ℤ Divisibilité dans

(1)

Activité 1:

Soit l’entier a= -2365424.

Déterminer les entiers p,q et t tels que a=4p ; a=-8q et -a=16t.

a est-il divisible par -6.

Définition :

a un entier et b un entier non nul.

Dire que b divise a ( ou que a est divisible par b) si et seulement si il existe un entier q tel que a=bq.

On note alors b|a Conséquences :

Si b divise a alors –b divise a.

b admet au moins pour diviseurs : 1 ;-1 ;b et –b.

les multiples de b sont les éléments de bℤ ={bk,k∈ℤ }.

Application 1:

1) Déterminer l’ensemble des diviseurs de 21 ; -24.

2) Déterminer les multiples de -11 compris entre -25 et 142.

3) Déterminer tous les couples (x,y) d’entiers naturels tels que 4x²-y²=20.

Activité 2:

Soit a et b deux entiers non nuls et c un entier. Montrer que : 1) Si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b.

2) Si a divise b et b divise c alors a divise c.

3) Si a divise b et a divise c alors a divise ∝b+βc pour tous entiers α et β.

Propriétés :

Soit a et b deux entiers non nuls et c un entier.

Si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b.

Si a divise b et b divise c alors a divise c.

Si a divise b et a divise c alors a divise ∝b+βc pour tous entiers α et β.

(2)

Application 2:

1) a et n deux entiers. Démontrer que si a|2n+5 et a|3n-1 alors a|17.

2) Soit a un entier . démontrer que 8|3a+5 si et seulement si 8|a+23.

3) Déterminer tous les entiers n tels que 2 8 2 n n

+

− est un entier naturel.

Exercice 1:

Déterminer tous les couples (a,b) d’entiers naturels tels que : 1) a²-b²=24

2) ab-3b²=18.

3) 9a²=y²+20.

Exercice 2:

a et n deux entiers . montrer que :

1) Si a|15n+2 et a|10n+7 alors a|85.

2) Si a|15n+2 et a|10n+7 alors a|17.

Exercice 3:

1) Démontrer que pour tout entier n, 2n⁴+3n²+3=(n²+3)(2n²-3)+12.

2) Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on (n²+3)| 2n⁴+3n²+3.

Exercice 4:

1) Soit n un entier naturel ; montrer que 8|(2n+1)²-1.

2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3ⁿ⁺⁴-5²ⁿ⁺⁷ est divisible par 2.

Activité 3:

1) Déterminer le plus grand entier inferieur ou égale à a b ^: a=2257 et b= 53 ; a= -2257 et b=53

2) Déterminer le plus petit entier supérieur ou égale à a b ^: a=2257 et b= -53 ; a= -2257 et b=-53

(3)

Définition :

On appelle quotient de a par b et on note q l’entier défini de la manière suivante :

Si b>0 ; q est le plus grand entier inferieur à a b ^. Si b<0 ; q est le plus petit entier supérieur ou égal à a

b ^. Application 3:

Calculer le quotient de a par b dans chaque cas :

a 25698 45895 -326598 -259863

b -235 256 -145 1256

Activité 4:

a un entier, b un entier non nul et q le quotient de a par b. on pose r=a-bq.

Montrer que 0≤ r < |b|.

Définition :

a un entier, b un entier non nul.

On appelle reste de a par b l’entier r=a-bq ou q est le quotient de a par b.

Application 4:

Calculer le reste de a par b dans chaque cas :

a 25698 45895 -326598 -259863

b -235 256 -145 1256

Activité 5:

a un entier et b un entier non nul. Supposons qu’il existe deux couples d’entiers (q,r) et (q’,r’) tels que a=bq+r , 0≤r<|b| et a=bq’+r’ , 0≤r’<|b|.

montrer que q=q’ et r=r’.

Théorème :

Pour tout entier a et pour tout entier non nul b il existe un couple d’entiers unique (q,r) tel que a=bq+r et 0≤ r < |b|. ( dite division euclidienne de a par b ; q le quotient et r le reste de a par b)

(4)

Application 5:

Ecrire dans chaque cas la division euclidienne de a par b.

a -25698 78569 -6598 9657

b 56 -61 -29 31

Exercice 5:

1) Déterminer selon le reste de la division euclidienne de l’entier n par 6, le reste de la division euclidienne de n² par 6.

2) Quel est le reste de la division euclidienne par 6 de 1943² ; 2000000² ? Exercice 6:

Soit n un entier. Démontrer qu’un et un seul des entiers n, n+2, n+4 est divisible par 3.

Exercice 7:

Déterminer l’ensemble des entiers n tels que n³-n+1 soit divisible par 7.

Exercice 8:

1) Soit n un entier non nul. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de n² par4 ? 2) Existe-t-il des entiers a et b tel que a²+b²=10147 ?

Définition :

Soit n un entier naturel non nul et a et b deux entiers.

Dire que a congru à b modulo n signifie que a-b est multiple de n.

On note alors a≡b[n]

Application 6:

Les congruences suivantes sont-elles vraies ?

127≡37[3] ; -31 ≡ -96[7] ; 145≡1315 [5]

Activité 6:

Soit n un entier naturel non nul ; a un entier. Montrer qu’il existe un unique entier r appartenant à {0,1,…,n-1} tel que a≡r[n].

Théorème :

Soit n un entier naturel non nul.

Pour tout entier a il existe un unique entier r appartenant à {0,1,.,n-1} tel que a≡r[n].

(5)

r est dit le reste modulo n de a Application 7:

Déterminer le reste modulo 7 de 3256 et de -2356.

Activité 7:

n un entier naturel non nul, a et b deux entiers.

1) Montrer que si a et b ont le même reste modulo n alors a et b sont congrus modulo n.

2) Montrer que si a et b sont congru modulo n alors a et b ont le même reste modulo n.

Théorème :

Soit n un entier naturel non nul.

Deux entiers sont congrus modulo n, si et seulement si , ils ont le même reste modulo n.

Activité 8:

Soit a, b et c trois entiers et n un entier naturel non nul. Montrer que : 1) a≡a[n]

2) si a≡b[n] alors b≡a[n].

3) si a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n].

Propriétés :

Soit a, b et c trois entiers et n un entier naturel non nul.

a≡a[n]

si a≡b[n] alors b≡a[n].

si a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n].

Activité 9:

Soit a, b, c et d des entiers et n un entier naturel non nul. Montrer que : 1) si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n].

2) si a≡b[n] alors ah≡bh[n] pour tout entier h et a^m≡b^m[n] pour out entier m>0 Propriétés :

Soit a, b, c et d des entiers et n un entier naturel non nul.

si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n].

si a≡b[n] alors ah≡bh[n] pour tout entier h et a^m≡b^m[n] pour out entier m>0

(6)

Application 8:

1) démontrer que si ^a ^≡ ^{2 5}

[ ]

^et ^b ^≡ ^{3 5}

[ ]

^{a lo r s} ^a^²⁺ ^b^² ^≡^{1 5}

[ ]

^.

2) résoudre dans ^ℤ ^: ⁴^x ^≡ ^{2 5}

[ ]

^.

3) démontrer que 1809²³⁵-1 est divisible par 8.

Exercice 9:

Démontrer que :

1) pour tout entier naturel n, 3²ⁿ-2ⁿ est divisible par 7.

2) Pour tout entier naturel n, 3³ⁿ⁺²+2ⁿ⁺⁴ est divisible par 5.

3) Pour tout entier n, n³-6n²-n est divisible par 6.

Exercice 10:

1) Démontrer que pour tout entier naturel k ; ⁴³^k ^≡^{1 9}

[ ]

^.

2) En déduire que pour tout k et r de IN, ⁴³^k⁺^r ^≡ ⁴^r

[ ]

⁹ ^.

3) Soit n un entier naturel. Quels sont les restes possible module 9 de 4ⁿ⁺²? 4) Montrer que pour tout entier naturel n, 10ⁿ+3.4ⁿ⁺²+5 est divisible par 9.

Exercice 11:

1) Soit n un entier naturel.

a) Déterminer les restes possibles modulo 11 de 3ⁿ. b) Déterminer les restes possibles modulo 11 de 4ⁿ.

2) Déterminer les entiers naturels n tel que ³³⁺ⁿ ⁻ ⁴ⁿ⁺⁴ ^≡ ^{0 1 1}

[ ]

^.

Exercice 12:

1) a) démontrer que pour tout entier naturel n, 2³ⁿ-1 est un multiple de 7.

b) en déduire que, pour tout entier naturel n, 2³ⁿ⁺¹-2 est un multiple de 7 et 2³ⁿ⁺²-4 est un multiple de 7.

2) Déterminer les restes possibles modulo 7 des puissances de 2.

3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère l’entier Ap=2^p+2^2p+2^3p. a) Si p=3n, quel est le reste modulo 7 de Ap ?

b) Démontrer que si p=3n+1, alors Ap est divisible par7.

c) Etudier le cas ou p=3n+2.

4) On considère les nombres a=1001001000 et b=1000100010000, sont ils divisibles par 7.