E434 - Une partie de billes
Ce mois-ci, vous êtes invité à aider Puce dans deux parties de billes qu'il joue contre Zig.
1ère partie
Douze billes sont réparties sur une même rangée avec une seule bille dans la première case, une case vide et les onze autres billes qui sont accolées les unes aux autres dans les cases restantes.
A tour de rôle, Zig et Puce enlèvent une seule bille ou deux billes adjacentes (c'est à dire sans case qui les sépare). Le gagnant est celui qui enlève la dernière bille ou les deux dernières billes adjacentes.
Zig commence la partie. Qui est gagnant?
2ème partie
Même casse-tête avec la configuration de départ qui est la suivante : dix billes sont réparties sur une même rangée de treize cases en quatre lots de 1, 2, 3 et 4 billes accolées les unes aux autres.
Puce commence la partie. Qui est gagnant ? Pour les plus courageux :
Variante dite "Misère": le perdant est celui qui enlève la dernière bille.
Puce commence la partie. Qui est gagnant ? Solution de Paul Voyer
1ère partie
On reconnaît un jeu de Kayles, décrit dans la littérature, laquelle indique le premier coup gagnant de Zig.
http://www.recreomath.qc.ca/dict_dudeney_quilles.htm http://www.ajhw.co.uk/books/book80/book80.html#s73 http://www.numericana.com/answer/games.htm#kayles
Le tableau suivant montre (en jaune) les ripostes de Zig à tout premier coup suivant (en jaune) de Puce.
Remarque : on peut toujours ignorer les paires de billes isolées.
Zig peut toujours recréer une situation symétrique, qui lui permettra par le suite d'imiter chaque coup de Puce et donc de terminer gagnant.
Initial Z
P
Z
P Z P Z P
Z
P
Z
P
Z
P Z P
Z
P
Z
P
Z
P
Z
2ème partie
Puce a deux choix possibles pour gagner. Le second permet aussi de gagner la misère.
Quelle que soit la réponse de Zig, Puce peut créer la situation symétrique gagnante 1-1-2-2.
Init
P gagne
Z perd
P g
Z p
P g
Z p
P g
Z p
P g
Z p
P g
Z p
P g
Z p
P g
3ème partie Misère 2
Dans tous les cas, Puce laisse à Zig une situation 1+1+2+2.
Zig sera le premier à devoir prendre dans le tas de 2, Puce aura le choix avec l'autre 2 de gagner la partie normale ou la misère en prenant comme Zig ou différemment.
Théorie
Le jeu de Kayles est à tout instant la somme de k jeux de Kayles, chacun est composé de plusieurs billes adjacentes ou de 1 bille isolée.
Le nombre de Grundy d'une bille isolée est 1.
Le nombre de Grundy d'un ensemble de k billes adjacentes est donné dans le tableau suivant, rappelé dans http://oeis.org/A002186
The Nim equivalence in Kayles for rows with a length of 20 or less:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 1 2 3 1 4 3 2 1 4 2 6 4 1 2 7 1 4 3 2 1 http://math-bsc-si13.wikidot.com/game-of-kayles
Dans le cas de la partie 1, faire les tas 1-3-7 donne un nombre de Grundy 1+3+2, dont la NIM-somme est 0. Zig peut gagner.
Dans le cas de la partie 2, Puce peut gagner de 2 façons en faisant les tas 2+3+4, dont le nombre de Grundy est la NIM-somme de 1+3+1 = 0, ou les tas 1+2+2+4, dont le nombre de Grundy est la NIM-somme de 1+2+2+1 = 0.
Seule la seconde solution, décrite plus haut, permet aussi de gagner la misère.
