D´ecomposition de Dunford

D´ecomposition de Dunford

Enonc´e du th´eor`eme :Soitf ∈L(E) unendomorphisme trigonalisable. Alors il existe un unique couple (d, n) d’endomorphismes tel que :

• f =d+n;

• netdcommutent ;

• nest nilpotent ;

• dest diagonalisable.

Preuve :

Existence :Soitf ∈L(E) un endomorphisme trigonalisable. Alorsf admet un polynˆome annulateur scind´eP. Quitte `a diviserP par le coefficient du terme de plus haut degr´e, on peut supposerP unitaire. P s’´ecrit sous la formeP(X) =

m

Q

k=1

(X−λk)^αk, o`uλk∈Ketαk∈N<sup>∗</sup>pour toutk∈J1, mK, lesλk´etant deux `a deux distincts. Les polynˆomesX−λk sont alors deux `a deux premiers entre eux. D’apr`es le th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux, on a : kerP(f) =

m

L

k=1

ker(f−λkidE)^αk. Pourk∈J1, mK, on noteFk = ker(f−λkidE)^αk.P est annulateur pour f doncP(f) = 0 et donc kerP(f) =E. On a doncE=

m

L

k=1

Fk. Pour k ∈ J1, mK, notons p_k le projecteur sur F_k parall`element `a

m

L

i=1i6=k

F_i. Soient d =

m

P

k=1

λ_kp_k et n = f −d.

D’apr`es le th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux,pk est un polynˆome en f pour tout entierk doncdest un polynˆome enf etn´egalement. Par cons´equent,n etd commutent. Il reste `a montrer quedest diagonalisable etnnilpotent.

Soitk∈J1, mK. Soitx∈Fk.d(x) =

m

P

i=1

λipi(x). Par d´efinition des projecteurspi,pi(x) = 0 sii6=ketpk(x) =x doncd(x) =λkx. On en d´eduit quedstabilise lesFk.f stabilise lesFk car les applications (f−λkidE)^αk sont des polynˆomes enf. On en d´eduit alors quen=f −dstabilise lesF_k. Pour k∈J1, mK, on note n_k, d_k et f_k les endomorphismes induits parn, det f surFk. La r´eunion des bases de chaqueFk est une base deE (carE est somme directe desFk). Soiteun ´el´ement de cette base. Il existe un entierk∈J1, mKtel quee∈Fk. On a alorsd(e) =d_k(e) =λ_ke. La matrice deddans cette base est donc diagonale et doncdest diagonalisable.

Les endomorphismes nk sont nilpotents : en effet, si x ∈ Fk, on a : n^α_k^k(x) = (fk −λkidF_k)^αk(x) = 0 par d´efinition des Fk. On en d´eduit que nest nilpotent : soit x∈ E. x s’´ecrit de mani`ere uniquex =

m

P

k=1

xk, o`u x_k∈F_k pour toutk∈J1, mK. Soitα= max{αk,16k6m}.n^α(x) =

m

P

k=1

n^α(x_k). Pour toutk∈J1, mK:

n^α(xk) =n^α_k(xk) =n^α−αk(n^αk(x)) =n^α−αk(0) = 0.

On en d´eduitn^α(x) = 0. Par cons´equent,nest nilpotent. D’o`u l’existence d’un tel couple (d, n).

Unicit´e : Soit (d⁰, n⁰) un autre couple d’endomorphismes satisfaisant les 4 points du th´eor`eme. f =d+n= d⁰+n⁰. d⁰ commute avec f :

d⁰◦f =d⁰◦(d⁰+n) =d⁰◦d⁰+d⁰◦n⁰=d⁰◦d⁰+n⁰◦d⁰= (d⁰+n⁰)◦d⁰=f◦d⁰. 1

D´ecomposition de Dunford

d⁰commute avecf donc avec tout polynˆome enf, en particulier avecd.detd⁰sont diagonalisables et commutent doncdet d⁰ sont codiagonalisables et doncd−d⁰ est diagonalisable.

De la mˆeme mani`ere que pourd⁰, on montre quen⁰ commute avecf donc commute avec tout polynˆome enf, en particulier avecn. On en d´eduit alors quen−n⁰ est nilpotent. En effet,nest nilpotent donc il existeβ∈N tel quen^β = 0. De mˆeme, il existeβ⁰∈Ntel quen^0β0 = 0. Alors :

(n−n⁰)^β+β0 =

β+β⁰

X

i=0

β+β⁰ i

(−1)^β+β0−inⁱ(n⁰)^β+β0−i.

Si i ∈ J0, βK, alors β+β⁰−i > β et n^0β+β0−i = 0. Si i ∈ Jβ+ 1, β⁰K, alors i > β et nⁱ = 0. n−n⁰ est donc nilpotent. Finalement,d⁰−dest diagonalisable et nilpotent doncd⁰−d= 0. On en d´eduitd⁰=d, puisn⁰=n.

D’o`u l’unicit´e.

S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr 2/2