Décomposition de Dunford

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Décomposition de Dunford

L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.

SoientE un K-espace vectoriel etu∈ L(E).

Siχuest scindé alors il existed∈ L(E)diagonalisable , il existen∈ L(E)nilpotente tels queu=d+n etd◦n=n◦d.

De plus, le couple (d, n)est unique.

Théorème 1:Décomposition de Dunford

Démonstration.

Existence : Comme χ_u est scindé et unitaire alors il existe r ∈ N^?, il existe λ₁,· · · , λ_r ∈ K deux à deux distincts, il existen₁,· · ·n_r ∈N^? tels que

χ_u =

n

Y

i=1

(X−λ_i)ⁿⁱ.

En utilisant le théorème des noyaux et le théorème de Cayley-Hamilton, on obtient

E= Ker 0_L(E)

= Ker(χu(u)) = ⊕^r

i=1 Ker(u−λiId)ⁿⁱ.

Pour 1 6 i 6 r, notons E_i = Ker(u−λ_iId)ⁿⁱ et p_i la projection vectorielle sur E_i parallèlement à

⊕r j=1

j6=i

Ej. Le théorème des noyaux affirme quepi est un polynôme en u. On pose

d=

r

X

i=1

λipi etn=u−d.

Alorsu=d+n. Comme chacun desp_i, pour16i6r, est un polynôme enualorsdest un polynôme en uet donc commute avec u. Il en résulte que

d◦n=d◦(u−d) =d◦u−d² =u◦d−d² = (u−d)◦d=n◦d.

SiB désigne une base adaptée à la supplémentaritéE= ⊕^r

i=1 E_i alors

MatB(d) =







λ1Id_dim(E₁₎ O · · · O

O λ2Id_dim(E₂₎ O

... . .. ...

O O · · · λ_rId_dim(E_r₎





 .

Ainsi, dest diagonalisable.

Soient16i6r etx∈Ei. On a :

n(x) = (u−d)(x) =u(x)−λ_ix= (u−λ_iId)(x).

Comme Ei est stable par u−λiId, on en déduit que nⁿⁱ(x) = (u−λiId)ⁿⁱ(x) = 0.

PosonsN = max

16i6r ni.

Soitx∈E. Il existex1∈E1,· · · , xr ∈Er tels quex=x1+· · ·+xr. On a :

n^N(x) =

r

X

i=1

n^N(xi) = 0.

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Ainsi, nest nilpotent.

Unicité : Soit (d⁰, n⁰) un nouveau couple solution. Montrons qued=d⁰ etn=n⁰.

d⁰commute avecupuisqued⁰◦u=d⁰◦(d⁰+n⁰) =d⁰◦d⁰+d⁰◦n⁰=d⁰◦d⁰+n⁰◦d⁰ = (d⁰+n⁰)◦d⁰ =u◦d⁰. Ainsi, d⁰ commute avec tout polynôme en u.

Par ce qui précède,dest un polynôme en u et donc commute avecd⁰.

Comme detd⁰ sont diagonalisables et commutent alors elles sont codiagonalisables. Ainsi, d−d⁰ est diagonalisable.

De même, n⁰ commute avec tout polynôme en u.

Par ce qui précède,nest un polynôme en u et donc commute avec n⁰.

Comme netn⁰ sont nilpotents alors on se convainc aisément que n⁰−nl’est aussi.

Finalement, deu=d+n=d⁰+n⁰, on obtient d−d⁰=n⁰−n. Ce dernier endomorphisme étant à la fois diagonalisable et nilpotent, on en déduit qu’il est nul. Ainsi d=d⁰ etn=n⁰.

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