Divisibilité Dossier N

Divisibilité

Dossier N ^◦ 1 Spécialité math

Une première problématique

Objectif

Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n compris entre −500 et 500 tels que : n + 3 divise 100n + 308

1 Mettre en oeuvre sous excel, sur calculatrice ou avec un programme algobox ou xcas une expérimentation permettant de conjecturer l’ensemble des solutions de la problématique.

Conjecture :

Appeler le professeur pour contrôler le travail effectué

Information Excel

r =mod(a1 ;b1) donne le reste de la division euclidienne de la division du nombre contenu dans la cellule a1 par le nombre contenu dans la cellule b1

r =si(condition ;1 ;0) affiche 1 si la condition est vraie 0 sinon

la condition peut, par exemple, être de la forme : a10 = 0 ; a10 = c2 ; a10 < 5 · · · · etc · · · ·

Information Algobox

Le reste de la division euclidienne de a par b est donné par : a % b

2 Démontrer que : si un nombre entier a divise les nombres entiers b et c alors il divise la somme a + b et la différence a − b.

3 Justifier que pour tout n différent de −3, n + 3 divise 100n + 300 .

1

4 Démontrer la conjecture établie à la question 1).

Appeler le professeur pour contrôler le travail

Problématique 2

L’exercice consiste à trouver les valeurs de l’entier naturel n > 4 pour lesquelles la fraction n + 17

n − 4 est un nombre entier.

1 Démontrer que si n − 4 divise n + 17 alors n − 4 divise 21.

2 Déterminer alors toutes les valeurs de n correspondant au problème.

Problématique 3

Déterminer l’ensemble des entiers n tels que : n + 2 divise n

+ 2

Problématique 4

n est un nombre entier.

Écrire la division euclidienne de 3n + 1 par n + 2.

2