MIPI23-ed-slr

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UPMC 1M002 Suites, intégrales, algèbre linéaire 2013-2014

MIPI 23 ´ Equations diff´ erentielles et suites r´ ecurrentes lin´ eaires

Les exercices sans (∗) sont des applications directes du cours. Les exercices marqués (∗) sont un peu plus difficiles, mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les évaluations. Enfin, quelques exercices marqués (∗∗) peuvent être considérés comme des«compléments de cours». Les évaluations ne comporteront pas d’exercices de ce type.

Exercice 1. D´eterminer les primitives surRdes fonctions suivantes :

1. e^2x(x²+x+ 1), 2. e^−3xcos(x), 3. e^2xcos(4x), 4. e^2xsin(x) Exercice 2. En utilisant le procédé de primitivation par parties, déterminer une primitive surR^∗₊ de :

1. ln(x) = 1×ln(x), 2. xln(x).

3. (∗) Plus généralement, pour tout polynôme P ∈ R[x] non nul, montrer que h(x) = P(x) ln(x) admet une primitive surR^∗₊ de la formeQ(x) ln(x)−R(x), oùQ, Rsont des polynômes de degré deg(P) + 1 etQ(0) = 0.

Exercice 3. 1. Déterminer les solutions surRde l’équation différentiellex⁰(t) = 2x(t) + cos(4t).

2. D´eterminer la solutionxtelle quex(0) = 0.

Exercice 4. Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer toutes les solutions surR, puis la solutionxtelle quex(0) = 0 =x⁰(0).

1. x⁰⁰(t)−2x⁰(t) +x(t) =e^2t 2. x⁰⁰(t)−2x⁰(t) +x(t) =e^t 3. x⁰⁰(t)−3x⁰(t) + 2x(t) =e^t 4. x⁰⁰(t)−2x⁰(t) +x(t) = cos(t) 5. x⁰⁰(t)−4x⁰(t) + 8x(t) = cos(t) 6. x⁰⁰(t)−3x⁰(t) + 2x(t) = 2t²+ 1.

(Pour 6. on pourra chercher une solution particulière qui soit un polynôme de degré 2 :x0(t) =at²+bt+c.) Exercice 5. Soit E le R-espace vectoriel des suites réelles qui vérifient la relation de récurrence linéaire : un+2−un+1−6un = 0.

1. Déterminer une base (u, v) deE formée de suites géométriques.

2. Soitw= (wn)n∈N l’unique élément de E tel quew0 = 2 etw1 = 1. Exprimerw dans la base (u, v), puis déterminerwn pour toutn∈N.

Exercice 6. On fixeθ ∈ R. Soit E (resp. EC) l’espace vectoriel sur R (resp. surC) des suites r´eelles (resp.

complexes) qui vérifient la relation de récurrence linéaire : un+2−2 cos(θ)un+1+un = 0. Soitw = (wn)n∈N

l’unique ´el´ement deE tel quew0= 1 etw1= cos(θ).

1. On suppose queθ6∈Zπ. Déterminer une base (u, v) deECformée de suites géométriques, puis en déduire une base (R, I) deE. Exprimer alorswdans la base (R, I), puis déterminerwn pour toutn∈N.

2. On suppose que θ ∈ Zπ. D´eterminer alors une base (g, h) de E, puis exprimer w dans cette base et d´eterminerwn pour toutn∈N.

Exercice 7. SoitP =X³−7X−6∈R[X].

1. D´eterminer une racine«´evidente»a∈RdeP.

2. Faire la division euclidienne deP parX−aet montrer queP poss`ede trois racines r´eelles distinctesa, b, c.

Soit E le R-espace vectoriel des suites réelles (un)n∈N vérifiant la relation de récurrence linéaire d’ordre 3 : un+3−7un+1−6un= 0.

3. (∗∗) Montrer queE est de dimension 3 et possède une base (u, v, w) formée de suites géométriques.

4. (∗) Soitx= (xn)n∈Nl’unique élément deE tel quex0= 2,x1=−7 etx2=−3. Exprimerxdans la base (u, v, w) puis déterminerxn pour toutn.

Exercice 8. Soient V unK-espace vectoriel,T un endomorphisme de V et a, b∈K. On note id l’application identique deV, d´efinie par id(v) =vpour toutv∈V. On notehl’endomorphisme (T−aid)◦(T−bid) deV.

1. Calculerh(v), pour toutv∈V.

2. En déduire que h=T²−sT+pid, où l’on a poséT²=T◦T,s=a+bet p=ab.

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2013-2014 1M002 Suites, intégrales, algèbre linéaire UPMC

Exercice 9. SoitK=RouCet soitS leK-espace vectoriel de toutes les suites (un)n∈Nd’éléments deK. On rappelle que l’opérateur de décalage T : S → S, qui envoie toute suite u= (u0, u1, u2, . . .) sur la suite T(u) définie par T(u)n = un+1, i.e. T(u) = (u1, u2, u3, . . .) est un endomorphisme de S. On note id l’application identique de S. Pour tout α ∈ K, on note g^α la suite géométrique de raison α et de terme initial 1, i.e.

g^α= (αⁿ)n∈N, eth^α la suite (nαⁿ⁻¹)n∈N (ses termes initiaux sont (0,1,2α, . . .)). On fixeγ, k∈K.

1. Pour tout α∈K, montrer que l’espace propre Vλ={u∈ S |T(u) =αu} = Ker(T −αid) est engendr´e par la suiteg^α.

2. D´eterminer la suite (T−αid)(h^α).

Soitα∈Ket soitDl’ensemble des suitesu= (un)n∈Nv´erifiant (T−αid)(u) =kg^γ, c.-`a.-d.un+1−αun=kγⁿ pour toutn∈N.

3. (∗) On suppose queγ6=α. Montrer que les ´el´ements deDsont les suites k

γ−αg^γ+cg^α, pour c∈K.

4. (∗) Siγ=α, montrer que les ´el´ements deDsont les suites k h^α+cg^α, avecc∈K.

Soientα, β∈K. On considère le polynômeP = (X−α)(X−β) =X²−sX+p, o`us=α+β et p=αβ. Soit E l’ensemble des suitesu= (un)n∈Nvérifiantun+2−sun+1+pun=kγⁿ, pour toutn∈N,

5. (∗) Pour toutu∈ S, montrer que le terme d’indicende (T−βid)◦(T−αid)(u) estun+2−sun+1+pun. 6. (∗) SiP(γ)6= 0, montrer que la suiteCg^γ, o`uC∈K, appartient `aE si et seulement siC=k/P(γ).

7. (∗∗) Si P(γ) = 0 6= P⁰(γ), montrer que la suite Ch^γ, o`u C ∈ K, appartient `a E si et seulement si C=k/P⁰(γ).

8. (∗∗) Si P(γ) = 0 = P⁰(γ), on note `^γ la suite (n(n−1)γⁿ⁻²)n∈N; ses termes initiaux sont donc : (0,0,2,6γ, . . .). Montrer que la suiteC`^γ, o`uC∈K, appartient `a E si et seulement siC=k/2.

9. (∗∗) Montrer queE est un sous-espace affine deS et pr´eciser sa direction.

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