Problème : Le théorème de Beatty et le jeu de Wythoff
Dans ce problème on démontre le théorème de Beatty. On donne ensuite une application permet- tant de donner une stratégie gagnante au jeu de Wythoff.
Partie No1 : Le théorème de Beatty L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème qui suit.
Soientp, q deux réels strictement positifs.
petq sont irrationnels et vérifient 1p +1q = 1 si, et seulement si,
A={bnpc / n∈N?}etB ={bnqc / n∈N?} forment une partition de N?. Théorème 1:Théorème de Beatty
Dans cette partie, p etq désignent deux réels strictement positifs.
1. Dans cette question, on suppose donnés p, q∈ R+? de sorte que A et B forment une partition de N?.
(a) i. A l’aide d’un encadrement, montrer que lim
n→+∞
|A∩{1,···,n}|
n = 1p.
Indications : On prendra n > bpc et on considèrera max{k ∈ N? / bkpc ∈ A ∩ {1,· · · , n}}.
ii. En déduire que 1p +1q = 1.
(b) i. On suppose qu’il existe a1, b1, a2, b2∈N? tel que p= ab1
1 etq= ab2
2. En calculantbb1a2pc, aboutir à une absurdité.
ii. Conclure quep etq sont tous les deux irrationnels.
2. On suppose que petq sont irrationnels et vérifient 1p +1q = 1.
On souhaite montrer que AetB forment une partition de N?. (a) Montrer queA etB sont des parties non vides deN?. (b) Dans cette question, on montre que A etB sont disjoints.
Pour cela, on supposé donnéi∈A∩B. De ce fait, il existen, m∈N? tels quei=bnpc= bmqc.
i. Montrer que m+n−1< i < m+n.
ii. Conclure.
(c) Dans cette question, on montre queA etB recouvrent N? (c’est-à-dire que A∪B =N?).
Pour cela, on suppose donnéi∈N?.
Cet entier est situé entre deux multiples consécutifs de p : il existe un entier k tel que : kp6i <(k+ 1)p.
De même, il est situé entre deux multiples consécutifs de q : il existe un entierj tel que : jq6i <(j+ 1)q
i. On suppose que i /∈A. Montrer que kp < i < kp+p−1.
ii. On suppose quei /∈Aet que i /∈B. Montrer que(k+j)< i <(k+j) + 1.
iii. Conclure.
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Partie No2 : Une caractérisation du nombre d’or Le nombre d’or est l’unique réel positifϕ vérifiant l’équationx2 =x+ 1.
1. Donner l’expression de ϕet montrer queϕest irrationnel.
Jusque la fin du problème, on définit,
— Pourn∈N?,an=bnϕcetbn=bnϕ2c.
— A={an / n∈N?}.
— B ={bn / n∈N?}.
2. Pourn∈N?, montrer les égalités qui suivent.
(a) bn=an+n.
(b) aan =bn−1.
(c) abn =an+bn.
3. Montrer que les suitesa etbsont strictement croissantes et que, pour toutn∈N?,an< bn. 4. Montrer queA etB forment une partition de N?.
5. Réciproquement.
On considèrex ∈R+? tel que{bnxc / n∈N?} et{bnx2c / n∈N?} forment une partition de N?
Montrer quex=ϕ.
Partie No3 : Le jeu de Wythoff
Avant d’en arriver à une stratégie qui va nous permettre de remporter une mise à coup sûr, sous le regard ébahi d’un adversaire démuni, nous devons mettre au point une propriété mathématiques liée à la partition(A, B)de N? précédente.
Définissons les ensembles suivants :
— C={(x, y)∈N?×N? /∃i∈N/ (x, y) = (ai, bi) ou (x, y) = (bi, ai)} ∪ {(0,0)}.
— F ={(0, x) / x∈N?}.
— G={(x,0)/ x∈N?}.
— H={(x, x) / x∈N?}.
6. Soit(x, y)∈N×N.
(a) Soient(x, y)∈C et(i, j)∈F∪G∪H. On pose(x, y)−(i, j) = (x−i, y−j).
Montrer que(x, y)−(i, j)∈/ C.
(b) Soit(x, y)∈/C. Montrer qu’il existe (i, j)∈F ∪G∪H tel que (x, y)−(i, j)∈C.
Indication : On pourra supposer x 6 y, et on distinguera plusieurs cas selon que x est inférieur ou supérieur à ay−x.
7. Le jeu des porte-monnaie se joue à deux, chaque joueur ayant un porte-monnaie (si possible bien garni), ou mettant en jeu un portefeuille d’actions et de titres divers.
Chaque joueur prend à son tour soit un nombre quelconque non nul de pièces dans l’un des porte monnaie, soit le même nombre de pièces dans les deux porte-monnaie.
Le joueur qui prend la dernière pièce a gagné et empoche le tout.
Exemple.Pierre a 10 pièces et commence à joueur. Quentin a 7 pièces au départ.
Le tableau suivant donne le déroulement d’une partie remportée par Pierre.
P J P J P J P
nombre de Porte-monnaie Pierre 0 2 1 2 3 1 1 pièces prises Porte-monnaie Quentin 1 2 0 0 3 0 1 nombre de Porte-monnaie Pierre 10 8 7 5 2 1 0 pièces restantes Porte-monnaie Quentin 6 4 4 4 1 1 0
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En supposant connus, au départ, les nombresxety de pièces dans les deux porte-monnaie, et en supposant que vous ayez la possibilité de commencer, ou de laisser votre adversaire commencer, que devez-vous faire pour gagner à coup sûr ?
Indication : On sera amené à distinguer les cas où (x, y)∈C et où(x, y)∈/C.
* * * FIN DU SUJET * * *
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