Découvrir et utiliser les
nombres premiers
Découvrir et utiliser les nombres premiers I Divisibilité
a) Division euclidienne
Définition a et b désignent des nombres entiers avec b ≠ 0.
● Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le quotient q et le reste r tel que :
● a = b × q + r et 0 ≤ r < b.
Exemple : division euclidienne de 652 par 24.
A la main
dividende diviseur 6 5 2 2 4
- 4 8 2 7
1 7 2 quotient - 1 6 8
reste 4
652 = 24×27 + 4 et 0 ≤ 4 < 24
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b) Diviseurs et multiples
Définition a et b désignent des nombres entiers avec b ≠ 0.
Dire que b est un diviseur de a signifie que le reste de la division euclidienne de a par b est nul c’est-à-dire que :
a = b×q avec q nombre entier.
Vocabulaire : On dit aussi que b divise a ou que a est divisible par b ou que a est un multiple de b.
Remarques :
● 2,5× 32 = 80, mais 32 n’est pas un diviseur de 80 car 2,5 n’est pas un nombre entier.
● Tout nombre entier non nul est au moins divisible par 1 et lui-même.
On essaie les nombres entiers dans l’ordre croissant.
On s’arrête là car 9 ne divise pas 80 et 10 est déjà écrit.
Les diviseurs de 80 sont donc : 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80.
Exemple : liste des diviseurs de 80.
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c) Critères de divisibilité
Propriétés
● Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 alors il est divisible par 2.
● Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 3, alors ce nombre est divisible par 3.
● Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ou 5, alors il est divisible par 5.
● Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9.
● Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, alors il est divisible par 10.
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II Nombres premiers
Définition
Un nombre premier est un nombre entier qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97.
Le crible d’Eratosthène permet de déterminer la liste des nombres
premiers inférieurs à un entier donné.
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Propriété
Exemples :
diviseur premier
quotient reste
2 200 1
3 133 2
5 80 1
7 57 2
11 36 5
13 30 11
17 23 10
19 21 2
23 17 10
401 est-il premier ?
391 est-il premier ?
diviseur premier
quotient reste
2 195 1
3 130 1
5 78 1
7 55 6
11 35 6
13 30 1
17 23 0
391 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 17.
401 est un nombre premier car il n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à 23 et 23x23 > 401
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III Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété
Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
Exemple : décomposition de 84 en produit de facteurs premiers
1ère méthode : on cherche ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant.
● 84 est divisible par 2 : 84 = 2 x 42;
● 42 est divisible par 2 : 84 = 2 x 2 x 21;
● 21 est divisible par 3 : 84 = 2 x 2 x 3 x 7.
Or 7 est un nombre premier, donc la décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est terminée.
On écrit cette décomposition : 84 = 2² x 3 x 7.
2ème méthode : on écrit d’abord un produit quelconque égal à 84.
84 = 4 x 21 = 2 x 2 x 3 x 7
Les nombres 2, 3 et 7 sont premiers, donc la décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est : 84 = 2² x 3 x 7.
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Définition
Dire qu’une fraction est irréductible signifie que son numérateur et son dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
Une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée.