Enonc´e noE648 (Diophante, casse-tˆete de mai 2010) Le triangle oblig´e
A l’int´erieur d’un triangle ´equilat´eral ABC, cˆot´es inclus, on place un nombre arbitraire de points qui permettent de partager le triangleABC en triangles plus petits adjacents entre eux comme dans la figure ci- apr`es :
Les sommets des triangles sont d´esign´es avec les lettres A, B et C de fa¸con totalement arbitraire `a l’exception des sommets situ´es sur les cˆot´es du triangle ABC pour lesquels il est interdit d’utiliser la lettre du sommet oppos´e au cˆot´e. Montrer que parmi les petits triangles, l’un d’eux est toujours d´esign´e par ABC.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Parmi les ´el´ements (triangles et segments) de la figure, j’appelle – triangle unicolore un triangle dont les 3 sommets ont le mˆeme nom, – triangle tricolore un triangle dont les 3 sommets ont 3 noms diff´erents (ABC),
– triangle bicolore un triangle dont 2 sommets ont le mˆeme nom„
diff´erent du 3e,
– arˆete unicolore un segment joignant deux points de mˆeme nom, – arˆete bicolore un segment joignant deux points de noms diff´erents.
Un triangle unicolore n’a pas d’arˆete bicolore, un triangle bicolore en a deux, un triangle tricolore en a trois.
Soit t2 le nombre des triangles bicolores, t3 le nombre des triangles tricolores.
Le nombre 2t2 + 3t3 est celui des arˆetes bicolores, `a cela pr`es que les arˆetes int´erieures au grand triangle sont compt´ees deux fois. Pour avoir deux fois le nombre total des arˆetes bicolores, il faut prendrec+2t2+3t3, o`u c est le nombre d’arˆetes bicolores sur le contour du grand triangle.
Il en r´esulte que c+t3 est pair.
Sur le cˆot´eAB du grand triangle, la r`egle relative aux noms des points ne permet que des points A et B, une arˆete bicolore faisant passer de A `a B ou inversement ; sur l’ensemble de ce cˆot´e, le nombre d’arˆetes bicolores est impair puisque les extr´emit´es ont des noms diff´erents.
C’est la mˆeme chose sur BC et CA, donc c, somme de 3 impairs, est impair.
Cela entraˆıne quet3 est impair, t3 ≥1, CQFD.
On observe que l’exemple de l’´enonc´e comporte exactement 3 triangles ABC, nombre impair.
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