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Découvrir et utiliser les nombres premiers

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Découvrir et utiliser les

nombres premiers

(2)

Découvrir et utiliser les nombres premiers I Divisibilité

a) Division euclidienne

Définition a et b désignent des nombres entiers avec b ≠ 0.

Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le quotient q et le reste r tel que :

● a = b × q + r et 0 ≤ r < b.

Exemple : division euclidienne de 652 par 24.

A la main

dividende diviseur 6 5 2 2 4

- 4 8 2 7

1 7 2 quotient - 1 6 8

reste 4

652 = 24×27 + 4 et 0 ≤ 4 < 24

Avec Casio fx-92 Collège 2D+ Avec TI-Collège Plus

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b) Diviseurs et multiples

Définition a et b désignent des nombres entiers avec b ≠ 0.

Dire que b est un diviseur de a signifie que le reste de la division euclidienne de a par b est nul c’est-à-dire que :

a = b×q avec q nombre entier.

Vocabulaire : On dit aussi que b divise a ou que a est divisible par b ou que a est un multiple de b.

Remarques :

2,5× 32 = 80, mais 32 n’est pas un diviseur de 80 car 2,5 n’est pas un nombre entier.

Tout nombre entier non nul est au moins divisible par 1 et lui-même.

On essaie les nombres entiers dans l’ordre croissant.

On s’arrête là car 9 ne divise pas 80 et 10 est déjà écrit.

Les diviseurs de 80 sont donc : 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80.

Exemple : liste des diviseurs de 80.

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c) Critères de divisibilité

Propriétés

Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 alors il est divisible par 2.

Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 3, alors ce nombre est divisible par 3.

Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ou 5, alors il est divisible par 5.

Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9.

Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, alors il est divisible par 10.

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II Nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un nombre entier qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97.

Le crible d’Eratosthène permet de déterminer la liste des nombres

premiers inférieurs à un entier donné.

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Propriété

Exemples :

diviseur premier

quotient reste

2 200 1

3 133 2

5 80 1

7 57 2

11 36 5

13 30 11

17 23 10

19 21 2

23 17 10

401 est-il premier ?

391 est-il premier ?

diviseur premier

quotient reste

2 195 1

3 130 1

5 78 1

7 55 6

11 35 6

13 30 1

17 23 0

391 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 17.

401 est un nombre premier car il n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à 23 et 2323 > 401

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III Décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété

Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

Exemple : décomposition de 84 en produit de facteurs premiers

1ère méthode : on cherche ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant.

● 84 est divisible par 2 : 84 = 2 x 42;

● 42 est divisible par 2 : 84 = 2 x 2 x 21;

● 21 est divisible par 3 : 84 = 2 x 2 x 3 x 7.

Or 7 est un nombre premier, donc la décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est terminée.

On écrit cette décomposition : 84 = 2² x 3 x 7.

2ème méthode : on écrit d’abord un produit quelconque égal à 84.

84 = 4 x 21 = 2 x 2 x 3 x 7

Les nombres 2, 3 et 7 sont premiers, donc la décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est : 84 = 2² x 3 x 7.

Sur Thalesm

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Définition

Dire qu’une fraction est irréductible signifie que son numérateur et son dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée.

IV Fractions irréductibles

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