Chapitre 10. Fonctions réelles d une variable réelle II - Calcul Différentiel

Lycée français de Vienne Mathématiques - F. Gaunard http://frederic.gaunard.com

Chapitre 10. Fonctions réelles d’une variable réelle II - Calcul Différentiel

Ce chapitre présente un autre aspect de l’étude de régularité des fonctions réelles, la dérivabilité. On y introduit la notion de développement limité (d’ordre 1) et énonce l’ inégalité des accroissements finis ainsi que plusieurs applications de celle-ci, en particulier dans l’étude du comportement asymptotique des suites définies par récurrence un+1 =f(un).

1 Nombre dérivé

1.1 Nombre dérivé & taux d’accroissement

Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvertI et soit x0 ∈I. La fonctionf est dite dérivable en x0 si et seulement le taux d’accroissement de f en x0 admet une limite finie en x0. Dans ce cas, cette limite est appelée le nombre dérivé de f en x0 et est notée f^′(x0)

f^′(x0) = lim

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0

. Remarque 1.

Pour que le taux d’accroissement de f en x0 admette une limite finie enx0, il faut nécessairement que lim

x→x0

f(x)−f(x0) = 0, c’est à dire lim

x→x0

f(x) = f(x0), ou encore que f soit continue en x0. Autrement dit, on a les implications suivantes:

• f est non continue en x0 ⇒f est non dérivable enx0.

• f est dérivable enx₀ ⇒f est continue en x₀.

BLa réciproque est bien évidemment fausse (voir exemple un peu plus loin) ! Exemple.

(1) La fonction carrée f est dérivable en 1 et f^′(1) = 2.

(2) Plus généralement, la fonction carrée f est dérivable en tout réel x0 etf^′(x0) = 2x0. (3) La fonction racine carrée g est dérivable en tout réel strictement positif x0 et g^′(x0) = 1.

Elle n’est pas dérivable en0 car

xlim→0⁺

√x

x = +∞. Exercice 1. Soit la fonctionf définie sur [0,+∞[ par :

f(x) =

(x²lnx si x >0

0 si x= 0

La fonctionf est-elle dérivable en 0 ?

1.2 Interprétation graphique

On noteC^f la courbe représentative def etTx0 la tangente àC^f au point d’abscisses x0.

C^f S_h

C^f

Tx0

M_h tend vers M₀ S_h tend vers T_x0 O x₀

b

M₀ f(x₀)

x₀+h

b

M_h f(x0+h)

h

x₀

b

M₀ f(x₀)

O h tend vers 0

Proposition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soitx0 ∈I.

(1) Sif est dérivable en x0, alorsf^′(x0)est le coefficient directeur de la tangente àC^f au point d’abscisse x0. L’équation cartésienne réduite de cette tangente est alors :

(Tx0) : y=f^′(x0)(x−x0) +f(x0).

(2) Si la limite du taux d’accroissement enx0 est infinie, alorsf n’est pas dérivable en x0 et la courbe C^f admet une tangente verticale au point d’abscisse x0.

Exercice 2.

(1) Déterminer la tangente à la fonction carrée au point d’abscisse 1.

(2) Donner une fonction usuelle admettant une tangente verticale.

2 Développement limité d’ordre 1

La notion suivante, qui peut être souvent introduite comme définition de la dérivabilité (on verra ci-dessous qu’il y a équivalence), permet des approximations affines (c’est à dire polynomiales de degré 1) de la fonction au voisinage du point où on effectue le développement. C’est un outil très (très) utile dans divers contextes, notamment dans la recherche de limites (pour des fonctions ou des suites).

Définition 2. Soir f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0. On dit que f admet un développement limité à l’ordre 1 lorsqu’il existe deux réels a et b, et une fonction ε définie au voisinage de 0 tels que, si h est assez proche de 0 (de sorte que x0+h soit assez proche de x0), on a

f(x0+h) =a+bh+hε(h), avec lim

h→0ε(h) = 0.

Remarque 2.

(1) De manière équivalente, en posanth=x−x0, on peut dire que pourxsuffisamment proche dex0, on a

f(x) =a+b(x−x0) + (x−x0)ε(x−x0).

(2) La quantité hε(h) est, par définition, négligeable devant h lorsque h tend vers 0. On peut alors la notero(h)ce qui se lit «petito deh» (il est sous entendu que c’est au voisinage de 0). L’égalité de la définition précédente s’écrit doncf(x0+h) =a+bh+o(h). De la même manière, on peut noterf(x) =a+b(x−x0) +o(x−x0)«petit o dex−x0 au voisinage de x0 ».

(3) Le DL est dit à l’ordre 1 car la quantité a+bh est un polynôme de degré 1 en la variable h. On peut à priori définir les DL à tous les ordres.

Le DL0(x0)de f s’écrit f(h) =a+ε(h), avec a réel et limh→0ε(h) = 0.

Le DL2(x0)de f s’écrit f(h) =a+bh+ch²+h²ε(h), avec a, b, c réels etlimh→0ε(h) = 0.

(4) L’idée des DL est de faire l’approximation d’une fonction par un polynôme, de manière locale (l’égalité n’est valable que lorsque h est proche de 0, c’est à dire lorsque x est proche de x0).

Théorème 1. Les deux proposition suivantes sont équivalentes : (i) f est dérivable en x0;

(ii) f admet un développement limité à l’ordre 1.

Le DL est alors unique et, nécessairement, a = f(x0) et b = f^′(x0). Autrement dit, pour h suffisamment proche de 0, ou encore pour x suffisamment proche de x0,

f(x0+h) =f(x0) +f^′(x0)h+o(h) ou encore

f(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +o(x−x0).

Remarque 3. Lorsque x est suffisamment proche de x0, cela signifie que la courbe représentative def est très proche de sa tangente en x0. On parle d’approximation affine:

f(x)≈f(x0) +f^′(x0)(x−x0).

Pour des valeurs de x suffisamment proches de x0, Tx0 est en fait la droite la plus proche de la courbe représentative de f.

Exercice 3.

(1) Donner les développements limités à l’ordre 1 en 0 de : x7→e^x, x7→ln(1 +x), x7→ 1+x¹ , x7→√

1 +x, x7→e^−x, x7→ln(1−x).

(2) Donner les développements limités à l’ordre 1 en 1 de x 7→ √

1 +x, x 7→ √

1−x et x7→ln(x).

(3) En utilisant l’approximation affine pour une fonction f supposée dérivable sur R, donner une valeur approchée def(3,05) sachant que f(3) = 1 et f^′(3) = 6.

B On utilise la même notationhε(h)ouo(h)pour chaque DL, mais il s’agit d’unenotation, ce qui signifie que ces quantités sont différentes pour chaque fonction et, pour une même fonction, différentes en différents points où le développement limité existe.

2.1 Quelques développements limités usuels en 0

Les développements limités suivants peuvent être utilisés dans bien des situations et se révèlent extrêmement utiles.

Proposition 2. Au voisinage de 0, on a

e^x = 1 +x+xε(x) = 1 +x+o(x) ln(1 +x) = x+xε(x) = x+o(x)

1

1 +x = 1−x+xε(x) = 1−x+o(x)

√1 +x = 1 + ^x₂ +xε(x) = 1 + ^x₂ +o(x)

(1 +x)^α = 1 +αx+xε(x) = 1 +αx+o(x)

Exercice 4. Déterminer la limite, lorsque n→+∞, de la suite

1 + 1 n

n

. Exercice 5. Soient a, b >0. Déterminer

xlim→0

a^x+b^x 2

x¹

. 2.2 Nombre dérivé à gauche ou à droite

Comme dans le chapitre sur la continuité, on peut d’intéresser, et définir, la dérivabilité d’un côté ou de l’autre d’un point. Plus précisément, on a la définition et les propriétés suivantes.

Définition 3. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. La fonction f est dite dérivable à droite en x₀ (resp. dérivable à gauche en x₀) si et seulement le taux d’accroissement admet une limite finie en x⁺₀. (resp. en x⁻₀).

Cette limite est alors appelée le nombre dérivé à droite (resp. à gauche) de f en x0 et est notée f_d^′(x0) (resp. f_g^′(x0)).

f_d^′(x0) = lim

x→x⁺₀

f(x)−f(x₀) x−x0

, f_g^′(x0) = lim

x→x⁻₀

f(x)−f(x₀) x−x0

. Proposition 3. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soitx0 ∈I.

• S’ils existent, alorsf_d^′(x0)etf_g^′(x0)sont respectivement les coefficients directeurs des demi- tangentes à droite et à gauche àC^f au point d’abscisse x0.

• Si lim

x→x⁺₀

f(x)−f(x0) x−x0

= +∞, alors f n’est pas dérivable en x0 et la courbe C^f admet une tangente verticale au point d’abscisse x0. Idem à gauche

Proposition 4. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soitx0 ∈I.

La fonctionf est dérivable enx0 si et seulement si







f est dérivable à droite et à gauche en x₀ et

f_d^′(x₀) =f_g^′(x₀)

Définition 4. Si f_d^′(x₀) et f_g^′(x₀) existent mais sont différents, alors f n’est pas dérivable en x₀ et on dit que le point d’abscissex₀ est un point anguleux de C^f .

Exemple. La fonction valeur absolue est dérivable à droite et à gauche en 0 mais n’est pas dérivable en 0. Le point O(0,0) est un point anguleux de la courbe représentative de la fonction valeur absolue.

Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R par :

(f(x) =x³ six61 3 ln(x) + 1 six >1 (1) Montrer que f est continue en 1.

(2) Etudier la dérivabilité def en 1.

Exercice 7. Soit f la fonction définie sur R par : f(x) =

(e^x six <0 x²+ 1 six>0 (1) Montrer que f est continue en 0.

(2) Etudier la dérivabilité def en 0.

3 Dérivabilité sur un intervalle

Définition 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Si f est dérivable en tout réel x de I, on dit que f est dérivable sur I. De plus la fonction

f^′ :

(I →R x7→f^′(x) est appelée la fonction dérivée de la fonction f. Exemple.

(1) Si f :

(R→R

x7→x² alors f^′ :

(R→R x7→2x (2) Si g :

(R₊ →R x7→√

x alors g^′ : (R^⋆

+→R

x7→ ₂^√1_x .

3.1 Opérations sur les dérivées - Dérivées des fonctions usuelles

On rappelle très sommairement dans ce paragraphe certaines règles concernant les opérations sur les dérivées. On a choisit d’omettre ici celles concernant la dérivée d’une somme, d’un produit ou d’un quotient, qui sont déjà connues et parfaitement maîtrisées. De plus, les dérivées (et les domaines de dérivabilité) des fonctions usuelles ont été rappelées au cours du Chapitre 1.

Proposition 5. (Dérivée d’une fonction composée).

Soit f une fonction dérivable sur I et g une fonction dérivable sur un intervalle J inclus dans f(I). Alors, g◦f est dérivable sur I et on a : (g◦f)^′ = (g^′◦f)×f^′. Autrement dit :

∀x∈I, (g◦f)^′(x) =g^′(f(x))×f^′(x).

Proposition 6. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors,

(1) Pour toutn ∈N, la fonction uⁿ est dérivable sur I et sa dérivée vaut nu^′uⁿ⁻¹; (2) La fonction e^u est dérivable sur I et sa dérivée vaut u^′e^u;

(3) Si la fonctionuest strictement positive sur I, alors la fonction √

uest dérivable sur I et sa dérivée vaut ₂^u√′_u;

(4) Si la fonction u est strictement positive sur I, alors pour tout réel α, la fonction u^α est dérivable sur I et sa dérivée vaut αu^′u^α−1;

(5) Si la fonctionu est strictement positive sur I, alors la fonction ln(u)est dérivable sur I et sa dérivée vaut ^u_u^′.

3.2 Fonctions de classe C¹

Définition 6. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que f est de classe C¹ sur I (ce qu’on note parfois f ∈ C¹(I)), si f est dérivable sur I et si f^′ est continue sur I. Exemple.

• Toute fonction polynôme est de classeC¹ sur R.

• La fonction exponentielle est de classe C¹ sur R.

• La fonction logarithme népérien est de classe C¹ sur R^⋆

+. Exercice 8. Soit f la fonction définie par :

f : R₊ → R

x 7→

x²ln(x), si x >0

0, si x= 0

Montrer que f est de classe C¹ sur R₊.

Exercice 9. Soient a, b∈Ret f la fonction définie par f : R^⋆

+ → R

x 7→

√

x, si 0≤x≤1

ax² +bx+ 1, si x >1

(1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b) pour que f soit continue sur R^⋆₊. (2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b) pour que f soit dérivable sur R^⋆

+. (3) On suppose que la condition précédente est satisfaite.

(a) La fonction f est-elle de classe C¹ sur R^⋆

+ ? (b) La fonction f^′ est-elle dérivable en 1 ?

4 Dérivation des fonctions réciproques

On a pu voir dans un chapitre précédent que le théorème de bijection permettait de montrer qu’une fonctionfréalise une bijection d’un intervalleIsurf(I)lorsque la fonctionf est continue et strictement monotone. On est donc, dans ce cas, assuré de l’existence de la fonction réciproquef⁻¹. La proposition ci-dessous permet de justifier la dérivabilité de f⁻¹ en un point y0 lorsque l’on sait que la fonction f est dérivable enx0 =f⁻¹(y0).

Proposition 7 (Dérivabilité d’une fonction réciproque).

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soient x0 ∈ I et y0 =f(x0) (ou encorex0 =f⁻¹(y0)). Alors,

(i) Si f est dérivable enx0 et sif^′(x0)6= 0 alors f⁻¹ est dérivable eny0 et (f⁻¹)^′(y0) = 1

f^′(x₀) = 1 f^′(f⁻¹(y₀)).

(ii) Si f est dérivable en x0 et si f^′(x0) = 0 alors f⁻¹ n’est pas dérivable en y0 et sa courbe C^f−1 possède une tangente verticale en y0.

Exemple. Considérons la fonction f définie par f :x7→ x

x²+x+ 1.

• On commence par voir que f réalise une bijection de [−1,1] sur [−1; 1/3]. En effet, f est définie et dérivable sur R (comme quotient de deux polynômes dont le dénominateur ne s’annule jamais) et pour tout xréel,

f^′(x) = 1−x² (x²+x+ 1)².

Ainsi, f est strictement croissante sur [−1; 1]. Plus précisément, on a le tableau de varia- tions suivant:

x f^′(x)

f

−1 1

0 + 0

−1

−1

1 3 1 3

0

0

• Par le théorème de bijection,f réalise donc une bijection de [−1; 1] sur [−1; 1/3]. On note g sa réciproque. Le même théorème de bijection nous permet de dresser le tableau de variations de g (qui est continue et a le même sens de monotonie que f):

x

g

−1 ¹₃

−1

−1

11 0

0

• Concernant la dérivabilité de g, il faut appliquer la proposition précédente. Plus précisé- ment, on sait que f est dérivable sur [−1; 1] et que sa dérivée f^′ s’annule en−1 et 1. Or, f(−1) = −1 et f(1) = 1/3 donc g n’est pas dérivable en −1 ni en 1/3 mais est dérivable sur ]−1; 1/3[. En particulier,g est dérivable en 0, même si f(0) = 0 =g(0) car f^′(0) = 1, et on sait de plus que

g^′(0) = 1

f^′(g(0)) = 1

f^′(0) = 1.

• On fait apparaître ci-dessous les courbes représentatives def etf⁻¹ =g (symétriques par rapport à la droite d’équation y= x). On constate notamment que la courbe de g admet des tangentes verticales en−1 et en 1/3.

Exercice 10. Montrer que la fonctionf :]0; +∞[→R,x7→ −1+e^x−1+ln(x)est bijective. Préciser l’équation de la tangente à C^f−1 au point d’abscisses 0.

Exercice 11. On considère la fonction f définie par

f : R → R

x 7→ xe^x

(1) Déterminer les variations de f et ses limites à l’infini. Préciser l’équation de la tangente à C^f en 0.

(2) Montrer que f induit une bijection, que l’on notera h, de [−1; +∞[ sur [−e⁻¹; +∞[.

(3) On note W = h⁻¹. Justifier que W est dérivable sur ]−e⁻¹; +∞[ et montrer que, pour tout x∈]−e⁻¹; +∞[,

W^′(x) = W(x) x(1 +W(x)).

5 Dérivation et monotonie

Une des applications de la dérivation est l’obtention des variations de la fonction par le signe de la dérivée. Ces résultats sont connus et utilisés depuis le le lycée. On en rappelle les énoncés ci-dessous.

Théorème 2. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors, (i) f est croissante surI ⇐⇒ ∀x ∈I, f^′(x)>0.

(ii) f est décroissante surI ⇐⇒ ∀x∈I, f^′(x)60.

(iii) f est constante sur l ⇐⇒ ∀x∈I, f^′(x) = 0.

B Attention. Le théorème est fauxsi I n’est pas un intervalle. En effet, soit par exemplef la fonction définie sur R^⋆ par f(x) = ^|x_x^|. Alors, f est dérivable sur ]− ∞ : 0[ et sur ]0; +∞[ et, pour tout x ∈R^⋆, f^′(x) = 0. Pourtant f n’est pas une fonction constante. En effet, R^⋆ n’est pas un intervalle!

Proposition 8. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

(i) Si ∀x∈I, f^′(x)>0, alors la fonction est strictement croissante sur I.

(ii) Si ∀x∈I, f^′(x)<0, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.

Remarque 4. La réciproque de cette proposition est fausse! Par exemple, la fonction cube est strictement croissante sur R mais pourtant sa dérivée s’annule en 0.

Proposition 9. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

(i) Si ∀x ∈ I, f^′(x) > 0 et si f^′ ne s’annule qu’en un nombre fini de valeurs sur I, alors la fonction est strictement croissante sur I.

(ii) Si ∀x ∈ I, f^′(x) 6 0 et si f^′ ne s’annule qu’en un nombre fini de valeurs sur I, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.

6 Inégalité des accroissements finis

L’inégalité des accroissements finis, que l’on énonce ci-après, dans deux versions, permet d’obtenir un contrôle "linéaire" des variations d’une fonctionf entre deux points à partir de la dérivée def entre ces deux points.

Théorème 3 (I.A.F. version 1). Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On suppose qu’il existe deux réels m et M tels que

∀x∈]a, b[, m ≤f^′(x)≤M.

Alors,

m(b−a)6f(b)−f(a)6M(b−a).

☞ Graphiquement, cela signifie que la "pente" de la courbe entre a et b (c’est à dire le taux d’accroissement entre a et b) est minoré par le minimum de la dérivée entre a et b et majoré par son maximum.

Exercice 12. Montrer que pour tous réels a etb tels que a < b <−1, on a 06e^b−e^a 6 1

e(b−a).

Exercice 13. Montrer que :

∀n ∈N^⋆, 1

n+ 1 6ln(n+ 1)−ln(n)6 1 n.

Théorème 4(I.A.F. version 2). Soitf une fonction dérivable sur I. On suppose qu’il existe α∈R tel que

∀x∈I, |f^′(x)| 6α.

Alors,

∀x1, x2 ∈I, |f(x1)−f(x2)| ≤α|x1−x2|. Remarque 5.

• Dans cette deuxième version du théorème, les réels x1 et x2 sont rangés dans un ordre quelconque, alors que dans la première version du théorème, les réelsa etb vérifient a < b.

• Rappelons l’équivalence :

∀x∈I, |f^′(x)| ≤α⇐⇒ ∀x∈I, −α 6f^′(x)6α.

Exercice 14. Soit f la fonction définie sur ]−1,+∞[ par f(x) = 1 + ln(x+ 1). Montrer que :

∀x, y ∈[1,+∞[, |f(x)−f(y)|6 1

2|x−y|.

Exercice 15. Majorer l’erreur commise en faisant les approximations suivantes

√10001≃100, 1

0,999² ≃1.

6.1 Application. Convergence des suites u_n+1=f(un)

La deuxième version de l’inégalité des accroissements finis permet parfois d’étudier la convergence de suites définies par récurrence comme dans l’exercice ci-dessous.

Exercice 16. On considère la suite (un)n∈N définie par

u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 =f(un) =un+1

4(2−u²_n).

(1) Étudier les variations de f et montrer que f([1; 2])⊂[1; 2].

(2) Montrer que pour tout entier n, un∈[1; 2].

(3) Montrer que si(un) converge vers ℓ, alors ℓ =√ 2.

(4) Montrer que pour tout t∈[1; 2], |f^′(t)|6 ¹

2. (5) Montrer que pour tout entier n dans N

|un+1−√ 2|6 1

2|un−√ 2|, puis que :

|un−√ 2|6

1 2

n

. (6) En déduire la convergence de la suite (un).

7 Dérivées d’ordre supérieur

Définition 7. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Pour un entier naturel non nul k, on définit la dérivée d’ordre k de f (sous réserve d’existence) notée f^(k), par

f^(k) = f^(k−1)′

avec pour convention f⁽⁰⁾ =f.

Remarque 6. f⁽⁰⁾ =f, f⁽¹⁾ =f^′, f⁽²⁾ =f^′′ et∀h, k ∈N f^(h)(k)

=f^(h+k) = f^(k)(h)

. B La notation f^(k) n’a rien à voir avec la notion de puissance!

Exercice 17. Soit f la fonction définie sur R^⋆ par f(x) = ¹_x. (1) Calculer f^(k)(x) pourk ∈J1,4K et x∈R^⋆.

(2) Conjecturer une formule générale pour f⁽ⁿ⁾(x)puis la démontrer par récurrence sur n.

7.1 Fonctions de classe C^k ou de classe C^∞

Définition 8. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit k dans N^⋆. On dit que f est de classe C^k sur I si et seulement si f admet une dérivée d’ordre k sur I et si f^(k) est continue sur I.

Remarque 7.

• Sif est de classeC² surI, alorsf^′′ existe donc f^′ est dérivable surI donc en particulier f^′ est continue sur I donc f est de classe C¹ sur I.

• Plus généralement, si f est de classe C^k sur I, alors f est de classe C^p sur I, pour tout p∈J1, kK.

Définition 9. Soit f une fonction définie sur un intervalleI. On dit quef est de classeC^∞ sur I si et seulement si f est de classeC^k sur I pour tout k dans N^⋆.

Exemple.

• Les fonctions polynômes sont de classe C^∞ sur R.

• La fonction exponentielle est de classe C^∞ sur R et∀k ∈N^⋆, exp^(k) = exp.

• Les fonctions lnet x7→√

xsont de classe C^∞ sur R^⋆

+. Proposition 10. Soit k ∈N^⋆.

• Sif etg sont de classeC^k sur I, alors f+g, f g etλf (avec λ∈R) sont de classeC^k sur I.

• Sif etg sont de classeC^k surI et sig ne s’annule pas sur I, alors f

g est de classeC^k sur I.

• Si f est de classe C^k sur I et si g est de classe C^k sur J, avec J ⊇f(I), alors g ◦f est de classe C^k sur I.

8 Extrema Locaux

Définition 10. Soient f une fonction définie sur un ensembleD, à valeurs dans R et a∈ D. On dit que f admet un maximum (resp. minimum) en a si, pour tout x ∈ D, f(x) ≤ f(a) (resp.

f(x)≥f(a)). On désigne parextremum un maximum ou un minimum.

On dit que f admet un extremum local si il existe un voisinage de a sur lequel f admet un extremum en a.

Proposition 11. Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a∈I. Sif est un extremum local pour f alors, f^′(a) = 0.

B La réciproque n’est pas vraie, il faut ajouter une condition.

Théorème 5. Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a ∈I. Si f^′ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.

Plus précisément,

(i) Si f^′′(x)<0 au voisinage de a, alors a est un maximum local;

(ii) Si f^′′(x)>0 au voisinage de a, alors a est un minimum local;

(iii) Si f^′′(x) = 0 au voisiange de a, alors a est un point d’inflexion; la courbe de f change de concavité en a.

9 Convexité

9.1 Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Définition 11.

(1) Une fonction est dite convexe sur un intervalle I si

∀x₁, x₂ ∈I,∀t₁, t₂ ∈[0; 1] tels que t₁+t₂ = 1, f(t₁x₁ +t₂x₂)6t₁f(x₁) +t₂f(x₂).

(2) Une fonction est dite concave sur un intervalle I si

∀x1, x2 ∈I,∀t1, t2 ∈[0; 1] tels que t1+t2 = 1, f(t1x1+t2x2)>t1f(x1) +t2f(x2).

(3) On appelle point d’inflexion de C^f, un point d’abscisse x0 tel que f change de convexité en x0.

Remarque 8.

(1) Dire que f est concave surI revient donc à dire que −f est convexe sur I.

(2) Graphiquement, dire que f est convexe sur I = [a, b] revient à dire que l’arc de courbe joignant les points d’abscisses a et b est en dessous de la corde, c’est à dire la droite joignant ces deux points. (C’est le contraire si f est concave.)

Exercice 18.

(1) Rappeler l’allure des courbes de expet ln. Semblent-elles convexe(s)? Concave(s)?

(2) En admettant ces résultats de convexité, justifier les inégalités suivantes (a) e^x6(e−1)x+ 1 sur [0,1].

(b) ln(x)> x−1

e−1 sur [1, e].

9.2 Convexité pour les fonctions dérivables

Théorème 6. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, de courbe C^f.

• La fonction f est convexe sur I si et seulement si f^′ est croissante sur I.

• La fonctionf estconvexesurI si et seulement si sa courbe est située au dessus de chacune de ses tangentes.

• La fonction f est concave sur I si et seulement si f^′ est décroissante sur I.

• La fonctionf est concave sur I si et seulement si sa courbe est située au dessous de cha- cune de ses tangentes.

• Le point A d’abscisse x0 de la courbe C^f est un point d’inflexion si et seulement si f^′ change de monotonie en x0 (donc si f^′ admet un extremum local en x0).

• Le point A de la courbe C^f est un point d’inflexion si et seulement si la tangente en A traverse la courbe.

b b

b b

bO

~

~ı

b b b b b

b b

b

La fonction carrée est convexe sur R.

O

~

~ı

b b

b b b b

b

La fonction racine carrée est con- cave sur ]0; +∞[.

b

b b

b b

b bO

~

~ı

bb

b b

O point d’inflexion. La fonction cube est concave surR⁻, convexe surR⁺.

9.3 Convexité pour les fonctions deux fois dérivables

Comme la plupart des fonctions étudiées sont au minimum deux fois dérivables, le théorème suivant s’avère être le plus pratique de tous pour étudier la convexité des fonctions.

Théorème 7. Soit f une fonction de classe C² sur un intervalle I. Alors,

• La fonction f est convexe sur I si et seulement si ∀x∈I, f”(x)>0.

• La fonction f est concave sur I si et seulement si ∀x∈I, f”(x)60.

• Le point d’abscisse x0 de C^f est un point d’inflexion si et seulement si f^′′ s’annule en changeant de signe.

Exemple. On peut alors énoncer des résultats de convexité sur des fonctions usuelles:

(1) La fonction exponentielle est convexe sur R. (2) La fonction carré est convexe sur R.

(3) La fonction logarithme népérien est concave sur R^⋆₊. (4) La fonction cube est concave sur R₋ et convexe sur R₊ Exercice 19.

(1) Montrer que ∀x∈R, e^x >x+ 1.

(2) Montrer que ∀x∈R^⋆

+, ln(x)6x−1.

Exercice 20. Soit f la fonction définie sur ]1; +∞[ par f(x) = ln(ln(x)).

(1) Montrer que f est concave.

(2) En déduire que,

∀x, y >1, ln

x+y 2

≥p

ln(x) ln(y).

Exercice 21. Soit f la fonction définie sur ]0,1[ par f(x) = 1 lnx.

(1) Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0 et étudier la dérivabilité en 0 du prolongement.

(2) Étudier f.

(3) Étudier la convexité de f et montrer que la courbe représentative de f admet un point d’inflexion. Déterminer alors l’équation de la tangente en ce point.