FONCTIONS MONOTONES. FONCTIONS CONVEXES. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� FONCTIONS MONOTONES. FONCTIONS CONVEXES. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

I. Fonctions monotones

I. A. Généralités

[RDO��, §�.�, p��] [Gou��, §�.�, p��]

Fonction monotone, exemples et contre-exemples Caractérisation avec la dérivée

Exemples : fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle, monotonie d’une homogra- phieStabilités par somme, produit

Existence d’une limite à gauche, à droite

Ensemble des points de discontinuité est au plus dénombrable Théorème deD��

I. B. Fonctions à variation bornées

[RDO��, §�.�, p��] [Gou��, §�.�, p��]

II. Fonctions convexes

[Gou��, §�.�/�.�, p��/��] [BMP��, §�.�.�, p��]

II. A. Généralités

D��. AµEest convexe si’a, bœA,’tœ[0,1],(1≠t)a+tbœA.

E��. Un intervalle deRest convexe, une boule deEest convexe.

D��. f :E≠æRest dite

• convexe si’a, bœE,’tœ]0,1[, f((1≠t)a+tb)Æ(1≠t)f(a) +tf(b),

• strictement convexe si’a, bœE,’tœ]0,1[, f((1≠t)a+tb)<(1≠t)f(a) +tf(b),

• concave si≠fest convexe.

E��. Une application a�ine est convexe et concave.

E��. Toute normeÎ.ÎdeEest convexe, non strictement convexe dès queE”={0}.

P��. f :E≠æRest convexe si et seulement si

• Ef =)(x, y)œR²|f(x)Æy*

est convexe,

• ’n œ N^ú,’(a1, . . . , an) œ Eⁿ,’(t1, . . . , tn) œ (R+)ⁿ\ {0_Rⁿ}, f(Bar((ai, ti)i)) Æ Bar((f(ai), ti)i)).

II. B. Liens entre convexité et monotonie

P��. Soitf :I≠æRoùIest un intervalle deR.fest convexe si et seulement si :

• pour toutaœI,x‘≠æ ^f(x)≠_x≠a^f(a)est croissante surI\ {a},

• pour touta, xœI,f^Õ(a)(x≠a) +f(a)Æf(x),

• f^Õest croissante,

• f^ÕÕØ0.

les trois dernières équivalences ayant lieu lorsquefest assez régulière (C¹ouC²).

On déduit de la première équivalence qu’une fonction convexe surIest continue surI^¶et admet une dérivée à droite et à gauche en tout point deI^¶.

E��. expest convexe,logest concave. Fonction convexe non continue : voir annexe.

III. Applications

III. A. Inégalités de convexité

[Gou��, §�.�/�.�, p��/��] [BMP��, §�.�.�, p��]

E��. On a des inégalités provenant de la convexité/concavité de certaines fonctions :

’xœR,e^xØ1 +x ’yœ]≠1,+Œ[,ln(1 +y)Æy ’◊œË 0,ﬁ

2 È,2

ﬁ◊Æsin(◊)Æ◊

P��. [�� -��]

SoientnœN^úeta1, . . . , anœR+. AlorsÔⁿa1. . . anÆ ¹n

qn i=1ai.

E��. On peut généraliser pour toute famillea₁, . . . , anœR+etb₁, . . . , bnœR^ú+, on a (a^b₁¹. . . a^b_nⁿ)^1/bÆ ¹b

qn

i=1biai où b=qn i=1bi

P��. [�� Y��]Soientp, q >0tels que¹_p+¹_q = 1. Alors pour tout a, bœR+, on aabÆ ^ap^p+^b_q^q avec égalité si et seulement sia^p=b^q.

A��. [�� H�� M��]

Soit(E,A, µ)un espace mesuré. Soitp œ [1,+Œ]etqsont exposant conjugué. Pour toutes fonctionsf, g:E≠æKmesurables, on aÎf gÎ1Æ ÎfÎpÎgÎq, puisÎf+gÎpÆ ÎfÎp+ÎgÎp. Soit( ,A,P)un espace probabilisé. SoitXune variable aléatoire.

P��. [�� J��]

SiX œL¹et„est convexe, alors„(E[X])ÆE[„(X)]. De plus, si„est strictement convexe, on a égalité si et seulement siXest constante presque sûrement.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

A��. SoitX₁, . . . , Xndes v.a. i.i.d. de loiE(◊)pour un paramètre◊>0inconnu.

AlorsXn = ¹_nqn

i=1Xiest un estimateur sans biais fortement convergeant deE[E(◊)] = ¹_◊. Alors_X¹

nest un estimateur fortement convergeant avec biais de◊.

P��. [�� H��]

Soient (Xi)1ÆiÆn des variables aléatoires indépendantes telles que pour touti,Xi œ [ai, bi]p.s. pour des réelsaiÆbi. Alors pour touttØ0:

P(|qn

i=1Xi≠E[Xi]|Øt)Æ2 exp(≠2t²/qn

i=1(bi≠ai)²)

A��. Soient(Xi)1ÆiÆndes variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées deR��centrées, c’est-à-direP(X1= 1) =P(X1=≠1) = 1/2. Alors :

’t >0,P(|qn

i=1Xi|Øt)Æ2 exp(≠_2n^t²)1_t_Æ_n

III. B. Étude de suites récurrentes

^[El��, §�.�/�.�, p��/��] [Ouv��, p��/��]

Suite récurrente : selon la monotonie, le signe deu_n+1unest soit constant soit alterné Comparaison série-intégrale. Application : série harmonique

D��. [�� ,�� ]

SoitXune variable aléatoire à valeurs dansNpresque sûrement. On définitgXla fonction génératrice deXpargX(s) =E[s^X] =q

kØ0P(X =k)s^k(lorsque la série converge).

P��. gXest bien définie, croissante et convexe sur[0,1]. Si de plusP(X = k)>0pour au moins unkØ2, alorsgXest strictement convexe sur[0,1].

P��. [�� G��-W��]

Soient(X_i^j)i,jØ1des v.a. i.i.d. à valeurs dansN. On noteµleur loi,mleur espérance et on définit le processus(Zn)nœNparZ0 = 1etZn+1 = qZn

i=1X_iⁿ⁺¹pourn œ N. et enfin ﬂ=P(÷nØ0|Zn= 0). Alors siµ”=”₁, on a :

• simÆ1,ﬂ= 1et on a extinction du processus presque surement,

• sim >1,ﬂ<1et il y a une probabilité strictement positive de survie.

IV. Convexité et optimisation

[Rou��, Ch�, p��] [FGN��, §�.��, p��] [FGN��, §�.��, p��–��]

On a la même définition de la convexité pour une fonctionfdéfinie sur un convexe deR^p.

P��. Soitf :R^p≠æR.

• Sif est di�érentiable,f est convexe (resp. strictement convexe) si et seulement si pour toutx”=yœR^p,f(y)≠f(x)Ø ÈÒf(x)|y≠xÍ(resp.f(y)≠f(x)>ÈÒf(x)|y≠xÍ,

• SifestC²,fest convexe (resp. strictement convexe) si et seulement siÒ²f(x)est positive (resp. définie positive) pour toutxœR^p.

E��. SoitAœSⁿ(R),bœRⁿ,cœRetf :x‘≠æ ¹₂ÈAx|xÍ ≠ Èb|xÍ+c.

SiAest positive (resp. définie positive),f est convexe (resp. strictement convexe). Ainsi par exemple si(E,È.|.Í)est euclidien, l’applicationx‘≠æ ÎxÎ²est strictement convexe.

Soitf :R^p≠æRune fonction convexe.

P��. SoitCun convexe deR^petM ={xœC|f(x) = infCf}l’ensemble des minimums globaux defsurC.

On suppose qu’il existe un minimum localxıdefsurC. Alors :

• Mest un ensemble convexe etxıœMest un minimum global,

• si de plusfest strictement convexe, alorsM ={xı}. T��. [�� N��]

Soitf : [c, d]≠æRune fonctionC², oùc < d, et telle quef(c)<0< f(d)etf^Õ>0sur[c, d].

On considère la suite récurrente définie parx0œ[c, d]etxn+1=xn≠f^f(x^Õ(xⁿn⁾)pournœN.

Alors en notantal’unique0def, on a :

(i) il existe–>0tel que pour toutx0œ[a≠–, a+–],(xn)nœNconverge versade manière quadratique et il existeC >0telle que’nœN,|x_n+1≠a|ÆC|xn≠a|².

(ii) si de plusf^ÕÕ>0(fest strictement convexe) sur[a, d], alors pour toutx0œ]a, d],(xn)_nœN est strictement décroissante etx_n+1≠a≥næ+Œ f^ÕÕ(a)

2f^Õ(a)(xn≠a)². A��. Approximation des zéros d’un polynôme.

T��. [�� ]

Soitf :R^p≠æRelliptique, c’est-à-direfestC¹et telle qu’il existe–>0satisfaisant

’x, yœR^p,ÈÒf(x)≠ Òf(y)|x≠yÍ Ø–Îx≠yÎ²

On définit(xn)nœNparx0œ R^petxn+1=xn≠flnÒf(xn)oùfln= argmin_fl>0f(xn≠ flÒf(xn)). Alors(xn)nœNconverge vers l’unique minimum global def.

A��. SoitAœSn⁺⁺(R),bœRⁿetcœ R. L’applicationf :x‘≠æ ¹₂ÈAx|xÍ ≠ Èb| xÍadmet un unique minimumxcaractérisé parÒf(x) =Ax≠b= 0. On converge vers cette solution par l’algorithme de gradient à pas optimal.

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Agrégation – Leçons ��– Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

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Le plan est un peu facile ici, il serait mieux d’essayer de mettre en parallèle les deux notions.

Le théorème deD��est important car en utilisant la monotonie, il permet de remplacer une hypothèse pas toujours facile à montrer dans le cas général.

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Q Soitg:R≠æRcontinue telle queg²= 2g≠id. Montrer quegest bijective.

R Sig(x) =g(y), l’égalité fonctionnelle donnex=y, doncgest injective.

gest injective donc strictement monotone, donc bijective ...

Q Que dire d’une fonction convexe surR(resp. surR⁺) et majorée?

R Elle est constante (resp. converge vers une limite¸œ]≠ Œ,+Œ]).

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[El��] M.E�A��:Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions. Ellipses,��.

[FGN��] S.F��, H.G��et S.N��:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Ouv��] J.-Y.O��:Probabilités : Tome�. Cassini,�^èmeédition,��.

[RDO��] E.R��, C.D��et J.O��:Cours de mathématiques�, Topologie et éléments d’analyse. Dunod,��.

[Rou��] F.R��:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,��.

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