TD7

(1)

Feuille d’exercices du Chap. 7

Les exercices sans(∗)sont des applications directes du cours. Les exercices marqu´es(∗)sont un peu plus difficiles, mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les ´evaluations.

Exercice 1. SoitR² le plan affine muni du repère canonique(O, e1, e2), oùO désigne le point (0,0). SoientI le point de coordonnées (1,1)et r=r(I, π/4) la rotation de centreI et d’angle π/4, i.e. pour tout pointM deR², le pointM^′=r(M)est défini par−−→

IM^′ =~r(−−→IM), o`u~rest la rotation vectorielle d’angleπ/4.

1. Soit M = (x, y) un point de R², exprimer ses coordonn´ees (X, Y) dans le rep`ere R = (I, e1, e2)en fonction dexet y.

2. Exprimer les coordonn´ees(X^′, Y^′)deM^′=r(M)en fonction deX etY, puis dexet y.

3. En d´eduire les coordonn´ees(x^′, y^′)deM^′ dansR⁰.

Exercice 2. SoitR² le plan affine muni du repère canonique(O, e1, e2), oùO désigne le point (0,0). SoitD¹ (resp.D²) la droite affine d’équation3y−x= 1(resp.x+ 2y= 4) et soitp(resp.

s) la projection surD¹ (resp. la symétrie par rapport à D¹) parallèlement àD². 1. (Question de cours) Déterminer la directionD1 deD¹ (resp.D2deD²).

2. Montrer queD¹∩ D²={I}pour un pointI que l’on d´eterminera.

3. D´eterminer un vecteur v1 (resp. v2) engendrant la droite vectorielleD1 (resp. D2) puis, notantC la base(v1, v2), ´ecrire la matrice de passageP = MatB0(C).

4. Soit Rle rep`ere (I,C)de l’espace affineR². Pour tout pointM = (x, y) deR², exprimer les coordonn´ees(X, Y)deM dansRen fonction dexety.

5. Soient(X^′, Y^′)les coordonn´ees deM^′ =p(M), et(X^′′, Y^′′)celles de M^′′=s(M), dans le rep`ereR. Exprimer(X^′, Y^′)et(X^′′, Y^′′)en fonction deX etY.

6. Dans le repère R⁰ = (O, e1, e2), déterminer les coordonnées (x^′, y^′) de M^′ et (x^′′, y^′′)de M^′′.

Exercice 3(∗). 1. Dans R², donner l’´equation de la droite affine D passant par le point M0= (x0, y0)et de directionD=R~u, o`u~u=ae1+be26= 0.

2. Dans R³, donner l’´equation du plan affine P passant par le pointM0 = (x0, y0, z0)et de directionP=R~u⊕R~v, o`u~u=



 1 2 3



 et~v=



 a b c



sont lin´eairement ind´ependants.

3. Dans R³, donner les ´equations de la droite affineDpassant par le pointM0= (x0, y0, z0) et de directionD=R~u, o`u~uest le vecteur ci-dessus.

Exercice 4 (Examen 28/6/10). Soient R = (O, e1, e2, e3) un repère orthonormé de l’espace affine euclidienE. SiM ∈ E, on écriraM(x, y, z)pour indiquer que(x, y, z)sont les coordonnées deM dansR. SoitPle plan affine passant par le pointI(−1,0,1)et de direction le plan vectoriel P engendré parf1=e1+ 2e2etf2=e2+e3. SoitD la droite vectorielleP^⊥. On noteπD (resp.

πP) la projection orthogonale surD (resp.P) etσ la sym´etrie orthogonale par rapport `aP. 1. Donner un vecteur non nul f3∈D.

2. Pour tout v ∈R³, rappeler les formules exprimantπD(v),πP(v) et σ(v) en fonction dev et def3, puis ´ecrire dans la baseB= (e1, e2, e3)la matriceA(resp.B) deπP (resp.σ).

3. Soientf la projection orthogonale surPetgla symétrie orthogonale par rapport àP. Pour toutM(x, y, z)∈ E, écrire les coordonnées du vecteur−−→IM puis déterminer celles(x1, y1, z1) et(x2, y2, z2)des pointsM1=f(M)et M2=g(M).

(2)

4. Soit tu la translation de vecteur u = f1−f2. Pour tout M(x, y, z) ∈ E, déterminer les coordonnées(x^′1, y^′1, z1^′)et(x^′2, y2^′, z2^′)des pointsM1^′ =tu(M1)etM2^′ =tu(M2). Déterminer, en le justifiant, la nature et les caractéristiques de la transformation affinetu◦g.

Exercice 5 (CC 2009–10). Soient R = (O, e1, e2, e3) un repère orthonormé de l’espace affine euclidienE et (x, y, z)les coordonnées dansR. Soitf :E → E l’application affine définie par

f







 x y z







=



 z+ 2

x y−1



.

1. D´eterminer la partie lin´eaire−→f def.

2. Montrer que −→f est une isométrie vectorielle de R³ et déterminer ses caractéristiques géo- métriques.

3. D´eterminer l’ensemble des pointsI∈ E tels que−−−→

If(I)∈Ker(−→f −id), calculer dans ce cas le vecteur−−−→

If(I), et donner la nature et les caractéristiques géométriques def.

Exercice 6 (CC 2009–10). Soient R = (O, e1, e2, e3) un repère orthonormé de l’espace affine euclidienE et (x, y, z)les coordonnées dansR. Soitf :E → E l’application affine définie par

f







 x y z







=





−2/3 −2/3 1/3 1/3 −2/3 −2/3

−2/3 1/3 −2/3







 x y z



+



 1 1 1





1. D´eterminer la partie lin´eaire−→f def.

2. Montrer que −→f est une isométrie vectorielle de R³ et déterminer ses caractéristiques géo- métriques.

3. Déterminer l’ensemble des points fixes def, puis sa nature et ses caractéristiques géomé- triques.

Exercice 7 (Examen 10/6/10). SoitR= (O, e1, e2, e3)un repère orthonormé de l’espace affine euclidienE. Soitf :E → E l’application affine telle que, pour toutM ∈ E de coordonnées(x, y, z) dansR,M^′=f(M)a pour coordonnées :

x^′= 1 2

x+y+√ 2z

+ 1 y^′= 1

2

x+y−√ 2z

+ 1 z^′= 1

2 −√

2x+√ 2y

+ 1

1. D´eterminer la partie lin´eaireφdef et donner sa matriceAdans la baseB= (e1, e2, e3).

2. Montrer que φest une isométrie vectorielle de R³ et déterminer ses caractéristiques géo- métriques.

3. Soitw=



 1 1 1



. Déterminer les projections orthogonalesuetvdewsurF = Ker(φ−id)et surF^⊥. Soitt−u la translation de vecteur−u; déterminer un point fixeI deg=t−u◦f. 4. Déterminer la nature def et préciser ses caractéristiques géométriques.

(3)

Exercice 8(Examen 28/6/11). SoitE l’espace affine euclidienR³, muni du repère orthonormé canoniqueR⁰= (O,B), oùO désigne le point(0,0,0)etB la base canonique(e1, e2, e3). Soient I le point(0,2,0),wle vecteur 1

√2(e1−e3), etDla droite affineI+Rw. Soitf le vissage d’axe Dorient´e parw, d’angleπ/4et de vecteur de vissage√

2w=e1−e3, et soit−→f sa partie lin´eaire.

1. D´eterminer un vecteur unitaire v tel que C = (e2, v, w) soit une BON directe. ´Ecrire la matrice de passageP= MatB(C)et son inverseP⁻¹.

2. ´Ecrire la matriceC= MatC(−→

f), puis la matriceB = MatB(−→

f)(on ´ecriraB sous la forme B=1

4A, o`u tous les coefficients deAsont de la formep+q√

2, avecp, q∈Z).

3. Soit g la rotation d’axeD orient´e par w, et d’angle π/4. Pour tout point M = (x, y, z), d´eterminer les vecteurs−−−−→

Ig(M)puis−−−−→

If(M).

4. D´eterminer les coordonn´ees(x^′, y^′, z^′)du pointM^′ =f(M).

Exercice 9 (Exam 8/6/2012). On munit R³ du produit scalaire standard ( | ) et l’on note B = (e1, e2, e3) la base canonique. On noteE =R³ considéré comme espace affine euclidien de dimension3. Soitsla symétrie orthogonale par rapport au plan affineP d’équationx+2y−z= 1 et soientP la direction deP et σla partie linéaire des.

1. D´eterminer un vecteur−→n orthogonal `aP, puis choisir un pointI∈ P et pour tout point M = (x, y, z)calculer le vecteur−−−−→

Is(M)puis d´eterminer les coordonn´ees(x^′, y^′, z^′)du point M^′=s(M).

Soittw la translation de vecteurw= 3e2et soitg=tw◦s.

2. D´eterminer les projections orthogonalesv etudew surD=P^⊥ etP respectivement.

3. Déterminer les caractéristiques géométriques de g.

Exercice 10 (Exam 8/6/2012). On munit R³ du produit scalaire standard ( | ) et l’on note B= (e1, e2, e3)la base canonique.

1. Soit r la rotation d’axe engendré et orienté pare3 et d’angleπ/4. Écrire la matrice R = MatB(r).

2. SoitA=





0 1 0 0 0 1 1 0 0



∈M3(R). Montrer que A∈SO(3).

3. ´Ecrire la matriceB =RAet montrer queB∈SO(3).

4. Déterminer les caractéristiques géométriques deB. (L’angle à trouverθn’est pas, a priori, de la forme qπ, avec q ∈ Q; pour le déterminer on se contentera de donner la valeur de cos(θ)et le signe desin(θ).)

5. Soit C = (f1, f2, f3) une base orthonormée directe, où f3 appartient à Ker(B −I3) et l’oriente comme dans la question précédente (on ne cherchera pas à calculer explicitement lesfi). Pouri= 1,2,3, exprimerBfi dans la baseC.

6. Soient S ∈ O(3) et u l’endomorphisme de R³ tel que MatB(u) = SBS⁻¹. Soit C = (f1, f2, f3)comme dans la question précédente, et pouri= 1,2,3, soitf_i^′=Sfi. Exprimer u(f_i^′) dans la base C^′ = (f1^′, f2^′, f3^′), puis écrire MatC′(u) et en déduire la nature et les caractéristiques géométriques deu. (Pour l’angleθ^′ deu, on distinguera les casS∈SO(3) etS∈O⁻(3); lorsqueS∈O⁻(3)on pourra remplacer C^′ par la baseD= (f1^′, f2^′,−f3^′)ou bienD^′= (f1^′,−f2^′, f3^′).)

(4)

7. Déterminer la nature et les caractéristiques géométriques deC=AR. (On pourra remar- quer queC=R⁻¹BR.)

Exercice 11 (Exam 29/6/2012). On munit R³ du produit scalaire standard (| ) et l’on note B= (e1, e2, e3)la base canonique.

1. Soitr la rotation d’axe engendr´e et orient´e par e3 et d’angle π/6. ´Ecrire la matrice R = MatB(r).

2. SoitA=





0 0 −1 1 0 0 0 1 0



∈M3(R). Montrer queA∈O(3)et calculerd´et(A).

3. ´Ecrire la matriceB=RA, montrer queB ∈O(3) et calculerd´et(B).

4. Déterminer les caractéristiques géométriques deB. (L’angle à trouverθn’est pas, a priori, de la formeqπ, avecq ∈Q; pour le déterminer on se contentera de donner la valeur de cos(θ)et le signe de sin(θ).)

5. Soit C = (f1, f2, f3) une base orthonormée directe, où f3 appartient à Ker(B +I3) et l’oriente comme dans la question précédente (on ne cherchera pas à calculer explicitement lesfi). Pouri= 1,2,3, exprimerBfi dans la baseC.

6. Soient S ∈ O(3) et u l’endomorphisme de R³ tel que MatB(u) = SBS⁻¹. Soit C = (f1, f2, f3)comme dans la question précédente, et pouri= 1,2,3, soitf_i^′=Sfi. Exprimer u(f_i^′) dans la base C^′ = (f1^′, f2^′, f3^′), puis écrire MatC′(u) et en déduire la nature et les caractéristiques géométriques deu. (Pour l’angleθ^′ deu, on distinguera les casS ∈SO(3) etS ∈O⁻(3); lorsqueS∈O⁻(3)on pourra remplacerC^′ par la baseD= (f1^′, f2^′,−f3^′)ou bienD^′ = (f1^′,−f2^′, f3^′).)

7. Déterminer la nature et les caractéristiques géométriques deC=AR=R⁻¹BR.

Exercice 12(Exam 8/6/2012). Soit(|)le produit scalaire standard surR²et soitB= (e1, e2) la base canonique. Pour toutθ∈R, soiteθ= cos(θ)e1+ sin(θ)e2 et soitDθ la droite vectorielle Reθ. (Noter queeθ+π=−eθ, de sorte queDθ+π=Dθ.) On noteσθ la symétrie orthogonale par rapport àDθ et l’on rappelle que, pour tousθ, ϕ, la composéeσθ+ϕ◦σϕ est la rotation d’angle 2θ.

1. ´Ecrire la matrice dans la baseBdeσ0, puis deσθ pourθ arbitraire.

On note P = R² considéré comme espace affine euclidien de dimension 2. Pour tout vecteur v ∈ R², on note tv : P → P la translation de vecteurv. On note sD la symétrie orthogonale par rapport à une droite affineD(sa partie linéaire est la symétrie orthogonaleσD, oùD est la direction deD).

2. Soient D une droite vectorielle, A un point de P et D la droite affine A+D. Soient v ∈ D^⊥. Montrer que sD◦t−v est la symétrie orthogonale par rapport à la droite affine D^′=tv^′(D) =A+v^′+D, pour unv^′ ∈D^⊥ que l’on déterminera en fonction dev.

On fixeθ, ϕ∈Ret un vecteuru∈R², on noteDla droite vectorielleDϕ, et l’on fixe deux points A, I ∈ P tels que−→

AI∈D^⊥. Soitr=r(I, θ)la rotation de centreI et d’angleθ, soits=s^D, o`u D=A+D, soittula translation de vecteuru, et soitf =r◦s◦tu.

3. Sans faire de calculs, dire quelle est la nature g´eom´etrique def.

4. En utilisant les questions pr´ec´edentes, montrer, en faisant un minimum de calculs, que f =sI+D_ψ◦tw, pour un angleψque l’on exprimera en fonction deϕet θet un vecteurw que l’on exprimera en fonction de−→AI et u.

(5)

On prend ϕ=π/6 =θ, I= (1,1), A= (2,1−√

3) et u=−2√ 3e2.

5. Vérifier que −→AI est orthogonal à la droite D = Dπ/6. Puis, pour tout point M = (x, y), déduire de la question précédente les coordonnées(x^′, y^′)du pointM^′=f(M).

6. (Peut se faire indépendamment des questions précédentes.) On prend ϕ, θ, I, A, u comme ci-dessus. Pour toutM = (x, y), déterminer par des calculs directs le pointtu(M), puis les vecteurs−−−−−−→

Astu(M),−−−−−→

Istu(M)et−−−−→

If(M), et enfin les coordonn´ees(x^′, y^′)def(M).

Exercice 13 (Exam 7/6/2011). SoitE l’espace affine euclidienR³, muni du repère orthonormé canonique R⁰ = (O,B), où O désigne le point (0,0,0) et B la base canonique (e1, e2, e3). On considère le cône Γ ={(x, y, z)∈ R³ |x²+y² =z²}. SoitA le point (0,1,1) deΓ. Pour tout λ∈R, on notePλ le plan vectoriel engendré par e1et e3+λe2, et P^λ le plan affineA+Pλ.

1. Donner un vecteuruλ tel que(e1, uλ)soit une BON dePλ.

2. Pour tout pointM dePλ, de coordonnées(x, t)dans le repère(A, e1, uλ)dePλ, déterminer les coordonnées deM dans le repère canoniqueR⁰deR³.

3. SoitCλ=Pλ∩Γ. Écrire l’équation deCλ sous la formeq(x, t) +αx+βt=k, o`uqest une forme quadratique etα, β, kdes réels que l’on déterminera. Désormais, on supposeλ6= 1.

4. Pour quelles valeurs deλ, Cλest-elle une parabole, resp. une hyperbole, resp. une ellipse ? LorsqueCλ est une parabole, écrire son équation sous la forme x² = 2pt, pour un réel p qu’on déterminera.

5. LorsqueC^λest une hyperbole ou une ellipse, ´ecrire son ´equation sous la formeT² a² ±x²

b² = 1, où T = t+µ, pour des réels µ, a, b que l’on déterminera (avec a, b > 0). Déterminer l’intersection deCλ avec les droites d’équationT = 0 oux= 0.

6. SoitP le plan vectoriel engendr´e pare1 et e2. D´eterminer l’intersection deΓ avec le plan affineA+P.

Exercice 14 (CC 2010-11). Soit R² le plan affine euclidien, muni du repère orthonormé canonique (O, e1, e2), où O désigne le point (0,0). Soit e un réel ≥ 0; on considère l’ensemble Ce={(x, y)∈R²|y²+ (1−e)x²−2x= 0}.

1. Quelle est la nature deC^elorsquee= 0?

2. Désormais, on suppose e >0. Donner la forme normale de l’équation de Ce et déterminer en fonction de e la nature de la conique Ce. Lorsque Ce est une ellipse, déterminer les coordonnées de son centre de symétrieIe et de ses deux foyersFeetF_e^′.

3. Poure= 1

2,1,2, faire un dessin repr´esentantCe.

Exercice 15(Exam 28/6/2011). SoitE l’espace affine euclidienR², muni du repère orthonormé canonique R⁰ = (O,B), où O désigne le point(0,0) et Bla base canonique(e1, e2). On fixe un réelh >0. Pour tout réele >0 soit alorsCe={(x, y)∈R²|x²+y²=e²(x+h)²}.

1. Montrer que l’intersection de Cêavec la droite d’équationx= 0 est formée de deux points D⁺_e et D⁻_e que l’on déterminera.

2. Écrire l’équation deCêsous la formeq(x, y) +αx+βy=k, o`uqest une forme quadratique etα, β, kdes réels que l’on déterminera, puis déterminer les valeurs deepour lesquellesCê est une parabole, resp. une ellipse, resp. une hyperbole.

3. On suppose queCeest une parabole. Montrer que l’intersection deCeavec la droite d’´equa- tiony= 0est un pointP que l’on d´eterminera.

(6)

4. On suppose queCeest une ellipse. ´Ecrire l’´equation deCesous la forme (x−µ)²

a² +y² b² = 1

pour des réelsµ, a, b(aveca, b >0) que l’on déterminera. SoitCe le point(µ,0). Calculer les abscissesx⁻_e < x⁺_e des points d’intersectionS_e⁻= (x⁻_e,0)etS_e⁺= (x⁺_e,0)deCeavec la droitey= 0, puis montrer queCecoupe la droite∆e=Ce+Re2 en deux pointsT_e⁻ etT_e⁺ que l’on déterminera.

5. On suppose queCêest une hyperbole. Écrire l’équation deCêsous la forme (x−µ)²

a² −y² b² = 1

pour des réelsµ, a, b(aveca, b >0) que l’on déterminera. SoitCe le point(µ,0). Calculer les abscissesx⁻_e < x⁺_e des points d’intersectionS_e⁻= (x⁻_e,0)etS_e⁺= (x⁺_e,0)deCeavec la droite y = 0. D’autre part, soit D⁺e (resp.D⁻e) la droite affine passant par le point Ce et de vecteur directeurae1+be2(resp.ae1−be2), et soitA⁺_e = (0, y_e⁺)(resp.A⁻_e = (0, y⁻_e)) le point d’intersection deD⁺e (resp.D⁻e) avec la droitex= 0. Déterminery_e⁺et y_e⁻. 6. On prend maintenanth= 3 et l’on fixe e0 tel queCê⁰ soit une parabole. Représenter sur

un mˆeme dessin les coniquesC^epoure=e0/2, e0,√

2e0, en faisant figurer les pointsD^±_e de la question 1), le pointP de la question 3), les pointsS_e^±,CeetT_e^± des questions 4) et 5), ainsi que les pointsA^±_e et les droitesDe^± de la question 5). (LorsqueCê est une hyperbole, on pourra ne représenter que la partie deCê et deDe^± contenue dans le demi-planx≥µ.

D’autre part, on rappelle que√

2≃1,4et√

3≃1,7.)

Exercice 16 (Exam 8/6/2012). Soit S le R-espace vectoriel de toutes les suites r´eelles x = (xn)n∈N, soitc= (cn)n∈N une suite fix´ee, et soit

E=E^c={x∈ S | ∀n∈N, xn+2−xn+1−2xn=cn}. 1. Montrer queEc est un sous-espace affine deS, et d´eterminer sa directionE.

2. Déterminerdim(E)et une baseBdeE formée de suites géométriques.

3. Soita∈R^×tel quea²−a−26= 0. On prend pourcla suite géométrique(aⁿ)n∈N. Déterminer µ∈Rtel que la suiteµc appartienne à E^c (i.e. tel qu’on aitµaⁿ⁺²−µaⁿ⁺¹−2µaⁿ=aⁿ pour toutn).

4. On prend a = 1, i.e. c est la suite telle que cn = 1 pour tout n. Soit alors µ comme dans la question précédente, et soitx= (xn)n∈N l’unique élément deEc tel quex0 = 3/2 et x1 = 1/2. Exprimer w= x−µc comme combinaison linéaire des éléments de B, puis donner une formule pour la valeur dexn pour toutn≥0.

Exercice 17 (Ensembles convexes). SoitE un espace affine. PourP 6=Q dansE, on rappelle que l’ensemble des points(1−t)P+tQ, avect∈[0,1], est lesegment[P, Q], i.e. l’ensemble des points de la droite affine(P Q)qui sont entreP etQ. (SiP =Q, alors[P, Q] ={P}). Une partie C deE est dite convexe si elle vérifie la propriété suivante : pour tous pointsP, Q ∈ C et tout réelt∈[0,1], le point(1−t)P+tQappartient àC. Ceci équivaut à dire que, pour toutP, Q∈ C, le segment[P, Q]est contenu dansC.

On prendE =R². Montrer que C ={(x, y)∈R² | −1 ≤x≤1, −1 ≤y ≤1} est convexe et faire une figure repr´esentantC.

Exercice 18 (∗). (Enveloppes convexes) SoitE un espace affine.

(7)

1. Soient A1, . . . , An ∈ E, t1, . . . , tn et s1, . . . , sn des r´eels tels que

n

X

i=1

ti = 1 =

n

X

j=1

sj, on consid`ere les pointsG=t1A1+· · ·+tnAn etG^′=s1A1+· · ·+snAn; enfin, soientλ∈R et I = (1−λ)G+λG^′. Montrer que I est le barycentre des points A1, . . . , An affect´es respectivement des poids(1−λ)t1+λs1, . . .(1−λ)tn+λsn.

2. Pour toutA1, . . . , An∈ E, on d´efinit

Conv(A1, . . . , An) ={t1A1+· · ·+tnAn |ti ∈R+, t1+· · ·+tn = 1}.

En utilisant la question pr´ec´edente, montrer que C = Conv(A1, . . . , An) est une partie convexe deE, contenantA1, . . . , An.

3. Montrer que C est la plus petite partie convexe de E contenant A1, . . . , An, c.-à.-d., que toute partie convexeC^′ de E contenant A1, . . . , An contient C. Indication : procéder par récurrence surnet utiliser la question 1.

4. SoitE=R². Consid´erons les pointsA= (−1,−1),B= (1,−1),C= (1,1)et D= (−1,1).

Montrer queC= Conv(A, B, C, D)est le carr´eABCD et son int´erieur.