I. Rappels
1. Division euclidienne
Exemple : Poser la division euclidienne de 56 (appelé le ………) par 17 (appelé le ……….) par exemple c’est trouver le quotient et le reste tel que :
Dividende = ……… x ……… + ……… avec reste < ………
Dans notre cas : 56 = ……… x ……… + ……… . Le quotient est donc ……… et le reste ……….
2. Notion de multiples et de diviseurs
Exemple : Lorsque par exemple le reste la division euclidienne d’un nombre par un autre est nul, alors on parle de ……… ou ………. On sait que 20 = 4 x 5.
On dit donc que 20 est un ……… de 4 ou encore que 4 est un ……… de 20 ou alors que 20 est ……… par 4.
➢ Recherchons tous les diviseurs de 20.
20 = 1 x ……
20 = 2 x …… Les diviseurs positifs de 20 sont 20 = 3 x …… donc :
20 = 4 x …… ………
20 = 5 x ……
II. Nombres premiers
➢ Recherchons tous les diviseurs de 45.
45 = 1 x ……
45 = 2 x ……
45 = 3 x …… Les diviseurs positifs de 45 sont 45 = 4 x …… donc :
45 = 5 x …… ………
45 = 6 x ……
45 = 7 x ……
Définition : Un nombre est premier lorsqu’il possède ……… 2 diviseurs : ……… et ………
Exemples :
➢ 3 est un nombre ……… car il a exactement 2 diviseurs ………… et ………….
➢ 6 n’est pas un nombre premier car il a ………
➢ Le nombre 1 ……… un nombre premier, alors que 2 est le seul nombre premier ………….
Voici la liste des premiers nombres premiers inférieurs à 40.
III. Décomposition en facteurs premiers.
Rappel : Si n est un nombre positif
𝒂
𝒏= 𝒂 × 𝒂 × … × 𝒂 ⏟
𝒏 𝒇𝒐𝒊𝒔
Exemples :
𝟐
𝟒= 𝟑
𝟑=
Chapitre 10 :
Arithmétique – Nombres premiers
Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs ……….
Exemples :
Décomposons 60 en produit de facteurs premiers : 60 = …… x 2
…… = …… x ……
…… = …… x ……
…… = …… x ……
Donc 60 = …… x …… x …… x ……
= ……… x …… x ……
Décomposons 126 en produit de facteurs premiers : 126 = …… x ……
…… = …… x ……
…… = …… x ……
…… = …… x ……
Donc 126 = …… x …… x …… x ……
= …… x ……… x ……
IV. Fractions irréductibles
Définition : Une fraction est dite ……… lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1, c’est-à-dire qui ne peut plus être simplifiée.
Exemple : Trouve la fraction irréductible de
60 126
.On utilise les décompositions de 60 et 126 : 60 = …… x …… x …… x …… et 126 = …… x …… x …… x ……
Donc
60
126 = … × … ×… ×…
… × … × … ×… = …………
………… = …
…
V. Plus grand diviseur commun
Exemple : Un confiseur dispose de 60 bonbons au citron et de 126 bonbons à l’orange. Il souhaite faire le maximum de paquets identiques contenant chacun le même nombre de bonbons de chaque sorte. Il veut aussi utiliser tous les bonbons. On cherche donc le plus grand diviseur commun à 60 et 126.
• 60 = …… x …… x …… x ……
• 126 = …… x …… x …… x ……
Donc le plus grand diviseur commun est le maximum de nombres en commun à la décomposition, c’est-à-dire
……… donc on peut faire au maximum ……… paquets.
On peut dire qu’il y aura ……… bonbons au citron et ……… à l’orange dans chaque paquet.
VI. Plus petit multiple commun
Exemple : Cherchons le plus petit multiple commun à 60 et 126.
• 60 = …… x …… x …… x ……
• 126 = …… x …… x …… x ……
Donc le plus petit multiple commun est multiple de 60 donc s’écrit …… x …… x …… x …… mais est aussi multiple de 126 donc il s’écrit 2 x 2 x 3 x 5 x …… x …… (car 2 et 3 sont déjà dans 60)
Le plus petit multiple commun à 60 et 126 est donc égal à …… x …… x …… x …… x …… x …… = ………
