 Ces limites restent valables quand x tend vers x

Limites de fonctions numériques

⊚ Limites des fonctions x xⁿ (nIN) ; x x et leurs inverses

0 0

lim 0

x x

x







lim0 ⁿ 0

x x

 

xlim x

  

lim 1 0

x^ x 

lim 1_n 0

x^x 

lim 1_n 0

x^x 

Si n est un entier pair Si n est un entier impair

0 0

lim 1_n

x

x^_ x  

0 0

lim 1_n

x

x^_ x  

lim ⁿ

x x

  

lim ⁿ

x x

  

0 0

lim 1_n

x

x^_ x  

0 0

lim 1_n

x

x^_ x  

lim ⁿ

x x

  

lim ⁿ

x x

  

⊚ Limites des fonctions polynômes ou fonctions rationnelles en ±∞

⊚ Limites des fonctions Trigonométriques

0

limsin 1

x

x x

 

0

limtan 1

x

x x

  ₂

0

1 cos 1

lim^x 2

x x



 

⊚ Limites des fonctions u x( )



Ces limites restent valables quand x tend vers x0 à droite ou à gauche ou en ±∞.

⊚ Limites et ordre

0

lim ( )

x x u x



0 l

+∞

La limite d’une fonction polynôme en

±∞ est celui de son monôme de plus haut degré.

La limite d’une fonction rationnelle en

±∞ est celui du quotient des plus hauts degrés du numérateur et dénominateur.

0

lim ( )

x x u x



l +∞+

Ces limites restent valables quand x tend vers x0 à droite ou à gauche ou en ±∞.

⊚ Opérations sur les limites

∎ Limite d’une somme de deux fonctions

0

lim ( )

x x f x

 l l l -∞ +∞ +∞

0

lim ( )

x x g x

 l’ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞

 

0

lim ( ) g(x)

x x f x

  l+ l’ -∞ +∞ -∞ +∞ F.I

∎ Limite de produit de deux fonctions

0

lim ( )

x x f x

 l l <0 l >0 ^{-∞ -∞ +∞ 0}

0

lim ( )

x x g x

 l’ ^-

∞

+

∞

-∞ +

∞

-∞ +∞ +∞ ±∞

 

0

lim ( ) g( )

x x f x x

  l×

l’

+

∞ -∞ ^-∞ +

∞

+∞ -∞ +∞ F.I

∎ Limite du quotient de deux fonctions

0

lim ( )

x x f x

 l l l <0 l >0 -∞ +∞ 0 ±∞

0

lim ( )

x x g x



l’≠0 ±∞

0^ 0^ 0^ 0^ 0^ 0^ 0^ 0^{ 0 ±∞}

0

lim ( ) g( )

x x

f x x



 

 

 

l l

0 +∞ -∞ -∞ +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ F.I F.I

Remarque :

Ces limites restent valables quand x tend vers x0 à droite ou à gauche ou en ±∞.

0 0

0

( ) ( ) ( )

lim ( ) lim ( )

lim ( )

x x x x

x x

u x f x v x

u x l f x l

v x l

 



  

  

 



₀

0

( ) ( )

lim ( ) lim ( ) 0 x x x x

u x f x l

f x l

u x 





 

 

 



0 0

( ) ( )

lim ( )

lim ( ) x x

x x

f x u x

u x  f x



 

  

 



0 0

( ) ( )

lim ( )

lim ( ) x x

x x

u x f x

u x  f x



 

  

 



CONTINUITE ⊚Continuité en un point

f continue en x0

0

lim ( ) ( )0

x x f x f x



 

⊚Continuité à droite d’un point - à gauche d’un point f continue à droite de x0

0

lim ( ) ( )0

x x f x f x

 

 

f continue à gauche de x0

0

lim ( ) ( )0

x x f x f x

 

 

f continue à droite de x0 età gauche de x0  f continue en x0

⊚Continuité sur un intervalle

f est continue sur un intervalle ouvert



^{a b;}



si elle est continue en tout point de



^{a b;}



f est continue sur un intervalle ouvert



a b;



si elle est continue en tout point de



^{a b;}



et f continue à droite de a et continue à gauche de b.

⊚Opérations sur les fonctions continues

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel.

∎ Les fonctions f +g ; f ×g ; kf sont continues sur I.

∎ Si la fonction g ne s’annule jamais sur I alors les fonctions ^f

g et ¹ g sont continues sur I .

Résultats

∎ Toute fonction polynôme est continue sur IR.

∎ Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

∎ La fonction x  x est continue surIR^.

∎ Les fonction xsinx et x cosx sont continue surIR. ∎ La fonction x tanx est continue sur son domaine de définition

2 /

IR  k k Z

   

   

 .

⊚ Continuité de la composée de deux fonctions

Si une fonction f est continue sur un intervalle I et g une fonction continue sur un intervalle J tel que : ( )f I J alors : f g est continue sur

l’intervalle I.

∎ Image d’un intervalle par une fonction continue

∙

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment

∙

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Cas particuliers

Soit f une fonction continue strictement monotone sur l’intervalle I Le tableau ci-dessous montre la nature de l’image par f de l’intervalle I

⊚ Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est une fonction continue sur l’intervalle



a b;



; alors pour tout réel de l’intervalle

 



^;



f a b il existe au moins un réel dans l’intervalle



a b;



tel que : f( )  .

∎Résultat

Si f est une fonction continue sur l’intervalle



a b;



; et ( )f a  f b( ) 0 il existe au moins un réel dans l’intervalle



a b;



solution de l’équation

( ) 0 f x 

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle



a b;



; et ( )f a  f b( ) 0

il existe un unique réel dans l’intervalle



^{a b;}



solution de l’équation ( ) 0

f x 

I f est continue et strictement Croissante

f est continue et strictement Décroissante



^{a b,}



^_^{f a   ,f b }_ ^{f b ,f a }

 

,a b



^{a b,}





^{a b,}



_{lim  ;  }

x a f x f b



 

 

 

^;lim

 

x a

f b f x



 

 



^a;



_{( ); lim ( )}

f a x f x



 

  x^lim f x^{( ); ( )}f a

 

 

 



^a;



_{lim ( ); lim ( )}

x a x

f x f x

  



 

 

  x^lim f x^{( ); lim}x a f x^{( )}

  

 

 

 



^{; a}



_lim

_{   }

_;

x f x f a



 

  ( ); lim ( )

x

f a f x



 

 



^{; a}



_{lim ( ); lim ( )}

x f x x a f x

  

 

 

  ^xlim f x^{( ); lim}x a_ f x^{( )}

 

 

 

 

IR _{lim ( ); lim ( )}

x f x x f x

 

 

  ^^{xlimf x( ); limxf x( )}

  ^{( ), lim ( )}

x b

f I f a _ f x



 

    ^{lim ( ), ( )}

x b

f I f x f a

 

 

 

 

^{lim ( ), lim ( )}

x a x b

f I _ f x _ f x

 

 

    ^{lim ( ), lim ( )}

x b x a

f I f x f x

 

 

 

 

La dichotomie

Soit f est une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle



a b;



; et ( )f a  f b( ) 0 ,est soit l’unique solution de l’équation ( )f x 0 dans



^{a b;}



Remarque Et de cette façon répétée autant de fois nécessaires jusqu’à obtenir l’encadrement demandé.

Si ( ) 0

2

a b

f a f   

  

 

Alors

2 a b

a  ^ et cet encadrement est d’amplitude 2 ba

on répète la même opération sur l’intervalle ;

2 a b a 

 

 

  pour obtenir un encadrement plus petit pour.

Si ( ) 0

2

a b

f b  f   

 

Alors 2 a b

 b

   et cet encadrement est d’amplitude 2 ba

on répète la même opération sur l’intervalle ;

2 a b

 b

 

 

 

pour obtenir un encadrement plus petit pour.