A est-elle continue en 0 ? (3) A est-elle dérivable en 0 ?

(4) Donner une représentation graphique de A, faisant apparaître les (demi-)tangentes éventuelles en A.

Exercice 41. f est définie pourx≤ −1parf(x) = 4x+ 2et pourx >−1parf(x) =x²+bx+ 5. Déterminer b pour que f soit continue.

Exercice 42. Etudier la fonction f définie sur[−2; 2[parf(x) = xE(x) où E(x) est la partie entière de x, c.a.d. le plus grand entier inférieur ou égal à x. ReprésenterCf.

DM 11. L’image d’un réel x par la fonction "partie entière"E est l’unique entierntel quen≤x < n+ 1. Soitf la fonction définie parf(x) =E(x) +p

x−E(x). (1) Quel est l’ensemble de définition def?

(2) Etudier la continuité def.

(3) Montrer que∀x∈R f(x+ 1) =f(x) + 1. Par quelle translation la courbe représentative def est-elle invariante (aucun justification demandée) ?

(4) Simplifier l’écriture def(x)sur [0 ;1[. En déduire le tracé de la courbe représentative de f sur [-2 ;2].

Exercice 43. Soit les fonctions définies sur]0; +∞[: f :x7−→E(_x¹) g:x7−→xE(¹_x)h:x7−→x²E(¹_x).

(1) Les représenter graphiquement sur]¹₄; +∞[. (2) Etudier la continuité.

(3) Etudier la limite en 0.

(24)

24

Continuité

2. Théorème des valeurs intermédiaires 2.1. Préalables.

Exercice 44. Trouver une fonction f définie sur [a;b]et un nombre k entre f(a) et f(b) tels que l’équation f(x) =kn’ait pas de solution.

2.2. Cours.

Théorème 20. Théorème des valeurs intermédiaires. Si f est continue sur[a;b]alors pour tout nombre k entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k d’inconnue x admet au moins une solution dans [a;b].

Théorème 21. Si f est strictement monotone sur l’intervalle[a;b] alors pour tout réel k, l’équation f(x)=k d’inconnue x admet au plus une solution dans[a;b].

Démonstration. Si cette équation admettait deux solutionsx1et x2 distinctes, on auraitf(x1) =k=f(x2),

et f ne serait pas strictement monotone.

Remarque 24. Il existe des variantes de ces théorèmes pour a et/ou b infinis, et pour des intervalles ouverts.

Si l’intervalle est ouvert en a, on remplace f(a) par la limite de f en a dans les énoncés précédents.

Exemple 7. Soitf :x7−→x³−12x+ 17. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0,5 et donner un encadrement à 0,1 près des solutions.

On commence par étudier f ce qui conduit au tableau de variation suivant :

x -∞ -2 2 +∞

f(x) -∞ % 33 & 1 % +∞

Montrons que l’équation f(x) = 0,5admet exactement une solution dans]− ∞;−2]. f est continue sur ]− ∞;−2] en tant que polynôme et lim

x→−∞f(x) =−∞et f(−2) = 33 et 0,5 ∈]− ∞; 33]

donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équationf(x) = 0,5admet au moins une solution dans ]− ∞;−2].

f est strictement croissante sur ]− ∞;−2] donc l’équation f(x) = 0,5 admet au plus une solution dans ]− ∞;−2].

On a montré que l’équationf(x) = 0,5admet exactement une solution dans]− ∞;−2]. Montrons que l’équation f(x) = 0,5n’admet pas de solution dans[−2; 2]

f est strictement décroissante sur[−2; 2]donc pour toutx∈[−2; 2],f(x)> f(2) = 1 doncf(x)6= 0,5. On a montré que l’équationf(x) = 0,5n’admet pas de solution dans [-2 ;2].

REMARQUE : LORSQU’ON MONTRE QU’UNE EQUATION N’A PAS DE SOLUTION SUR UN INTER- VALLE LA CONTINUITE N’INTERVIENT PAS !

On montrerait de même que l’équation f(x) = 0,5n’admet pas de solution dans[2; +∞[.

(25)

Finalement, on a montré que l’équation f(x) = 0,5 admet une et une seule solution qui se trouve dans ]− ∞;−2].

Soitαcette solution.

Avec la calculatrice :f(−4,1)≈ etf(−4)≈ et f(α) = 0,5doncf(−4,1)< f(α)< f(−4)or f est strictement croissante sur]− ∞;−2]donc−4,1< α <−4.

2.3. Applications.

Exercice 45. Soit f définie sur[1; +∞[parf(x) =−x+√

x−1 + 0,9.

1. Combien l’équationf(x) = 0admet-elle de solutions ? Donner un encadrement de chacune d’elles à 10⁻² près.

2. Discuter, suivant les valeurs de a, le nombre de solutions de l’équationf(x) =a. Ne pas justifier.

Exercice 46. Montrer que, si une fonction f continue sur un intervalle I ne s’annule pas sur I, alors elle garde un signe constant sur cet intervalle.

Exercice 47. Discuter, suivant les valeurs de a, le nombre de solutions de l’équation x³−3ax+ 1 = 0 d’inconnue x. Ne pas justifier.

Exercice 48. Soit f une fonction continue définie sur[0; 1]et prenant toutes ses valeurs dans[0; 1]. 1. Montrer que f admet au moins un "point fixe", c.a.d. un nombreαde[0; 1]tel que f(α) =α. 2. Interpréter graphiquement.

3. Le résultat subsiste-t-il si on remplace[0; 1]par un autre intervalle ?

Exercice 49. Soit f définie surRparf(x) =x²−2sin(x). On admet que la dérivée desinestcoset que la dérivée decosetx7−→ −sin(x).

1. Dresser le tableau de variation de f’.

2. Montrer que l’équationf⁰(x) = 0admet une et une seule solution surRnotéeα. 3.Etudier les variations de f.

———————————————————————————————————————————————

4. Soit m le minimum de f. Montrer quem=α²−2√ 1−α²

———————————————————————————————————————————————