III. — Formule des probabilités totales

Chapitre 4 : Conditionnement et indépendance

Dans tout le chapitre, tous les événements sont liés à une même expérience aléatoire modélisée par une probabilité P sur son univers Ω.

I. — Probabilité conditionnelle

1) Définition

Définition 1

SoitAun évènement de probabilité non nulle et soitB un événement quelconque. On définit la probabilité de B sachant A, notéeP_A(B), par

P_A(B) = P(A∩B) P(A) .

Exemple 2. On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité que le chiffre obtenu soit 6 sachant que ce chiffre est pair ?

Solution. — Ici, l’univers de l’expérience est Ω ={1,2,3,4,5,6}et on modélise l’expérience par l’équiprobabilitéP sur Ω.

On considère les évènements A : « Obtenir un chiffre pair » et B : « Obtenir 6 ». Ainsi, A={2,4,6} etB ={6}. Par équiprobabilité, on a donc P(A) = ³₆ = ¹₂ etP(B) = ¹₆. Ainsi, la probabilité d’obtenir 6 sachant qu’on a obtenu un chiffre pair est

P_A(B) =

1 6 1 2

= 1

6×2 = 1 3.

Propriété 3

Soit A etB deux événements.

1. Si P(A)6= 0 alors P(A∩B) = P(A)×P_A(B).

2. Si P(B)6= 0 alors P(A∩B) =P(B)×P_B(A).

3. Si P(A)6= 0 et P(B)6= 0 alors P(A)×P_A(B) = P(B)×P_B(A).

Démonstration.

1. On suppose que P(A)6= 0. Alors, par définition, P_A(B) = ^P_P^(A∩B)_(A) donc, en multipliant par P(A),P(A)×P_A(B) = P(A∩B).

2. Preuve identique en échangeantA et B et en tenant compte du fait que A∩B =B∩A.

3. Si P(A)6= 0 et P(B) 6= 0, il découle des deux points précédents que P(A)×P_A(B) = P(A∩B) =P(B)×P_B(A).

Exemple 4. On considère une urne qui contient des boules numérotées. On sait que ³₄ des boules sont rouges et que ¹₃ des boules rouges portent un numéro pair. On tire une boule au hasard dans l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge portant un numéro pair ?

Solution. — Ici, l’univers Ω est l’ensemble des boules et on modélise l’expérience par l’équiprobabilité sur Ω.

Considérons les évènements A : « Tirer une boule rouge » et B : « Tirer une boule portant un numéro pair ».

D’après l’énoncé, P(A) = ³₄ et P_B(A) = ¹₃ donc la probabilité de tirer une boule rouge portant un numéro pair i.e. la probabilité de l’évènement A∩B est

P(A∩B) = P(A)×P_A(B) = 3 4 ×1

3 = 1 4.

Propriété 5

Soit A un évènement de probabilité non nulle. Alors, la fonctionP_A qui à tout évènement B de Ω associe la probabilité conditionnelleP_A(B) est une loi de probabilité sur Ω.

En particulier, pour tout évènement B, 06P_A(B)61 et P_A(B) = 1−P_A(B).

Démonstration. Il s’agit de montrer que P_B vérifie les deux propriétés définissant une loi de probabilité, à savoir :

1. pour tout évènement B ⊂Ω, 06P_A(B)61.

2. si Ω ={x₁, x₂, ..., x_n} alors P_A({x₁}) +P_A({x₂}) +· · ·+P_A({x_n}) = 1.

Montrons1.. SoitB ⊂Ω. Alors,A∩B ⊂Adonc, par croissance et positivité de la probabilité P, 06P(A∩B)6P(A). En divisant parP(A)>0, on en déduit que 06P_A(B)61.

Montrons ensuite 2.. Quitte à renommer les éléments de Ω, on peut toujours supposer que A={x₁, x₂, ..., xk} etA={xk+1, xk+2, ..., xn}. Par définition de PA,

P_A({x₁}) +P_A({x₂}) +· · ·+P_A({x_n}) = P(A∩ {x₁})

P(A) +P(A∩ {x₂})

P(A) +· · ·+P(A∩ {x_n}) P(A)

= P(A∩ {x₁}) +P(A∩ {x₂}) +· · ·+P(A∩ {x_n}) P(A)

Soit i∈ {1,2, ..., n}. Alors, A∩ {x_i}={x_i} sii6k etA∩ {x_i}=∅ si i > k. Dès lors,

P(A∩{x₁})+P(A∩{x₂})+· · ·+P(A∩{x_n}) = P({x₁})+P({x₂})+· · ·+P({x_k})+0+0+· · ·+0.

Or, par définition,P({x₁}) +P({x₂}) +· · ·+P({x_k}) = P(A) donc, finalement, P_A({x₁}) +P_A({x₂}) +· · ·+P_A({x_n}) = P(A)

P(A) = 1.

Exemple 6. On reprend la situation de l’exemple 4. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule portant un numéro impair sachant que cette boule est rouge ?

Solution. — Avec les notations de la solution de l’exemple 4, on chercheP_A(B). Or, comme P_A est une probabilité,

P_A(B) = 1−P_A(B) = 1− 1 3 = 2

3.

II. — Arbres pondérés

Les arbres pondérés (ou arbres de probabilités) constituent une manière particulièrement efficace de représenter une expérience aléatoire et de mettre en évidence les probabilités (éven- tuellement conditionnelles) en jeu.

Exemple 7. On considère une urne qui contient exactement 5 boules : 3 boules rouges et deux boules noires. On effectue successivement et sans remise deux tirages d’une boule dans l’urne.

Considérons les évènements R₁ : « la première boule tirée est rouge » et R₂ : « la seconde boule tirée est rouge ».

On peut représenter cette expérience par l’arbre pondéré suivant :

R₁

R₂

1 4

R₂

3 2 4

5

R₁

R₂

1 2

R₂

1 2

3 5

Il est important de comprendre que dans cet arbre, les probabilités ne se rapportent pas toute à la même loi :

1. les probabilités enbleusont relatives à la probabilitéP qui modélise l’équiprobabilité sur l’ensemble des 5 boules initialement dans l’urne. Ainsi,P(R1) = ³₅ et P(R1) = ²₅ car il y initialement 3 boules rouges et 2 boules noires ;

2. les probabilités enmagentasont relatives à la probabilité conditionnelle P_R1 qui modélise l’équiprobabilité sur l’ensemble des 4 boules restant dans l’urne après le prélèvement d’une boule rouge. Ainsi, P_R1(R₂) = ²₄ = ¹₂ et P_R1(R₂) = ²₄ = ¹₂ car il y alors 2 boules rouges et 2 boules noires ;

3. les probabilités en rouge sont relatives à la probabilité conditionnelle P_R

1 qui modélise l’équiprobabilité sur l’ensemble des 4 boules restant dans l’urne après le prélèvement d’une boule noire. Ainsi,P_R

1(R₂) = ³₄ etP_R

1(R₂) = ¹₄ car il y alors 3 boules rouges et 1 boule noires ;

Considérons l’évènement « Obtenir deux boules rouges ». Cet évènement estR₁∩R₂ puisqu’il est réalisé si et seulement si on obtient une boule rouge au premier tirage et une boule rouge au second tirage. La probabilité d’obtenir deux boules rouges est donc

P(R₁∩R₂) =P(R₁)P_R1(R₂) = 3 5 × 1

2 = 3 10.

Définition 8

Dans un arbre de probabilité, les segments s’appellent les branches de l’arbre et les « points » d’où partent les branches s’appellent les nœuds de l’arbre. Enfin, une succession de branches s’appelle un chemin.

Propriété 9. — (Règles de calculs sur les arbres pondérés)

Règle 1. (Loi des nœuds) La somme des probabilités des branches partant d’un même nœud est égale à 1.

Règle 2. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.

Démonstration. La règle 1 n’est rien d’autre que le fait que si P est une loi de probabilité et A un évènement alors P(A) +P(A) = 1. (Ici, P peut être la probabilité P ou une probabilité conditionnelle de la formeP_A selon le nœud où l’on se trouve).

Le règle 2 n’est rien d’autre que l’égalité P(A∩B) = P(A)P_A(B) si A et B sont deux évènements tels que P(A)6= 0.

III. — Formule des probabilités totales

Définition 10

On dit que deux évènements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si A∩B =∅.

Remarque 11. Dire que deux évènements sont incompatibles signifie qu’ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.

Exemple 12. On lance un dé cubique.

1. Les évènements A : « Obtenir un chiffre pair » et B : « Obtenir un chiffre impair » sont incompatibles.

2. Les évènementsA : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 » etB : « Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 4 » sont incompatibles.

3. Les évènementsA : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 » etB : « Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 3 » ne sont incompatibles pas incompatibles car 3∈A∩B.

Remarque 13. De manière générale, pour tout évènement A, les évènements A et A sont incompatibles.

Définition 14

Soit un entier n>2. On dit que n évènements A₁, A₂, ..., A_n sont mutuellement incompa- tibles (ou deux à deux incompatibles) si, pour tous entiers i et j entre 1 et n tels quei6= j, A_i etA_j sont incompatibles.

Remarque 15. Dire que n évènements sont mutuellement incompatibles signifie que lorsqu’on prend 2 évènements distincts quelconques parmi cesnévènements, ils sont toujours incompatibles.

Exemple 16. On lance un dé cubique. Les évènements A₁ : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 », A₂ : « Obtenir un multiple de 3 » et A₃ : « obtenir 4 ou 5 » sont mutuellement incompatibles.

En revanche, les évènements B₁ : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 », B₂ : « Obtenir un multiple de 3 » et B₃ : « obtenir un chiffre supérieur ou égal à 4 » sont pas mutuellement incompatibles car 6∈B₂∩B₃.

Propriété 17

Soit un entier n >2. Si A₁, A₂, ..., A_n sont des évènements mutuellement incompatibles alors

P(A₁∪A₂∪ · · · ∪A_n) =P(A₁) +P(A₂) +· · ·+P(A_n).

Démonstration. On fait la preuve dans le cas simple où n = 2 et on admet que la propriété reste vraie si n >3.

SoitA₁etA₂deux évènements incompatibles. Alors,P(A₁∪A₂) =P(A₁)+P(A₂)−P(A₁∩A₂) mais, commeA1∩A2 =∅,P(A₁∩A2) = 0 et donc P(A₁∪A2) =P(A₁) +P(A₂).

Définition 18

Soit un entier n>2. On dit que des évènements A₁, A₂, ...,A_n forment une partition de l’univers (ou un système complet d’évènements) si

1. les événements A₁, A₂, ..., A_n sont mutuellement incompatibles.

2. La réunion des évènements A₁, A₂, ..., A_n est égale à Ω.

Exemple 19.

1. On lance un pièce de monnaie. Les évènements A : « Obtenir pile » et B : « Obtenir face » forment une partition de l’univers.

2. On lance un dé cubique. Les évènementsA : « Obtenir un chiffre pair » et B : « Obtenir un chiffre impair » forment une partition de l’univers.

3. De manière générale, si A est un évènement alors A et A forment une partition de l’univers.

4. On choisit un nombre entier au hasard entre 1 et 9999. On note, pour tout entier i ∈ {1,2,3,4}, A_i l’évènement « le nombre choisi possède i chiffres dans son écriture décimale ». Alors, les évènementsA₁,A₂, A₃ et A₄ forment une partition de l’univers.

Théorème 20

Soit un entier n > 2. Soit A₁, A₂, ..., A_n des événements de probabilités formant une partition de l’univers. Alors, pour tout événement B,

P(B) =P(B∩A1) +P(B ∩A2) +...+P(B∩An) Si, de plus, P(A_i)6= 0 pour tout i∈ {1,2, ..., n} alors

P(B) = P(A₁)P_A1(B) +P(A₂)P_A2(B) +...+P(A_n)P_An(B).

Démonstration. Par définition, Ω =A₁ ∪A₂∪ · · · ∪A_n. Or, B ⊂Ω donc B =B∩Ω et ainsi B =B∩(A1∪A2 ∪ · · · ∪An) = (B∩A1)∪(B∩A2)∪ · · · ∪(B∩An).

Notons, pour tout i∈ {1,2, ..., n},B_i =B ∩A_i. Ainsi, B =B₁∪B₂∪ · · · ∪B_n.

Soiti et j deux éléments distincts de {1,2, ..., n}. Alors,Bi ⊂Ai et Bj ⊂Aj doncBi∩Bj ⊂ A_i∩A_j =∅ car A_i et A_j sont incompatibles. Il s’ensuit queB_i∩B_j = ∅. Ainsi, les évènements B₁, B₂, ..., B_n sont mutuellement incompatibles donc, d’après le propriété 17,

P(B) =P(B₁∪B₂∪ · · · ∪B_n) =P(B₁) +P(B₂) +· · ·+P(B_n) i.e.

P(B) = P(B∩A₁) +P(B∩A₂) +...+P(B∩A_n).

Si, de plus, P(A_i) 6= 0 pour tout i ∈ {1,2, ..., n} alors, d’après la propriété 3, pour tout i∈ {1,2, ..., n}, P(B ∩A_i) =P(A_i)P_Ai(B) donc

P(B) = P(A₁)P_A1(B) +P(A₂)P_A2(B) +...+P(A_n)P_An(B).

Exercice 21. On dispose de 2 urnes. La première contient 3 boules rouges et 2 boules noires et la seconde 4 boules rouges et 7 boules noires. On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne au hasard.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

2. On a tiré une boule rouge. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de la première urne ? Solution Commençons par représenter la situation par un arbre pondéré en notant A :

« Choisir la première urne » et B : « Tirer une boule rouge ».

A

B

7 11

4 B

1 11 2

A

B

2 5

B

3 5 1

2

1. On chercheP(B). Les évènementsAet Aforment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales

P(B) =P(A)P_A(B) +P(A)P_A(B) = 1 2 × 3

5+ 1 2× 4

11 = 53 110. 2. On chercheP_B(A). Or, par définition,

P_B(A) = P(A∩B)

P(B) = P(A)PA(B) P(B) =

1 2 × ³₅

53 110

= 33 53.

La formule des probabilités totales s’interprète en termes de calcul sur les arbres pondérés de la manière suivante.

Propriété 22. — Règle de calcul sur les arbres pondérés (suite)

Règle 3. Si plusieurs chemins d’un arbre mènent au même événement E alors la probabilité de E est la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à E.

Remarque 23. Une autre façon de présenter les probabilités est d’utiliser un tableau comme ci-dessous.

B B Total

A P(A∩B) P(A∩B) P(A) A P(A∩B) P(A∩B) P(A)

Total P(B) P(B) 1

La formule des probabilités totales assure que les nombres des cases marginales (i.e. les cases de la colonne et de la ligne « Total ») sont les sommes des cases centrales correspondantes :

P(A∩B) +P(A∩B) =P(A) P(A∩B) +P(A∩B) = P(A) P(A∩B) +P(A∩B) =P(B) P(A∩B) +P(A∩B) = P(B)

IV. — Indépendance d’événements

Définition 24

On dit que deux évènements A et B sont indépendants si P(A∩B) =P(A)×P(B).

Exemple 25. On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On considère les évènements A : « On obtient un chiffre pair »,B : « On obtient un chiffre supérieur ou égal à 4 » et C : « On obtient un chiffre inférieur ou égal à 4 ».

Ici, l’univers est Ω ={1,2,3,4,5,6} etP est l’équiprobabilité sur Ω. On a A ={2,4,6} B ={4,5,6} C ={1,2,3,4}

donc P(A) = ³₆ = ¹₂,P(B) = ³₆ = ¹₂ et P(C) = ⁴₆ = ²₃.

De plus,A∩B ={4,6}etA∩C ={2,4}doncP(A∩B) = ²₆ = ¹₃ 6=P(A)×P(B) = ¹₂×¹₂ = ¹₄ et P(A∩C) = ²₆ = ¹₃ = ¹₂ ײ₃ =P(A)×P(C).

Ainsi, les évènements A et B ne sont pas indépendants mais les évènements A et C sont indépendants.

Remarque 26. ATTENTION à ne pas confondre évènements indépendants et évènements incompatibles. La notion d’évènements incompatibles est une notion ensembliste intrinsèque aux évènements (ont-ils des éléments en commun ?) alors que la notion d’évènements indépendants est une notion qui dépendant de la probabilité P et donc du modèle choisi.

Propriété 27

Soit A et B deux événements tels que P(A) 6= 0. Alors, A et B sont indépendants si et seulement si P(B) =P_A(B).

Démonstration. Les évènements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩B) = P(A)×P(B). Or, d’après la propriété 3, puisque P(A)6= 0,

P(A∩B) =P(A)×P(B)⇔P(A)×P_A(B) =P(A)×P(B)⇔P(B) =P_A(B).

Remarque 28. Ainsi, l’indépendance de deux évènements A et B s’interprète de la manière suivante : le fait queA soit réalisé ou non n’a pas d’influence sur la probabilité que B se réalise.

Cela éclaire les résultats de l’exemple 25.

En effet, si A est réalisé, l’univers devient {2,4,6}. Sur ce nouvel univers (toujours muni de l’équiprobabilité), la probabilité que B se réalise est ²₃ et cette probabilité (conditionnelle) est différente de la probabilité de B sur l’univers Ω. Ainsi, le fait que A soit réalisé modifie la probabilité queB se réalise : les évènements ne sont pas indépendants.

En revanche, la probabilité que C se réalise sachant queA est réalisé est aussi ²₃ mais cette fois-ci cette probabilité (conditionnelle) est égale à la probabilité de C sur l’univers Ω. Ainsi, le fait que A soit réalisé ne modifie pas la probabilité que C se réalise : les évènements sont indépendants.

Théorème 29

Soit A etB deux évènements indépendants. Alors, A et B sont également indépendants.

Démonstration. Il s’agit de montrer que P(A∩B) =P(A)×P(B). Or, étant donné que A et A forment une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales,

P(A∩B) +P(A∩B) =P(B) donc

P(A∩B) = P(B)−P(A∩B).

CommeA et B sont indépendants, P(A∩B) =P(A)×P(B) et ainsi

P(A∩B) =P(B)−P(A)×P(B) = (1−P(A))×P(B) = P(A)P(B) donc A etB sont indépendants.

Remarque 30. Soit A etB deux évènements indépendants. Alors, A et B sont indépendants et, de la même façon, A et B sont indépendants. De plus, en appliquant le théorème précédent à A et B, on en déduit que A etB sont également indépendants.

Il s’ensuit que dans un tableau comme celui de la remarque 23, chaque case centrale est le produit des cases marginales correspondantes :

B B Total

A P(A)P(B) P(AP(B) P(A) A P(A)P(B) P(A)P(B) P(A)

Total P(B) P(B) 1

ATTENTION ! Ceci n’est vrai que si les évènements sont indépendants.