Contrôle de Mathématiques 3
Calculatrice interdite. Les deux formulaires sont autorisés.
La rédaction et la justication des calculs constituent un point essentiel de l'évaluation des copies.
Exercice 1. 4 points. On considère la matrice écrite dans la base canonique
A=
−4 1 1
−6 2 2
0 −1 −1
a. Calculer les valeurs propres deA. En déduire queAest diagonalisable.
b. Déterminer les sous-espaces propres de A.
c. Donner la matrice de passage, son inverse ainsi que la matrice diagonale correspondant à la diago- nalisation deA.
Exercice 2. 4 points. Le but de l'exercice est de calculer Z 1
0
F(t)dt avec F(t) = −t5+t3 t2+t+ 1.
a. Donner le degré deF(t)ainsi que la forme de décomposition à laquelle on s'attend (sur R).
b. Déterminer la partie entière deF(t)et déduire que l'on peut écrire la fraction sous la forme : F(t) =E(F(t)) +1
2
2t+ 1 t2+t+ 1 +
3 2
t2+t+ 1. c. Développer 34
√2 3t+√1
3
2 + 1
. A l'aide du changement de variablesu= √2
3t+√1
3, calculer Z 1
0 3 2
t2+t+ 1dt d. En déduire R1
0 F(t)dt.
Exercice 3. 4 points. On s'intéresse à l'équation diérentielle linéaire du premier ordre (E) : x(x+ 2)y0−y= 2.
a. Donner tous les intervalles de résolution pour(E). Dans la suite, on se placera sur l'intervalle]0; +∞[. b. Décomposer en éléments simples la fraction x(x+2)1 .
c. Donner l'ensemble des solutions de l'équation homogène(H).
d. En identiant la forme prévisible, trouver une solution particulière de(E). e. En déduire l'ensemble de toutes les solutions de(E).
f. Donner la solutiony0 de(E)qui vérie y0(2) = 0. Exercice 4. 4 points. On s'intéresse à l'équation diérentielle
(E) : y0=xy−xy2. a. Donner l'intervalle de résolution pour(E).
b. Diviser(E)pary2 puis poserz=1y et écrire l'équation(E0)enz équivalente à(E). c. Résoudre l'équation homogène(H0)associée à(E0).
d. Trouver une solution particulière de (E0)en utilisant la variation de la constante.
e. En déduire l'ensemble des solutions de (E0). f. Donner l'ensemble des solutions de(E).
Exercice 5. 4 points. On s'intéresse à l'équation diérentielle linéaire du second ordre (E) : −y00−3y0+ 10y= 2 cos(x).
a. Donner l'équation homogène(H)de(E)ainsi que l'équation caractéristique associée(Ec). b. Résoudre(Ec). En déduire les solutions de(H).
c. Trouver une solution particulière de (E).
d. En déduire l'ensemble de toutes les solutions de(E).
