Leçon 26 Calcul intégral 1.

5. FONCTION LOGARITHME | 108

Leçon 26 Calcul intégral 1. Intégrale d’une fonction logaithme

Définition

Soit une fonction y= f(x), on a d y= f'(x)dx, dy est appelé différentielle de la fonction y= f(x).

Remarque

( )

x

f' ou

dx

dy est la dérivée de la fonction y= f(x) en fonction de x. Exemple 1 : Soit la fonction y=x²+lnx. Calculer dy

Solution

On a : ^{f x( ) d}

(

^{x2 lnx}

)

^d

( )

^{x2 d}

^{( )}

^{lnx 2x 1}

dx dx dx x

 = + = + = +

( )

dx

x x x dy

x x dx f

dy 



 



 +

=

 +

=

= 1

1 2 2 '

Exemple 2 : Soit la fonction y=xlnx e+ ^x3. Calculer dy

Solution

(

³

) ^{( )} ( )

³

( ) d ln ^x d ln d ^x

f x x x e x x e

dx dx dx

 = + = +

^{x d}

( )

^{lnx lnxdx ex3 d}

( )

^x3

dx dx dx

= + +

dx

dy 1 2 ³ 2 ³

ln 3 ^x 1 ln 3 ^x

x x x e x x e

x

=    + + = + +

^{dy= +}

(

^{1 lnx+3x e2 x3}

)

^dx

Exemple 3 : Étant donné

ln 1

d x dx

= x . Calculer les intégrales : a. ^lnxdx



x b.

2 3

3

ln( 3) 3

x x

x dx +



+

Solution a. ^lnxdx



x

Posons u =lnx, dx xdu x

dx

du=1 = lnx

x dx



⁼



^u_x^xdu=



^udu=u₂^{2 +c}

Donc ₌

( )

_{+ }



^ln_x^{xdx ln}₂^{x 2 c,c}

b.

2 3

3

ln( 3) 3

x x

x dx +



+

5. FONCTION LOGARITHME | 109

Posons ^u=ln

(

^x3+3

)

^{, du}

x dx x x

x dx du

2 3 3

2

3 3 3

3  = +

= +

2 3

3

ln( 3) 3

x x

x dx +



+ ⁼



_x^x32₊^u₃^x₃³_x^+23du=₃¹



^udu=₃^1u₂^{2 +c}

Donc

2 3

3

ln( 3) 3

x x

x dx +



+ ₌

 (

^{x +}

) 

_{+c, c}

6 3 ln ^{3 2}

Exemple 4 : Calculer

3

1 ln dx

x x



Solution

On a x lnx

3

ln³ =1 , donc :

3

1 1

3 ln

ln dx dx

x x

x x =

 

Posons u =lnx, dx xdu x

dx

du=1  =

3

1 1

3 ln

ln dx dx

x x

x x =

 



 +

=

=

 

=³



_x¹_u ^{xdu 3}



^du_u ^{3u c, c}



 +

= +

=3ln c 3lnx c, c

2. Intégration par partie Théorème

Soit u et v deux fonctions dérivables sur



a ,b



telles que les dérivées u' et v'

soient continues sur



a ,b



. Alors :

  



^{u(x)v'(x)dx= u(x)v(x) − u'(x)v(x)dx}

Ou



^udv=

 

^{uv −}



^vdu

Exemple : Calculer



^xlnxdx

Solution



^xlnxdx=



^lnx

( )

^xdx Posons









=

=

 



=

=

2 1 ln

x2

v xdx du dv

xdx x u



^xlnxdx=



^lnx

( )

^{xdx =}



^udv=uv−



^vdu



^{xlnxdx=lnxx}₂^{2 −}



^x₂^{2 dx}_x

5. FONCTION LOGARITHME | 110





^xlnxdx= ₂^1x2lnx−1₂ ^xdx



^xlnxdx= ₂^1x2lnx−₂¹^x₂² +^c=₂^1x2lnx −₄^1x2+^{c, c}

Exemple 2 : Calculer



^e

( )

^{x dx}

1

ln 2

Solution

. Posons

( )







=

=



 =





=

=

x v

x xdx xdx

x du

dx dv

x

u 1 2ln

ln ln ² 2



^e

( )

^{x dx=}



^eudv=uve−



^evdu

1 1

1 1

ln 2

_ ( )

⁼

( )

⁻

_

^{ xdx}

x x x

x dx

x 2ln

ln

ln ^{2 2}

 ( )

^{lnx 2dx=x}

( ) 

^{lnx 2−2 lnxdx}

. On utilise encore une fois l’intégration par parite pour



^lnxdx.

Posons







=

 =





=

=

x v

xdx du dx

dv x

u 1

ln



^lnxdx=



^udv=uv−



^vdu



^{lnxdx=xlnx −}



^x1_x^{dx=xlnx −}



^{dx=xlnx −x+c1}

Enfin, on obtient :

 ( )

^{lnx 2dx=x}

( ) 

^{lnx 2−2 lnxdx}

 ( )

^{lnx 2dx=x}

( )

^{lnx 2−2xlnx +2x−2c}₁

 ( )

^{lnx 2dx=x}

( )

^{lnx 2−2xlnx +2x+c, c=−2c}₁

Donc

^e

( )

ln^{x dx}



^x

( )

ln^{x 2} 2^xln^x 2^x



1^e 1

2 = − +



⁼

(

^e

( )

^{lne 2−2elne+2e}

)

⁻

(

¹

^{( )}

^{ln12 −2ln1+2}

)

=

(

e−2e+2e

) (

− 0−0+2

)

=e−2

3. Intégrale d’une fonction rationnelle Théorème

1)



¹_x^dx=^lnx+^{c, c}

2)



_u^1du=^lnu +^{c, c}

5. FONCTION LOGARITHME | 111

Exemple 1 : Calculer les intégrales.

x dx

A⁼



^_^{ −}x³ ₂^{1 }_^{ B=}



^_^_x²₋₁⁺ _x^2x₊₂^_^dx

Solution

A= 3 1 1 1 1 1

3 3ln ln

2 dx dx 2 dx x 2 x c

x x x x

 −  = − = − +

 

 

  



 +

 =



 

 −

=



_{x x} ^{dx x c c}

A ln ,

2 7 2

1 3

1 5

3 2 2 5

ln ln ln

x ⁻ c x c 2 x c

= + = + = +

B⁼ 2 ₂ 1 ₂

1 2 2 1 2

x x

dx dx dx

x x x x

 +  = +

 − +  − +

 

  

2 2

1 1 1

2 ( 1) ( 2)

1d x 2 2d x

x x

= − + +

− +

 

1 2

2 ln 1 ln 2

x 2 x c

= − + + +

2 2

ln (x 1) ln x 2 c

= − + + +

2 2

ln (x 1) x 2 c

= − + +

Exemple 2 : Calculer les intégrales.

=

A 2₂ 3 3 x dx

x x

+



+ ^B=



_x^{3x x}₊⁽_3x⁺²²⁾₋₄^{dx C= 2 32 2}

1

2 3

x x

x x

−



− ^{dx D= 1 2 3}

03 x

−x



^dx

Solution . A= 2₂ 3

3 x dx

x x

+



+

Posons = ² +3  =2x+3 dx

x du x

u

du

dx x

3 2

1

= + A= 2₂ 3

3 x dx

x x

+



+ ⁼



^2x_u^+3_2x¹₊₃^du=



_u^1du

=

A 2₂ 3 3 x dx

x x

+



+ ^{=lnu +c=lnx2+3x +c, c}

. B⁼ ₃ ( ₂2)

3 4

x x dx

x x

+

+ −



Posons x x

dx x du

x

u= ³+3 ²−4 =3 ²+6

^{dx 3x21 6xdu}= ^3x

(

^x1+²

)

^du

= + B= ₃ ( ₂2)

3 4

x x dx

x x

+

+ −



⁼



^x

⁽

^x_u⁺²

⁾

^_3x

₍

_x¹₊₂

₎

^du

5. FONCTION LOGARITHME | 112 B= ₃ ( ₂2)

3 4

x x dx

x x

+

+ −



⁼



₃¹_u^du=₃¹



_u^1du

B= ₃ ( ₂2)

3 4

x x dx

x x

+

+ −



⁼₃^{1lnu +c =1}₃^{ln x3+3x2− +4 c ,c}

. C=

2 2

3 2

1

2 3

x x

x x

−



− ^dx

Posons x x

dx x du x

u = ³ −3 ²  =3 ² −6

^{dx=3x21−6xdu=3}

(

^x21−2x

)

^du

= C

2 2

3 2

1

2 3

x x

x x

−



− ^{dx x u2x 3}

(

^{x21 2x}

)

^du

2

1 2

 −

=



−

= C

2 2

3 2

1

2 3

x x

x x

−



− ^dx=



_u^du=



²_u^du

1 2

1

1 3 1 3

1



^{3 2}



₁²

2

1

3 3 ln

ln 1 3

1 u = x − x

=

( )

( ) (

^{ln 4 ln 2}

)

3 3 1 1 ln 4 3 2 3 ln

1 ₃

−

−

−

=

−

−



−

= C

( )

ln2

3 1 2 ln4 3 2 1 ln 4 3 ln

1 − = =

= C

. D=

1 2

3 03

x

−x



^dx

Posons 3 ³ 3x²

dx x du

u= −  =−

du

dx x₂ 3

− 1

=

= D

1 2

3 03

x

−x



^dx=



^{1 x}_u ^_^− _x^{2 }_^du

0 2

3 1



²



¹₀

1

0

3 3 ln 1 1

3

1 du x

u =− −

−

=



^D

3 3

1 ln 3 1 ln 3 0

3 

= −  − − −  ^{1 ln 2 ln 3 1}



^{ln 3 ln 2}



^{1ln 3}

3 3 3 2

   

= −  − = − =   

4. Intégrale et fraction simple

Exemple 1 : Calculer x

(

x

)(

x

)

^dx

x A⁼



²x₋²⁺₁ ⁺₊⁵₁

Solution

On a : ²

(

¹

)(

⁵¹

)

^{1 1}

2

+ + + − + =

− + +

x C x

B x A x

x x

x x

(

1

)(

1

) (

1

) (

1

)

5

2x²+x+ =Ax− x+ +Bx x+ +Cx x−

5. FONCTION LOGARITHME | 113

. x=0, 5=A

( )( )

−1 1 A=−5

. x=1, ^{2 1 5+ + =B(1)(2)  =B 4} . x= −1, ^{2 1 5}− + = − −  =^{C( 1)( 2) C 3}

On obtient donc

( )( )

1

3 1 4 5 1 1

5 2 ²

+ + + −

− + =

− + +

x x x x

x x

x x

( )( )

dx x x x ^dx

x x x

x

A⁼



²x₋^{2 +}₁ ⁺₊⁵₁ ⁼



^_^{−5+ 4}₋₁^{+ 3}₊₁^_^

(

^x

)(

^x

)

^{dx xdx x dx x dx}

x

x

A⁼



²x₋^{2 +}₁ ⁺₊⁵₁ ⁼⁻⁵



^{1 +4}



¹₋₁ ⁺³



¹₊₁

1 1 1

5 4 ( 1) 3 ( 1)

1 1

dx d x d x

x x x

= − + − + +

− +

  

^{= −5ln x +4 ln x− +1 3ln x+ +1 c}

^{= −ln x5 +ln}

(

^x−1

)

^{4 +ln}

(

^x+1

)

^{3 +c}

^{( ) (}

⁴5

⁾

³

1 1

ln x x

x c

− +

= +

Exemple 2 : Calculer x

(

x

)

^dx

x B⁼



⁵x²²⁻⁴₋₁⁺²

Solution On a :

2

2

5 4 2

( )( 1) 1

x x A B C

x x x x x x

− + = + +

− −

5x²−4x+ =2 Ax x( − +1) B x( − +1) Cx² . x=0, 2= −  = −B( 1) B 2

. x=1, 5 4 2− + =C(1)  =C 3

. x= −1, 5 4 2+ + = − − + − +A( 1)( 2) B( 2) C(1)

^{11 2= A−2B C+  11 2= A+ + 4 3 2A= − 11 7 2A=  =4 A 2} On obtient donc

2

2

5 4 2 2 2 3

( )( 1) 1

x x

x x x x x x

− + = +− +

− −

= B

2

2 2

5 4 2 1 1 1

2 2 3

( 1) 1

x x

dx dx dx dx

x x x x x

− + = − +

− −

   

1 2 1

2 2 3 ( 1)

dx x dx 1d x

x x

= − − + −

  

−

1

2 ln 2 3ln 1

1

x x x c

= − − + − +

−

2 ln x 2 3ln x 1 c

= + +x − +

Exemple 3 : Calculer C=

1 3 2 0

4 10 6

x x

x x dx

− −



− −

Solution

⁻

−

2 6

x − −x 3x−4

2 2 10

x + x−

3 2

6 x − −x x

3 4 10

x − x− x²− −x 6 1 x+

5. FONCTION LOGARITHME | 114

On obtient

3

2 2

4 10 3 4

6 1 6

x x x

x x x x x

− − = + + −

− − − −

Et tel que ^{3 4}

( 3)( 2) 3 2

x A B

x x x x

− = +

− + − +

3x− =4 A x( + +2) B x( −3) . x= −2, − − = −6 4 B( 5)  B=2 . x=3, 9 4− =A(5)  A=1

Donc ^{3 4 1 2}

( 3)( 2) 3 2

x

x x x x

− = +

− + − +

Et C=

1 3 1 1 1

2

0 0 0 0

4 10 1 1

( 1) 2

6 3 2

x x

dx x dx dx dx

x x x x

− −

= + + +

− − − +

   

1

1 1

2

0 0

0

1 ln 3 2 ln 2

2x x x x

     

= +  + −  +  + 

^{1 1}

(

^{0 0}

)

ln 2 ln 3 2 ln 3 2 ln 2 2

 

= + − + + − + −

3 3 3

ln 3 ln 2 ln

2 2 2

= + − = +    

5. FONCTION LOGARITHME | 115

Exercices

1. Calculer dy de chacune des fonctions suivantes.

a. y=xe^x+xlnx b.

ln2

1 y x

= x

+ c. y=x³+ln⁵ x d. y=log₂x x( +1) e. ^{y=ln ln}

( )

^{x +x f.} y=log3

(

x²− +1

)

x+1

2. Calculer les intégrales suivantes.

a. ¹

ln dx x x



b. ^{ln 5x}

( )

⁴

x dx



c.

( )

^{lnx 2}

x dx



^d.

(

²

)

2

ln 1

1

x x

x dx +



+

e. ^{ln ln}

( )

ln x dx x x



f. ¹

ln dx

x x



g.

( )

ln ln

5

5 3

x

x dx

x −



^h.



^{1 ln}_x⁺_lnx^xdx

i.

 (

^{x+1 ln}

) (

^{1 x+1}

)

^{dx j.}



^ln_x⁷₊^x₂^+2dx

k.

( ( ) )

( )

ln ln ln ln ln ln

x dx

x x x



^.

3. Calculer les intégrales suivantes (intégrale par partie).

a. ^ln₂^xdx



x b.



x^nlnxdx^, nN

c.

_

^x3ln

(

^x2+1

)

^{dx d.} 2

ln ( 3)

x dx x+



e. ^ln

(

²

)

2 x dx x

+



+ f.



ln 2x dx

g.

_ (

^{x3+3 ln}

)

^{x dx h.}

_

^{ln 3x dx( )}

i.



xlnx dx ^{j. 2}

1

ln

e



x dx

k. ¹

( )

0

ln x+1 dx



4. Calculer les intégrales suivantes.

a. ^{1 2}

2 4 dx

x x

 + 

 + 

 



^b.



_2x^2x₋₃^dx

c. ₂ ¹

2 5

x dx

x x

+ + +



^d.



₁₊^x2_x^3dx