E112 : Divisibilité paradoxale
On considère la séquence (S) : 5,13, 29, 61, 125, 253, 509, 1021, ... Déterminer le terme général un en fonction de l’entier n. Combien y a-t-il de termes de (S)
qui sont divisibles par le 1er terme 5 ? divisibles par le 2ème terme 13 ? divisibles par le produit 65 de ce deux premiers termes ? Mêmes questions si l’on considère le nombre de termes
respectivement divisibles par 11, 37 et 407.
En ajoutant 3 à chaque terme, on obtient 8, 16, 32,..., soit un =2n+2 -3.
Pour chaque nombre premier p>2, 2k prend modulo p chaque valeur de 1 à p-1 pour k allant de 1 à p-1.
Ainsi, un =2n+2-3 est divisible par 5 pour n=4a+1, et par 13 pour n=12b+2=4(3b)+2: il n’y donc pas de valeur pour laquelle il y ait à la fois divisibilité par 5 et par 13, donc par 65.
Par contre un est divisible par 11 pour n=10c+6, et par 37 pour n=36d+24; il est donc divisible par 407=11*37 pour les valeurs divisibles à la fois par 11 et 37, soit n=180k+96, avec c=18k+9, d=5k+2.
