D10215. L’angle de crˆ ete
L’angle de crˆete, dans le vocabulaire de l’automobile, est l’angle d’un di`edre sur lequel le v´ehicule peut passer sans toucher l’arˆete (sauf par ses roues).
Connaissant le diam`etre des roues (suppos´e le mˆeme `a l’avant et `a l’arri`ere) et l’empattement (distance entre axes des roues), d´eterminer le domaine
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a laisser libre par les parties du v´ehicule pour respecter un angle de crˆete donn´e. On admet que l’arˆete du di`edre est parall`ele aux essieux.
Solution
Sur un plan orthogonal `a l’arˆete du di`edre (le plan axial du v´ehicule par exemple), celle-ci a pour trace un pointD, les traces des essieux ´etantA etB.
Dans ce plan,A etB se projettent en P et Q sur les faces du di`edre, et les perpendiculaires enA `a AP et en B `aBQ se coupent en D0.
AP etBQsont ´egaux (rayons des roues), doncDest ´equidistant deD0Aet D0B: la droiteD0Dest la bissectrice de l’angle (D0A, D0B) = (DP, DQ) = 2δ, angle du di`edre, et (D0A, D0D) =δ.
Le point D0 appartient `a l’arc capable de l’angle 2δ, qui est un cercle passant parAetB de diam`etreAB/sin(2δ). La bissectriceD0Dpasse par le point S milieu de l’arc AB, point qui est fixe par rapport au v´ehicule quand on d´eplace le di`edre en contact avec les roues.
La distance DD0 vaut AP/sinδ et est constante. Comme D0 d´ecrit par rapport au v´ehicule un cercle passant parS, et queSD0−SD= constante, le pointDd´ecrit par rapport au v´ehicule un lima¸con de Pascal. La partie utile de cette courbe est limit´ee par les points o`u l’arˆeteDvient en contact avec les roues.
Le volume `a laisser libre sous le v´ehicule pour le passage du di`edre est donc d´elimit´e par le cylindre de g´en´eratrices parall`eles aux essieux, ayant pour base cet arc de lima¸con.
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