Divisibilité
Dossier N
◦1
Sp
écialité
math
Correction
Démontrer qu’un nombre entier à 4 chiffres dont l’écriture décimale estabcdest divisible par 11 si et seulement si
−a+b−c+dl’est aussi .
On constate d’abord que 1000a+ 100b+c+d= 1001a+ 99b+ 11c+ (−a+b−c+d) = 11(91a+ 9b+c) + (−a+b−c+d).
c’est à dire : 11×k+ (−a+b−c+d) oùk=−a+b−c+dest un nombre entier
Étape 1
On suppose que 1000a+ 100b+c+dest divisible par 11
Il existe donc un nombre entierutel que : 1000a+ 100b+c+d= 11×u.
On a donc : 11×k+ (−a+b−c+d) = 11×u
D’où : −a+b−c+d= 11×u−11×k= 11×(u−11) Donc −a+b−c+dest divisible par 11
Étape 2 : Réciproquement
On suppose que−a+b−c+dest divisible par 11
Il existe donc un nombre entierv tel que : −a+b−c+d= 11×v.
On a donc : 1000a+ 100b+c+d= 11×k+ 11×v D’où : 1000a+ 100b+c+d= 11×(k+v)
Donc 1000a+ 100b+c+dest divisible par 11
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