A505 -Séquences dans une racine carrée

(1)

A505 -Séquences dans une racine carrée

Solution

Question 1

Soit s(n) le nombre décimal compris entre 0 et 1 et qui correspond à la séquence de longueur n que l’on souhaite obtenir à partir d’un entier N. Par exemple avec la séquence 111, on a s(3)

= 0,111.

N est tel que N = A + s(n) + ε(n1)avec A entier et ε(n1)un nombre décimal de la forme 0,00..0xyz qui comporte n zéros après la virgule.

Analysons l’expression P=A²2*A*s(n)1. Si l’entier A est convenablement choisi, 2*A*s(n) est un entier et P est également un entier. On peut écrire P = (As(n))²1s²(n)=

) s(n)) (n))/(A s

1 ( 1 (

* s(n))

(A ²   ²  ² .

D’où P (As(n))* (1(1s²(n))/(As(n))²)(As(n))(1s²(n))/(2*(As(n)). On observe que pour A suffisamment grand , le dernier terme de cette expression

s(n)) (A

* (n))/(2 s

(1 ²  peut être de la forme

ε(n1)c’est à dire être un nombre décimal qui comporte au moins n zéros après la virgule.

On prendra donc N = A²2*A*s(n)1

Par exemple, A5*10⁽ⁿ^-¹⁾2*A*s(n) = 10ⁿ*s(n)S(n)qui est un entier et s(n))

(A

* (n))/(2 s

(1 ²  est bien de la forme ε(n1) N25*10²^*(n^-¹⁾10ⁿ*s(n)1 On vérifie que la formule donne les résultats attendus : pour s(3)=0,111 on obtient N = 250 112 et N=500,1119874… Pour s(5)=0,11111, on a N = 2 500 011 112 et N = 50 000,111119… Pour s(4)=0,1234, on a

N= 25 001 235 et N = 5000,123498….

D’autres formules de N existent telles que N(10ⁿ1)²2*10ⁿ*s(n) et qui donnent des résultats tout aussi satisfaisants. Par exemple pour s(3)=0,111, N = 998 223 et

N=999,1111049. Pour s(4)=0,1234 N = 99 982 469 et N = 9999,123411… enfin pour s(5)=0,11111, N = 9 999 822 223 et N =99999,11111..

Question 2

Les plus petits entiers dont la représentation décimale des racines carrées donnent les séquences demandées après la virgule s’obtiennent pas à pas et l’ordinateur se révèle utile pour l’obtention des tableaux ci-après :

Séquences de 1 : 11,111,1111,…..,1111111111

(2)

Séquences : 12, 123, 1234, 12345,….123456789

n N

2,3 17 4,12310562561766..

4 7 246 85,1234397801217..

5 61 070 247,123450930906..

6 19 711 352 275 140 397,1234569997..

7 318 657 002 391 564 497,123456798..

8 1 905 855 601 862 521 43 656 106,12345678..

9 55 132 936 458 260 916 854 7 425 155 652,123456789..

N

n N

2 83 9,1104335791443…

3 3 377 58,1119609030705…

4 311 488 558,111100050877..

5 30 881 484 5 557,11111999751..

6 3 086 592 595 55 557,11111100001..

7 308 642 592 593 555 556,1111111999…

8 30 864 248 148 169 5 555 560,111111119…

9 3 086 420 703 703 777 55 555 564,111111111…

10 308 641 979 259 259 272 555 555 559,1111111111..

N