Divisibilité
Dossier N ◦ 1
Sp
écialité
math
Pour bien démarrer
Objectif
Dans cette première activité, il s’agit de se refamiliariser avec les nombres entiers et la notion de divisibilité
Intro 1 : Calculatrice interdite
Mettre une croix dans chaque case correspondant à une affirmation vraie.
Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 4 Divisible par 5 Divisible par 9 Divisible par 11
2556 3597 25422 38720 800733
36321
Boîte à outils mathématiques
Divisibilité dans Z
Soientaet bdeux entiers.
adiviseb si et seulement si existe un nombre entierktel queb=k×a.
On dit aussi queaest un diviseur debou queb est un multiple dea.
Remarque
On parle de nombres entiers pour désigner les nombres entiers relatifs qui peuvent éventuellement être négatifs ( EnsembleZ).
Les nombres entiers deNseront appelésentiers naturels
1
Entraînement et apprentissage
Exercice 1 :
1 Justifier que le nombre
1734343434343434345168187
est divisible par17
2 N = 33667712126419844552536217
est-il divi- sible par11 ?
S’il ne l’est pas, donner le nombre entier le plus proche deN qui soit divisible par 11
Exercice 2 : Critère de divisibilité par 3 et 11
1 On considère un nombre entiernà 4 chiffres dont l’écri- ture décimale estabcd.
Quelle est l’affirmation exacte ?
r n=a+ 10b+ 100c+ 1000d r n= 1000a+ 100b+ 10c+d r n=a+b+c+d
2 Démontrer qu’un nombre entier à 4 chiffres dont l’écri- ture décimale estabcdest divisible par 3 si et seulement si :a+b+c+dl’est aussi
3 A la maison
Démontrer qu’un nombre entier à 4 chiffres dont l’écri- ture décimale estabcdest divisible par 11 si et seulement si−a+b−c+dl’est aussi
Exercice 3 : Calculatrice interdite
1 A= 3351246 est-il divisible par 7 ? Justifier. 2 S’il ne l’est pas, donner le nombre entier le plus proche deAqui soit divisible par 7
Exercice 4 : Les nombres parfaits
On appellenombre parfaittout nombre égal à la somme de ses diviseurs propres.
Un diviseur propre étant un diviseur autre que le nombre lui- même
1 Quel est le premier nombre parfait ?
2 Vérifier que 28 et 496 sont des nombres parfaits
information
Les nombres parfaits sont rares, il n’en existe que trois inférieurs à 1000 . Ensuite vient 8128, puis 33550336, 8589869056 , 137438691328 , 2305843008139952128 (découvert par Leonhard Euler), 2658455991569831744654692615953842176 ,· · · ·
Actuellement, 40 nombres parfaits sont connus.
Le plus grands possède 12 640 858 chiffres et est égal à : 220996010× 220996011−1 .
Exercice 5 : Les nombres amiables
On attribue à Pythagore la citation suivante :
“Un ami est l’autre moi-même comme sont 220 et 284. ”
Quelle propriété de ces deux nombres conduisent Pytha- gore à cette citation ?
2
information
Le second couple de nombres amiables fut découvert par Pierre de Fermat (1601 ; 1665), il s’agit de 17296 et 18416.
René Descartes (1596 ; 1650) découvrit le troisième : 9437056 et 9363584.
Aujourd’hui plusieurs milliers de couples sont connus. Le tableau ci-contre en présente les premiers.
220 284
1184 1210 2620 2924 5020 5564 6632 6368 10744 10856 12285 14595 17296 18416 63020 76084 66928 66992 67095 71145 69615 87633 79750 88730
Outil informatique - Programmation
Activité 1 : Somme des diviseurs
Le programme ci-dessous permet d’obtenir la somme des diviseurs d’un nombre entier
Complétez les parties manquantes.
On précise que la fonction permettant d’obtenir le reste de la division euclidienne de a par b est : a % b
1 VARIABLES
2 N EST_DU_TYPE NOMBRE 3 S EST_DU_TYPE NOMBRE 4 j EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 LIRE N
7 S PREND_LA_VALEUR ...
8 POUR j ALLANT_DE 1 A ...
9 DEBUT_POUR
10 SI (... == 0) ALORS
11 DEBUT_SI
12 S PREND_LA_VALEUR S+...
13 FIN_SI
14 FIN_POUR 15 AFFICHER S 16 FIN_ALGORITHME
1 Mettre en œuvre ce programme sur votre calculatrice ou sur Algobox .
Vérifier que 79750 et 88730 sont des nombres amiables.
2 Mettre en œuvre un programme permettant de tester si un nombre est parfait .
Activité de recherche
Problématique 1 : calculatrice interdite
Championnat international des jeux mathématiques : quart de finale 1989
Dans la liste ci-dessous deux nombres sont des carrés parfaits . Quels sont-ils ? Justifier
1117263 1054485 2825761 3400251 3917218 3956121 4253622 4322094
3
Problématique 2 : partager un cube
Un cube est constitué den3 petits cubes identiques, oùn est un entier supérieur ou égal à 2.
On lui enlève un petit cube et on souhaite regrouper les petits cubes restants en plusieurs paquets identiques (non réduits à un cube).
1 Vérifier qu’un tel regroupement n’est pas possible pour
n= 2.
2 On suppose quen >2.
(a) Vérifier que 83−1 est divisible par 7.
(b) Vérifier que 233−1 est divisible par 22.
3 (a) Conjecturer un diviseur de n3−1 pour un entier nquelconque.
(b) Démontrer cette conjecture.
Indication : Pour montrer que a divise b, il suffit de trouver une écriture de la forme b=ka avec k entier.
(c) En déduire en fonction den deux nombres de pa- quets de petits cubes possibles.
Problématique 3 : Propriété de la divisibilité
On considère trois nombres entiersa,b etc.
1 Démontrer que :
Si cdiviseaetb alorscdivisea+b 2 Démontrer que :
Si cdiviseaetb alorscdivise 3a−2b
Propriété
On considère trois nombres entiersa,b etc.
On suppose que : cdivise aet b Alors :
Pour tous entiersuet v cdiviseu×a+v×b.
On dit quecdivise toute combinaison linéaire entière deaet b
Problématique 4 :
Déterminer l’ensemble des entiers relatifsntels que : (n−3) divise (n+ 5)
Problématique 5 :
Déterminer l’ensemble des couples de nombres entiers (x;y) tels que :
x2−2xy= 15
4
