PCSI DS 7 : mai 2021

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DS7_mai_2021

PCSI DS 7 : mai 2021

I Système d’ouverture de porte de TGV

Le transport ferroviaire, concurrencé par la voiture sur les courtes et moyennes distances et par l’avion sur les longues distances, a dû trouver des solutions adaptées pour continuer à croître. Avec le développement du train à grande vitesse, les caractéristiques du marché du transport ferroviaire de voyageurs se sont rapprochées de celles du transport aérien.

Les performances du TGV (vitesse, confort, proximité des gares) ont conduit à un essor important du trafic de voyageurs. Les opérateurs ferroviaires ont dû par conséquent adapter le cahier des charges de leurs équipements pour faire face à cette demande accrue. Le matériel voyageur a ainsi subi une évolution et une modernisation sans précédent depuis plusieurs années.

Nous nous intéresserons dans le cadre de ce travail au système « porte » autorisant la communication entre l’intérieur et l’extérieur du train.

Etude du mouvement de la porte en mode nominal :

L’objectif de cette étude est de déterminer les performances de la solution technique implantée sur le TGV pour le mécanisme d’ouverture/fermeture de la porte d’accès et de valider leurs conformités avec les exigences précisées page suivante .

L’architecture et l’implantation de la partie opérative étudiée est précisée sur la figure 2. On y distingue le mécanisme d’ouverture/fermeture (objet de cette étude) dont la fonction est d’assurer l’accès au train en escamotant latéralement le panneau de porte.

Afin de satisfaire les contraintes d’encombrement, l’ouverture de la porte s’effectue selon l’enchaînement temporel de trois phases distinctes décrites à partir de la position ‘porte fermée’ pour laquelle la face extérieure de la porte est alignée avec la face extérieure de la caisse ; une phase de décalage puis une phase de louvoiement et enfin une phase d’escamotage. La phase primaire (décalage) puis la phase terminale (escamotage)

sont définies par les figures suivantes , en vue de dessus, du mécanisme :

F

i g . 1

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DS7_mai_2021 décalage

porte caisse

X0

Y0

Fig. 3a, phase de décalage

la phase de décalage (cf.

figure 3a) ; ce premier mouvement permet de décaler angulairement la porte (4) de la caisse du wagon.

escamotage

porte caisse

Fig. 3b, phase d’escamotage

la phase d’escamotage (cf.

figure 3b) ; la porte (4) coulisse le long de la caisse du wagon, dégageant ainsi complètement l’accès au train.

Exigences Critères Niveaux

…

Le système doit permettre l’ouverture et la fermeture automatique de la porte

…

Amplitude D du déplacement en phase d’escamotage

D = 850 mm

Temps total d’ouverture t

o

 5 s

Vitesse en bout de porte en phase de décalage

V < 1 m.s

^-1

Vitesse de déplacement de la porte en phase d’escamotage

V

 0,28

m.s

^-1

Vitesse d’accostage de la porte en fin de phase d’escamotage

V

 0,09

m.s

^-1

Espacement entre la porte et la caisse du train en phase d’escamotage

d > 40 mm

Fréquence de rotation Ω de la biellette (3) par rapport à la caisse

Ω < 140 tr.min

^-1

Q1. Décrire en quelques lignes la phase intermédiaire de louvoiement en précisant la nature du mouvement de la porte (4) par rapport à la caisse (0) ;

Q2. En le reprenant sur votre feuille, compléter le tableau ci-dessous recensant les degrés de liberté (ddl) (nombre et nature) de la porte (4) par rapport à la caisse du TGV (0) lors des différentes phases.

Nombre Nature (T, R)

Décalage Louvoiement Escamotage

• Le mécanisme d’ouverture de la porte est mis en mouvement grâce à l’action d’un unique moteur électrique (cf. figure 2 et figure 4). Le rotor de cet actionneur est solidaire de la roue (6) alors que son stator est fixé sur le bras (1). Par commodité, on adopte 𝜃̇₆₁(𝑡) = 𝜃̇_𝑚(𝑡).

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• La roue motrice (6) est par construction en liaison pivot d’axe (𝐵, 𝑍⃗₀) par rapport au bras (1).

La roue (6) entraîne en rotation la roue (5) provoquant alors le mouvement de la porte (4).

• Un système articulé dit de ‘stabilisation’ se composant des biellettes (2) et (3), complète le mécanisme. La biellette (2) est en liaison pivot d’axe (𝐵, 𝑍⃗₀) par rapport au bras (1).

Partie 1 – Etude analytique de la phase de décalage :

On réduit le problème à une résolution plane et on suppose que la roue (5) roule sans glisser sur la porte (4) et que de la même façon, la roue (5) roule sans glisser sur la roue (6).

D C

O

E A

B J

X0 Y0

X0

X0 Y0

Y0

X1 Y1

X3 Y3

) t 30(



) t 10(



X4 Y4

) t 40(

roue (6) 

roue (5)

3

0 1

porte (4) ep=40 mm I

0 2

face extérieure train

0

face extérieure porte

Fig. 4, schéma cinématique plan "phase décalage en cours"

Hypothèses :

• les liaisons pivot sont considérées comme parfaites ;

• le repère

𝑅

₀

(𝑂 ; 𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗

₀

, 𝑌 ⃗⃗

₀

, 𝑍⃗

₀

)

lié au support (0) est considéré comme galiléen, l’axe

(𝑂 ; 𝑍 ⃗⃗⃗⃗⃗

₀

)

étant vertical ascendant ;

• le repère

𝑅

₁

(𝑂 ; 𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗

₁

, 𝑌 ⃗⃗

₁

, 𝑍⃗

₀

)

est lié au bras (1). Ce dernier (qui supporte les deux roues (5 et 6) est animé d’un mouvement de rotation autour de l’axe

(𝑂 ; 𝑍 ⃗⃗⃗⃗⃗

₀

)

. On pose :

𝜃

₁₀

(𝑡) = (𝑋⃗

₀

, 𝑋⃗

₁

)

;

• le repère

𝑅

₂

(𝐶 ; 𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗

₂

, 𝑌 ⃗⃗

₂

, 𝑍⃗

₀

)

est lié à la biellette de réaction (2). On pose :

𝜃

₂₀

(𝑡) = (𝑋⃗

₀

, 𝑋⃗

₂

)

;

• le repère

𝑅

₃

(𝐷 ; 𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗

₃

, 𝑌 ⃗⃗

₃

, 𝑍⃗

₀

)

est lié à la biellette (3). Cette dernière est animée d’un mouvement de rotation autour de l’axe

(𝐷 ; 𝑍 ⃗⃗⃗⃗⃗

₀

)

. On pose

𝜃

₃₀

(𝑡) = (𝑋⃗

₀

, 𝑋⃗

₃

)

;

• le repère 𝑅₄(𝐸 ; 𝑋⃗⃗⃗⃗⃗₄, 𝑌⃗⃗₄, 𝑍⃗₀) est lié à la porte (4). On pose 𝜃₄₀(𝑡) = (𝑋⃗₀, 𝑋⃗₄) . Porte fermée : 𝜃₄₀(𝑡 = 0) = +90°.

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DS7_mai_2021 Caractéristiques géométriques :

Bâti (0) :

• 𝐷𝑂→

= 𝐿 ∙ 𝑋⃗₀+ 𝐻 ∙ 𝑌⃗⃗₀ avec 𝐿 = 190 𝑚𝑚, 𝐻 = 60 𝑚𝑚

• 𝑂𝐸→

= 𝐿₀∙ 𝑋⃗₀+ 𝐻₀∙ 𝑌⃗⃗₀ avec 𝐿₀= 544 𝑚𝑚, 𝐻₀= 65,8 𝑚𝑚

Bras support (1) :

• 𝑂𝐴→

= 𝐿₁∙ 𝑌⃗⃗₁

avec

𝐿₁= 149 𝑚𝑚

• 𝐴𝐵→

= −(𝑅₅+ 𝑅₆) ∙ 𝑋⃗₁

avec rayon 𝑅6= 37 𝑚𝑚;

Biellette (2) :

• 𝐶𝐵→

= 𝐿₂∙ 𝑋⃗₂ avec 𝐿₂= 62,6 𝑚𝑚

Biellette (3) :

• 𝐷𝐶→

= 𝐿₃∙ 𝑌⃗⃗₃ avec 𝐿3= 88 𝑚𝑚

Roue (5) :

• 𝐼𝐴→

= −𝑅₅∙ 𝑋⃗₄ avec

rayon (à vérifier) 𝑅₅= 29 𝑚𝑚

• avec 𝛺⃗⃗_5/1= 𝜃̇_5/1⋅ 𝑍⃗₀ et 𝛺⃗⃗_5/4= 𝜃̇5/4⋅ 𝑍⃗0

De plus on pose : 𝐸𝐼(𝑡)→

= 𝜆(𝑡) ∙ 𝑌⃗⃗₄.

Q3. Comment varie la longueur EI et l'angle 40 au cours de la phase de décalage ?

Q4. Par conséquent dans quel sens (horaire ou trigonométrique) doit tourner la roue (6) par rapport au bras (1) afin de provoquer le déplacement angulaire de la porte (4) par rapport à la caisse (0) ? Q5. Ecrire la fermeture géométrique relative à la chaîne de solides (4-5-1-0). En déduire deux équations en projection dans la base de R⁰ reliant les paramètres géométriques et angulaires.

Q6. Réaliser le graphe des liaisons du mécanisme décrit figure 4.

Q7. Exprimer vectoriellement, en des points judicieusement choisis, les torseurs cinématiques {𝑉_0/1},{𝑉_1/5}, {𝑉_5/4} et {𝑉_4/0}.

Q8. Ecrire la fermeture cinématique (composition des vitesses) relative à la chaîne de solides (4-5-1-0) au point I et projeter la relation vectorielle dans la base de R4 afin d’obtenir deux équations scalaires. Q9. Calculer 𝑉⃗⃗_𝐴∈5/4 par le calcul direct. Puis à partir de la condition de roulement sans glissement au point I, déterminer une deuxième expression de 𝑉⃗⃗_𝐴∈5/4 à l’aide du champ des vitesses. En déduire une relation scalaire liant 𝜆̇ , R5 et 𝜃̇₅₄.

Q10. Montrer que l’équation vectorielle obtenue par la fermeture cinématique correspond à l’équation vectorielle dérivée issue de la fermeture géométrique.

La courbe 1 présente les évolutions obtenues par simulation numérique de la position angulaire de la porte (4) 40 et de la position angulaire du bras support (1) 10 en fonction de l’angle de rotation du moteur m lors de la phase complète de décalage. On suppose qu’à l’instant initial t= 0s, on se trouve dans la configuration porte fermée pour laquelle

Courbe 1 : évolution (en °) de ₄₀= f(₆₁) et de

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DS7_mai_2021 on considère que m=61= 0. On note i40=40 (t=0) et i10 = 10 (t=0).

Q11. A l’aide des équations scalaires obtenues à l’aide de la fermeture géométrique faire l’application numérique pour la configuration t = 0s afin de déterminer le rayon R5 ainsi que la valeur de λ(t=0) notée λ0.

Q12. Déterminer la fréquence de rotation supposée constante du moteur (en tr.min^-1) si la durée de la phase de décalage est limitée à 0,3 s.

La courbe 2 présente l’évolution obtenue par simulation numérique du rapport ^𝑑𝜃_𝑑𝜃⁴⁰

𝑚 en fonction de l’angle de rotation du moteur m.

Q13. Déterminer alors, la plage de variation de la fréquence de rotation de la porte (4) par rapport à la caisse (0) en rad.s

^-1

.

Q14. Déterminer la norme maximale (en m.s

^-1

) de la vitesse en bout de porte (4) par rapport à la caisse (0) sachant que la porte a une longueur L

4

= 850 mm et une épaisseur e

4

= 40 mm.

Conclure vis-à-vis du tableau des exigences (page 2).

Partie 2 – Etude de la phase d’escamotage :

On se place à présent dans la phase d’escamotage pour laquelle on donne la modélisation cinématique.

Dans cette phase de vie, la position angulaire du bras support (1) par rapport à (0) reste celle atteinte par ce solide en fin de la phase de louvoiement.

Q15. Déterminer la valeur constante (en mm) de 𝑂𝐼 ⋅ 𝑌⃗⃗₀

lors de la phase

d’escamotage. Valider alors la conformité du critère, noté d, défini par le tableau des exigences (page 2).

Courbe 2 : évolution de ( _m)

m

40 f

d

d 



 =

Fig. 5, schéma cinématique plan

"phase d'escamotage en cours"

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Afin de s’assurer d’une ouverture complète de la porte, on propose une loi de commande en vitesse du moteur :

A l’instant initial, on suppose que 𝜃̇

_𝑚

(𝑡 = 0) = 0. Chronologiquement, la mise en rotation de l’actionneur s’effectue à accélération constante 𝜃̈

_𝑚

= 17.4 𝑟𝑎𝑑. 𝑠

⁻²

permettant d’atteindre, à l’instant t

1

, la vitesse d’escamotage de la porte définie par le tableau des exigences (page 2).

Puis, à l’instant t

2

= 2,8 s, une décélération constante permet d’atteindre à l’instant t

3

= 3,1 s, une vitesse plus faible dite d’accostage définie par le tableau des exigences.

A l’instant t

4

= 4 s, la porte arrive en butée à la vitesse d’accostage assurant une ouverture complète.

Afin de garantir le temps d’ouverture, on utilise les valeurs maximales admissibles des vitesses d’escamotage et d’accostage définies par le tableau des exigences. On suppose que les valeurs absolues des accélérations et des décélérations sont identiques et que toutes les liaisons sont parfaites.

Q16. A partir de la description temporelle ci-dessus, compléter, document réponse 1, le diagramme en construisant la loi de commande en vitesse 𝜃̇(𝑡) du moteur. Indiquer sur ce graphe les valeurs en rad.s

^-1

de 𝜃̇

_𝑚

(𝑡 = 𝑡

₁

) et 𝜃̇

_𝑚

(𝑡 = 𝑡

₃

) ainsi que la valeur de t

1

, t

2

, t

3

et t

4

en s.

Q17. A partir de la description temporelle ci-dessus, tracer sur un graphe positionné sous la loi de commande en vitesse, le graphe donnant l’évolution de l’accélération angulaire du moteur. Indiquer sur ce graphe les valeurs en rad.s

^-2

.

Etude de la commande de la porte en mode nominal :

L’objectif est d’analyser le comportement du système piloté en chaîne directe et de valider la conformité avec les exigences précisées page 2.

On se place uniquement dans la phase d’escamotage dont la durée moyenne est fixée à 4 s.

La translation de la porte (4) le long de la caisse du train est notée 𝑦

₄

(𝑡). On fait l’hypothèse qu’à l’instant initial, correspondant au début de la phase d’escamotage étudiée, la porte est immobile avec 𝑦

₄

(𝑡 = 0) = 0 et 𝜃

_𝑚

(𝑡 = 0) = 0. Grâce à une redéfinition du paramétrage et dans un souci de simplification, on considère qu’au cours de cette phase 𝜔

_𝑚

(𝑡) ≥ 0 et 𝑦

₄

(𝑡) ≥ 0. L’étude du moteur à courant continu commandé par l’induit assurant le déplacement de la porte donne les équations suivantes :

𝑢

_𝑚

(𝑡) = 𝐾

_𝑒

. 𝜔

_𝑚

(𝑡) + 𝑅. 𝑖

_𝑚

(𝑡) + 𝐿.

^𝑑

𝑑𝑡

𝑖

_𝑚

(𝑡) et 𝐾

_𝑐

. 𝑖

_𝑚

(𝑡) − 𝐶

_𝑟

(𝑡) = 𝐽.

^𝑑

𝑑𝑡

𝜔

_𝑚

(𝑡) + 𝑓. 𝜔

_𝑚

(𝑡)

Les données du constructeur permettent d’obtenir les valeurs suivantes :

𝐾_𝑒 = 0,86 𝑉. 𝑠. 𝑟𝑎𝑑⁻¹, 𝐾_𝑐 = 0,86 𝑁. 𝑚. 𝐴⁻¹,𝑅 = 0,5 𝛺, 𝐿 = 1 𝑚𝐻, 𝑢_𝑚 ∈ [−24𝑉 ; + 24𝑉]

Le calcul de l’inertie équivalente de l’ensemble mobile en phase d’escamotage ramenée sur

l’axe moteur mène au résultat suivant :

𝐽 = 0,23 𝑘𝑔. 𝑚²

et on estime que

𝑓 = 10⁻² 𝑁. 𝑚. 𝑠. 𝑟𝑎𝑑⁻¹.

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On note 𝛺

_𝑚

(𝑝) la transformée de Laplace de 𝜔

_𝑚

(𝑡), 𝑌

₄

(𝑝) la transformée de Laplace de 𝑦

₄

(𝑡), 𝛩

_𝑚

(𝑝) la transformée de Laplace de 𝜃

_𝑚

(𝑡), 𝑈

_𝑐

(𝑝) la transformée de Laplace de 𝑢

_𝑐

(𝑡) … La commande en chaîne directe de l’actionneur piloté en tension 𝑢

_𝑐

(𝑡) peut être modélisée par le schéma bloc donné sur la figure 6, soit :

+-

+- F1(p) F2(p)

C_r(p)

Im(p) Wm(p)

Qm(p)

Y4(p)

saturateur

Moteur

Y(p) Um(p)

Ordres

générateur de consigne

p . L R

1 +

Ke

Kc f J.p 1 A +

Uc(p)

Fig. 6, modèle de commande

La fonction de transfert de l’amplificateur de puissance est modélisée par un gain pur A supposé unitaire.

Q18. A partir des équations modélisant le comportement du moteur à courant continu page précédente compléter le schéma bloc du moteur représenté sur le document réponse 2.

Que vaut F

1

(p) ?

Q19. Montrer que la fonction de transfert du moteur non perturbé (C

r

=0) peut se mettre sous la forme

^{𝛺𝑚(𝑝)}

𝑈𝑚(𝑝)

=

^𝐾𝑚

(1+𝑇1.𝑝)(1+𝑇2.𝑝)

.

Déterminer l’expression du gain statique 𝐾

_𝑚

. Déterminer les valeurs numériques (en s) des deux constantes de temps T

1

et T

2

.

On soumet le système (cf. Figure 6) non perturbé à une entrée définie par 𝑢

_𝑐

(𝑡) = 𝑢

₀

. 𝑢(𝑡) avec 𝑢(𝑡) : signal du type échelon

unitaire, 𝑢

₀

: tension en V. La réponse temporelle 𝑦

₄

(𝑡) est tracée sur la figure 7 pour trois valeurs distinctes de 𝑢

₀

. Q20. En observant la figure 7, proposer une description conditionnelle (si 𝑦(𝑡)

…alors…) du bloc saturateur de la figure 6 en utilisant les variables 𝑦

₄

(𝑡) et 𝑦(𝑡).

Quelle contrainte mécanique est modélisée par ce bloc ?

Q21. En vous aidant de la figure 7, justifier le caractère non linéaire du saturateur

(a) u0=5 V (b)

Fig. 7, réponse temporelle

y₄(t)

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II Transformation de mouvement 1. Présentation :

Soit à analyser un système de transformation de mouvement réaliser par le système vis-écrou décrit par le schéma cinématique ci-dessous.

On donne : 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑 ∙ 𝑥⃗

L’objectif de cet exercice est de simplifier le graphe des liaisons du mécanisme en faisant apparaitre des liaisons équivalentes.

Q1. Faire le graphe des liaisons.

Q2. Ecrire les torseurs cinématiques compatibles avec chaque liaison. Pour écrire ces torseurs on utilisera la notation suivante :

𝑄{𝑉_𝑖/𝑗} =

𝑄{ Ω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_𝑖/𝑗 𝑉_{𝑄∈𝑖/𝑗}

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} = 𝑄 {

𝑝_𝑖𝑗 𝑢_𝑖𝑗 𝑞_𝑖𝑗 𝑣_𝑖𝑗 𝑟_𝑖𝑗 𝑤_𝑖𝑗}

(𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗)

Q3.

Déterminer la nature et l’orientation de liaison équivalente « Le¹ » au point O entre bati 1 et le chariot 3 en réduisant la chaîne suivante :

Afin d’obtenir la chaîne réduite suivante :

Q4. Tracer le graphe simplifié faisant apparaître la liaison équivalente Le

1

.

Q5. Ce nouveau graphe fait apparaître deux liaisons en parallèle (Le

1

et L

2

) simplifier le graphe en identifiant une liaison équivalente Le.

Pour écrire ces torseurs on utilisera la notation suivante :

𝑄{𝑉_𝐿𝑖} =

𝑄{Ω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_𝐿𝑖 𝑉_𝑄𝐿𝑖

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} = 𝑄{

𝑝_𝑖 𝑢_𝑖 𝑞_𝑖 𝑣_𝑖 𝑟_𝑖 𝑤_𝑖}

(𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) A

B

Le pas de l’hélice est noté : pas

1 2 3

Le1

L1/2 L2/3

1 3

9/10

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Document réponse 1 :

t4=4s

10/10

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Document réponse 2 :

F

1

(p) =