TD6

Feuille d’exercices du Chap. 6

Les exercices sans(∗)sont des applications directes du cours. Les exercices marqu´es(∗)sont un peu plus difficiles, mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les ´evaluations.

Exercice 1 (question de cours). Montrer que toute forme quadratique d´efinie positive surRⁿ est non d´eg´en´er´ee. La r´eciproque est-elle vraie ?

Exercice 2 (tr`es classique). Soit n ∈ N^∗ et soient x1, . . . , xn ∈ R. En utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz dans Rⁿ muni du produit scalaire standard, montrer que (x1+· · ·+xn)² ≤ n(x²1+· · ·+x²_n). Dans quel cas a-t-on l’´egalit´e ?

Exercice 3(CC 2010–11). En utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz dansR⁵ muni du produit scalaire standard, montrer que pour tousx1, . . . , x5∈R, on a

|x1+ 2x2+ 3x√3+ 4x4+ 5x5|

55 ≤

q

x²1+· · ·+x²5. Dans quel cas a-t-on l’´egalit´e ?

Exercice 4 (CC 2009–10). 1) Soient x, y, z ∈R tels quex²+y²+z² ≤ 1. Montrer que(x+ 2y+ 5z)²≤30; dans quel cas a-t-on(x+ 2y+ 5z)²= 30?

2) Soientx, y, z∈Rtels quex²+ 2y²+ 5z²≤1. Montrer que(x+y+z)²≤17/10; dans quel cas a-t-on(x+y+z)²= 17/10?

Exercice 5 (∗). Soient a < b dans R et soit E = C([a, b],R) l’espace des fonctions continues f : [a, b]→R. Pour toutf ∈E, montrer que

Z b a

|f(t)|dt²

≤(b−a) Z b

a

f(t)²dt .

Pour quelles fonctions a-t-on l’´egalit´e ? Indication : remarquer que|f(t)|²=f(t)².

Exercice 6 (CC 2011-12). SoitV leR-espace vectoriel des fonctions continuesf : [0,1]→R, muni du produit scalaire d´efini par

(f |g) = Z ¹

0

f(t)g(t)dt.

On notekfk=p

(f |f) la norme euclidienne associ´ee. Soite0 ∈V la fonction constante1 et, pour toutp∈N^×, soitep∈V la fonctiont7→√

2 cos(2πpt). On admet que :

(∗) ∀p, q∈N, (ep|eq) =

(1 sip=q, 0 sinon.

Soitf ∈V. Pourq, n∈N, on posecq(f) = (eq |f)puisSn(f) =

n

X

q=0

cq(f)eqetRn(f) =f−Sn(f).

1) Pour toutn∈N, montrer que(ep|Rn(f)) = 0pour toutp= 0,1, . . . , n.

2) En utilisant le th´eor`eme de Pythagore, montrer que pour toutn∈N, on a

n

X

p=0

cp(f)²≤ kfk²= Z ¹

0

f²(t)dt.

3) (bonus) En utilisant l’´egalit´ecos(θ) cos(ϕ) = 1

2 cos(θ+ϕ) + cos(θ−ϕ)

, d´emontrer la formule (∗).

Exercice 7(CC 2010–11). SoitA=1 3





−7 4 −4

4 5 −2

−4 −2 5



∈M3(R).

1. Citer un th´eor`eme du cours assurant queAest diagonalisable.

2. D´eterminer les valeurs propres deA(pour calculerPA(X), on pourra faire des op´erations sur les colonnes pour faire apparaˆıtre au moins un z´ero), puis une base orthonorm´eeC de R³form´ee de vecteurs propres deA.

3. En d´eduire la signature de la forme quadratiqueQ(x, y, z) = −7x²+ 8xy−8xz+ 5y²− 4yz+ 5z².

Exercice 8. Diagonaliser dans une base orthonorm´ee deR³ les matrices suivantes : A=





2 −4 2

−4 2 2

2 2 5



, B =





1 0 −1

0 1 √

2

−1 √ 2 −1



.

Exercice 9 (tr`es classique). Soit A ∈ Mn(R) (n ≥ 2) la matrice sym´etrique dont tous les

coefficients sont1, sauf les coefficients diagonaux qui sont nuls :A=













0 1 · · · 1 1 . .. ... ...

... . .. ... 1 1 · · · 1 0











 .

1. D´eterminer les valeurs propres de A (cf. Feuille n^◦2), puis en d´eduire la signature et le rang de la forme quadratique surRⁿ : q(x1, . . . , xn) =X

i<j

2xixj.

2. Plus g´en´eralement, d´eterminer en fonction dea∈Rla signature de la forme quadratique surRⁿ :

Qa(x1, . . . , xn) =a(

n

X

i=1

x²_i) +X

i<j

2xixj.

Exercice 10(Exam 8/6/2012). Soitn∈N^× et soitB= (e1, . . . , e2n)la base canonique deR²ⁿ. On note V1 (resp. V2) le sous-espace vectoriel engendr´e par la famille C¹ = (e1, . . . , en) (resp.

C²= (en+1, . . . , e2n)), de sorte que R²ⁿ =V1⊕V2.

1. SoientS1, S2∈Mn(R)deux matrices sym´etriques r´eelles etSla matrice diagonale par blocs S1 0

0 S2

∈ M2n(R). Pouri = 1,2, soit φi la forme bilin´eaire sym´etrique sur Vi telle queMatCi(φi) =Si, et soitφla forme bilin´eaire sym´etrique surR²ⁿtelle queMatB(φ) =S.

On note(pi, qi)la signature deφi pouri= 1,2; exprimer la signature deφen fonction de p1, p2, q1, q2. (Indication : pouri= 1,2, consid´erer une baseDi deVi telle queMatDi(φi) soit diagonale.)

2. SoitJ =Jn ∈Mn(R)la matrice dont tous les coefficients valent1. D´eterminer les valeurs propres et espaces propres deJ et montrer queJ est diagonalisable.

3. On fixeλ, µ∈Rtels queλ <0< µ. Soitqla forme quadratique surR²ⁿ d´efinie par : q(x1, . . . , x2n) =

n

X

i=1

(1 +λ)x²_i + X

1≤i<j≤n

2xixj+

2n

X

i=n+1

(1 +µ)x²_i + X

n+1≤i<j≤2n

2xixj

et soitφsa forme polaire. ´Ecrire la matriceA= MatB(φ).

4. En utilisant les questions pr´ec´edentes, d´eterminer en fonction des valeurs de λ et µ la signature deq. (On indiquera en particulier dans quel casqest d´eg´en´er´ee.)

Exercice 11 (Exam 29/6/2012). 1. Soientα, β∈Ret soitA∈Mp(R)une matrice diagona- lisable. Montrer queαA+βIpest diagonalisable et exprimer ses valeurs propres en fonction des valeurs propresλ1, . . . , λp deA.

2. Soientn∈N^×,B= (e1, . . . , e2n)la base canonique deR²ⁿ,qla forme quadratique surR²ⁿ d´efinie par :

q(x1, . . . , x2n) = 2(x1xn+1+x2xn+2+· · ·+xnx2n) =

n

X

i=1

2xixn+i,

et soitφla forme polaire deq. ´Ecrire la matriceA= MatB(φ).

3. On suppose dans cette question que n= 1. ´Ecrire dans ce cas la matriceA et d´eterminer ses valeurs propres et une base orthonorm´ee(f, g)de vecteurs propres.

4. On revient au cas n arbitraire. Soit u l’endomorphisme de R²ⁿ associ´e `a A et, pour i = 1, . . . , n, soitPi le plan deR²ⁿ engendr´e pareieten+i. Montrer quePi est stable paruet, en utilisant la question pr´ec´edente, construire une base orthonorm´ee(fi, gi)dePiform´ee de vecteurs propres deA. Puis ´ecrire la matrice deudans la baseC= (f1, . . . , fn, g1, . . . , gn) deR²ⁿet d´eterminer ainsi les valeurs propresλ1, . . . , λ2ndeA(compt´ees avec multiplicit´e).

5. Soient α, β∈R, avecα >0, soit Qla forme quadratique surR²ⁿ d´efinie par : Q(x1, . . . , x2n) =

2n

X

i=1

β x²_i+α q(x1, . . . , x2n) =

2n

X

i=1

β x²_i+2α(x1xn+1+x2xn+2+· · ·+xnx2n),

et soitψsa forme polaire. ´Ecrire la matriceB= MatB(ψ).

6. En utilisant la question 1), d´eterminer en fonction des valeurs de β la signature de Q(on rappelle queα >0). On indiquera en particulier dans quels casQest d´eg´en´er´ee.

Exercice 12 (Partiel 9/4/10). On munitR²du produit scalaire usuel :(x|y) =x1y1+x2y2si x=

x1

x2

ety=

y1

y2

, et on noteB⁰= (e1, e2)la base canonique.

1. SoientDla droite deR²d’´equationx1+ 2x2= 0etsDla sym´etrie orthogonale par rapport

`aD. Donner une base orthonorm´eeB= (f1, f2)deR² telle quef1∈D et ´ecrire la matrice B = MatB(sD). Puis, en utilisant la matrice de passage P = MatB0(B), d´eterminer la matriceAdesDdans la base canonique.

2. Soit n un vecteur non nul orthogonal `a D. Citer une formule du cours exprimant, pour x∈R<sup>2</sup> arbitraire,sD(x)en fonction dexet den, puis en appliquant cette formule `ae1 et e2, calculer directementA= MatB0(sD).

3. SoitA= 1 2





 q

2 +√ 2 −

q 2−√

2 q

2−√ 2

q 2 +√

2





. Montrer queA∈SO(2)et calculerA². En d´eduire les caract´eristiques g´eom´etriques deA.

4. Soient (p, q) ∈ Z²− {(0,0)} et soit B = 1 p²+q²

p²−q² 2pq 2pq q²−p²

∈ M2(R). Montrer queB∈O(2) et d´eterminer ses caract´eristiques g´eom´etriques.

Exercice 13 (CC 2010–11). On munit E = R³ du produit scalaire standard ( | ) et de la norme euclidienne associ´ee kxk = p

(x|x). Soit B⁰ = (e1, e2, e3) la base canonique et soit E^∗= Hom_R(E,R)l’espace dual. Pour toutx∈E, soitφx∈E^∗ l’applicationw7→(x|w).

1. Montrer que l’applicationθ:E→E^∗,x7→φxest lin´eaire et bijective.

2. Pour toutu, v∈E, montrer qu’il existe un unique vecteurf(u, v)∈Etel qued´etB0(u, v, w)

= (f(u, v)|w)pour toutw∈E. On notef(u, v) =u∧v et on l’appelle le produit vectoriel deuet v.

3. ´Ecrivantu=



 u1

u2

u3



,v=



 v1

v2

v3



et prenant w=e1, puisw=e2 et w=e3, d´eterminer les coordonn´ees(f1, f2, f3)deu∧v dans la baseB⁰.

4. Montrer que l’applicationE×E →E,(u, v)7→u∧v est bilin´eaire, et qu’elle est altern´ee (i.e.u∧u= 0pour toutu∈E).

5. Soientu, v, w∈E. Pour toute base orthonorm´ee directeBdeE, montrer qued´etB(u, v, w) = d´etB0(u, v, w).

6. Soientu, v∈E deux vecteurs unitaires orthogonaux et soitp∈E l’unique vecteur tel que B= (u, v, p) soit une base orthonorm´ee directe deE. En utilisant la question pr´ec´edente montrer que, pour toutw∈E, on a(u∧v|w) = (p|w). Que peut-on en conclure ? 7. Soit A =





u1 v1 t1

u2 v2 t2

u3 v3 t3



 ∈ O(3) et soient C1, C2, C3 les colonnes de A. D´eduire de la question pr´ec´edente queA∈SO(3)⇔C3=C1∧C2, et donc aussi queA∈O⁻(3)⇔C3=

−C1∧C2. (Remarque : On a doncC3= d´et(A)C1∧C2.)

Si par exemplet36= 0, en d´eduire, en utilisant la formule explicite pourC1∧C2 obtenue en 3, queA∈SO(3)⇔u1v2−u2v1=t3 (et doncA∈O⁻(3)⇔u1v2−u2v1=−t3).

8. Soient x, y ∈ E deux vecteurs lin´eairement ind´ependants, et soient r =kxk et r^′ =kyk. SoitP le plan engendr´e par xet y, soit(u, v)une base orthonorm´ee de P, o`uu= 1

rxet soitθl’unique ´el´ement deR/2πZtel quey=r^′(cos(θ)u+ sin(θ)v). Montrer quekx∧yk= rr^′|sin(θ)|.Indication : Utiliser la question 4 pour exprimerx∧y en fonction deu∧vpuis, notant B la base orthonorm´ee directe (u, v, u∧v), calculer d´etB(x, y, x∧y) et utiliser la question 5.

9. Montrer qu’une base orthonorm´ee C= (u, v, f) est directe si et seulement si la baseD= (f, u, v)est directe.

10. Soient f ∈ E un vecteur unitaire et P le plan orthogonal `a f. Soient a, b ∈ R tels que a²+b² = 1 et soit θ l’unique ´el´ement de R/2πZ tel quecosθ=a et sinθ =b. SoitR la rotation d’axeRf orient´e parf et d’angleθ. Montrer que :

(∗) ∀y∈P, R(y) =a y+b f∧y,

(siy= 0c’est clair, et siy6= 0´ecrirey=r uavecuunitaire etr=kyk), puis que : (∗∗) ∀x∈E, R(x) = (x|f)f +a π(x) +b f∧π(x) = (x|f)f+a π(x) +b f∧x, o`uπ(x) =x−(x|f)f est la projection orthogonale dexsurP. Enfin, sif =



 p q t



, ´ecrire

MatB0(R)sous la formeaI3+ (1−a)S+bA, pour deux matricesS, A `a d´eterminer.

Exercice 14. 1. Montrer que les matrices suivantes sont orthogonales : A= 1

3





1 −2 −2

−2 1 −2

−2 −2 1



, B=1 3





1 −2 2

−2 1 2

−2 −2 −1



,

C=1 3





1 2 2

−2 −1 2

−2 2 −1



, D =1 3





−1 2 2 2 −1 2

2 2 −1



.

2. Soit B⁰ = (e1, e2, e3) la base canonique de R³. Pour chacune des matrices de 1., d´ecrire g´eom´etriquement l’isom´etrie deR³ correspondante.

Exercice 15. Soient(|)le produit scalaire usuel surR³,B⁰= (e1, e2, e3)la base canonique de R³,P le plan d’´equation x+y+z= 0 etσla sym´etrie orthogonale par rapport `aP.

Citer une formule du cours exprimantσ(x)en fonction de x et de n, o`u n est un vecteur 6= 0 orthogonal `aP, puis en appliquant cette formule `ae1, e2, e3, calculerMatB0(σ).

Exercice 16. Appliquer la m´ethode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt dans les cas sui- vants :

1. v1=



 1 2

−2



,v2=



 0

−1 2



,v3=





−1 3 1



dansR³muni du produit scalaire usuel.

2. P= 1,Q=X,R=X² dansR[X]muni du produit scalairehf, gi= Z ¹

0

f(t)g(t)dt.

Exercice 17(Exam 29/6/2012).On admet que, pour toutB∈Mn(R), on aexp(^tB) =^texp(B).

On noteAⁿ(R)le sous-espace vectoriel deMn(R)form´e des matricesAqui sont antisym´etriques (i.e.^tA=−A).

1. SoitA∈ An(R). Montrer, en le justifiant soigneusement, queexp(A)∈O(n).

2. SoitA∈ An(R). On admet que la fonctionφ:R→R,t7→d´et(exp(tA))est continue. En utilisant ceci, montrer queexp(A)∈SO(n).

3. Soit A =





0 −1 0

1 0 0

0 0 0



 ∈ M3(C) et soit u l’endomorphisme de C³ d´efini par A. Soit (e1, e2, e3)la base canonique deC³. D´eterminer les valeurs propres deA et une baseC de C³form´ee de vecteurs propres deA, puis ´ecrire les matricesA^′= MatC(u)etP = MatB(C).

4. Calculer P⁻¹ puis, en utilisant que P⁻¹exp(tA)P = exp(tA^′) pour tout t ∈ R, calculer exp(tA)et montrer que c’est la matrice d’une rotation que l’on pr´ecisera.