Quelques exercices sur les int´ egrales impropres

Quelques exercices sur les int´ egrales impropres

Exercice 1. Etudier les int´´ egrales impropres suivantes o`u les param`etres α et β sont strictement positifs :

(1)

Z +∞

1

1

t^α[ln(t)]^βdt , (2)

Z +∞

0

(1 +t¹⁷)

√t e^−tdt

(3)

Z 1

0

ln(t)dt , (4)

Z +∞

2

1 t^α+ sin(t)dt

(5)

Z +∞

0

sin(t)

t^α dt , (6)

Z +∞

0

sin(t^α)dt

(7)

Z +∞

0

sin(t)

t^α+ sin(t)dt (α >1/3) , (8)

Z +∞

1

|sin(t)|

t dtdt

Exercice 2. Pour α, β >0, on consid`ere les int´egrales : Z +∞

0

t^α

1 +t^βsin²(t)dt .

Prouver que cette int´egrale est convergente si et seulement si β >2α+ 2.

(On pourra d´ecouper l’int´egrale en utilisant les intervalles [kπ

2,(k+ 1)π 2] puis utiliser (en les red´emontrant) les in´egalit´es :

2

πx≤sin(x)≤x pour tout x∈[0,π 2].) Quel enseignement tirer de cet exercice ?

1