Syst` emes dynamiques discrets
Automne 2009
S. Mousset
Universit´e Claude Bernard Lyon I – France
Table des mati` eres
1 Introduction
2 Mod`eles discrets dans R
3 R´ecapitulatifs – Syst`emes dynamiques dans R
Plan d´ etaill´ e
1 Introduction
Diff´erences syst`emes discrets / syst`emes continus
Des syst`emes discrets pour approximer les syst`emes continus : la m´ethode d’Euler
Diff´erences syst`emes discrets / syst`emes continus
Mod` eles continus et mod` eles discrets
Mod`eles continus Forme dndt =f(n) Equations diff´´ erentielles ordinaires
Adapt´es aux mesures continues et `a l’´evolution de ph´enom`enes macroscopiques continus.
Exemple : esp`eces `a cycle de reproduction non
synchronis´e et/ou
g´en´erations chevauchantes (bact´eries. . . ).
Mod`eles discrets
Forme nt+1 =f(nt) Suites
Adapt´es aux mesures ponctuelles et `a l’´evolution de ph´enom`enes discontinus.
Exemple : esp`eces `a cycle de reproduction synchronis´e et ponctuel (plantes
annuelles. . . ).
Mod` eles continus et mod` eles discrets
Choix d’un type de mod`ele
Le choix du type de mod`ele `a utiliser devra prendre en compte : Le ph´enom`ene `a mod´eliser (ex : diffusion `a travers une membrane, dynamique d’une population. . . )
Des crit`eres biologiques (cycles de vie synchrones ou non) Des crit`eres pratiques (dispositif exp´erimental, type de donn´ees r´ecolt´ees)
Diff´erences syst`emes discrets / syst`emes continus
Liens entre mod` eles discrets et mod` eles continus
dn
dt =f(n) ⇐⇒ df =f(n)dn
df est la diff´erentielle (petite variation) def pour une diff´erentielle dn den donn´ee.
Plan d´ etaill´ e
1 Introduction
Diff´erences syst`emes discrets / syst`emes continus
Des syst`emes discrets pour approximer les syst`emes continus : la m´ethode d’Euler
Des syst`emes discrets pour approximer les syst`emes continus : la m´ethode d’Euler
Approximation de la solution d’un syst` eme continu : m´ ethode d’Euler
dn
dt =f(n) = lim
δt→0
δn δt On comptant le temps en unit´es deδt, on obtient
δn
δt ≈f(n) nt+1−nt ≈f(n)δt
Approximation de la solution d’un syst` eme continu : m´ ethode d’Euler
La m´ethode d’Euler consiste `a approximer la solution d’une
´equation diff´erentielle par une suite, en utilisant un pas de temps δt suffisament petit.
nt+1 =nt +f(n)δt
Des syst`emes discrets pour approximer les syst`emes continus : la m´ethode d’Euler
Application au mod` ele exponentiel
Mod`ele continu dn
dt =λn n(t) =n0eλt
Approximation discr`ete nt+1 =nt +δtλnt
Application au mod` ele exponentiel
0 2 4 6 8 10
1.01.52.02.5
temps
n
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Table des mati` eres
1 Introduction
2 Mod`eles discrets dans R
3 R´ecapitulatifs – Syst`emes dynamiques dans R
Plan d´ etaill´ e
2 Mod`eles discrets dans R La suite de Fibonacci
Analyse qualitative des syst`emes discrets Un exemple non biologique
Le mod`ele logistique discret
La suite de Fibonacci
Un mod` ele historique : la suite de Fibonacci (1228)
Fibonacci mod`elise l’´evolution de l’effectif d’une population de lapins avec les hypoth`eses suivantes :
Un couple de lapin adultes produit chaque mois un couple de jeunes lapins.
Un couple de jeunes lapins est adulte apr`es deux mois.
Les lapins ne meurent jamais.
Un mod` ele historique : la suite de Fibonacci (1228)
Chaque mois, l’effectif des lapins comprend :
Les couples de lapins qui ´etaient pr´esents le mois pr´ec´edent.
Les nouveaux-n´es qui descendent des couples de lapins adultes. Les lapins adultes sont tous-ceux qui ´etaient pr´esents deux mois auparavant.
La suite de Fibonacci s’´ecrit donc :
un =un−1+un−2
La suite de Fibonacci
Un mod` ele historique : la suite de Fibonacci (1228)
mois 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
jeunes 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 44 65
adultes 0 1 1 2 3 5 8 13 21 44 65 99
total 1 1 2 3 5 8 13 21 44 65 99 164
La suite de Fibonacci
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
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5 10 15 20
0200040006000
temps
Effectif
La suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci
Taux d’accroissement
Rn = un
un−1
⇐⇒ Rn = un−1+un−2
un−1
⇐⇒ Rn = 1 + un−2
un−1
⇐⇒ Rn = 1 + 1 Rn−1
S’il existe une limiteϕpour Rn, elle v´erifie ϕ= 1 + 1
ϕ ⇐⇒ ϕ2−ϕ−1 = 0
La suite de Fibonacci
Taux d’accroissement
ϕ= 1 + 1
ϕ ⇐⇒ ϕ2−ϕ−1 = 0 (1) L’´equation 1 admet deux racines r´eelles :
ϕ1,2 = 1±√ 5 2 Il existe une seule racine positiveϕ= 1+
√5 2
La suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci
Taux d’accroissement
●
●
●
●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
5 10 15 20
1.01.52.0
temps unun−1
Plan d´ etaill´ e
2 Mod`eles discrets dans R La suite de Fibonacci
Analyse qualitative des syst`emes discrets Un exemple non biologique
Le mod`ele logistique discret
Analyse qualitative des syst`emes discrets
Analyse qualitative des syst` emes discrets
Points d’´equilibre
Soit un mod`ele discret du type
un+1=f(un)
Un point d’´equilibre U? de ce syst`eme est un point qui v´erifie f(U?) =U?
Comme pour les syst`emes continus, l’existence d’un point d’´equilibre n’implique pas une convergence vers ce point.
Repr´ esentation en toile d’araign´ ee (cobweb)
Application `a la suiteR(n)
1.0 1.5 2.0 2.5
1.01.52.02.5
Rn Rn+1
Analyse qualitative des syst`emes discrets
Stabilit´ e des points d’´ equilibre
Soit une suiteun =f(un−1) admettant un point d’´equilibreU?. On lin´earisef au voisinage d’un point d’´equilibreU?.
f(U?+x) =f(U?) +x df du
u=U?
Si∃ >0|∀x ∈R+< ,|f(U?+x)−U?|<|x|, alors le point d’´equilibreU? est un point d’´equilibre stable.
Stabilit´ e des points d’´ equilibre
Th´eor`eme :
Soit une suiteun =f(un−1) admettant un point d’´equilibreU?. Si
df du(U?)
<1, alors U? est un point d’´equilibre stable.
Si
df du(U?)
>1, alors U? est un point d’´equilibre instable.
Un exemple non biologique
Plan d´ etaill´ e
2 Mod`eles discrets dans R La suite de Fibonacci
Analyse qualitative des syst`emes discrets Un exemple non biologique
Le mod`ele logistique discret
Exemple de la suite u
n+1= −
1+uλun2n
(λ > 0)
Points d’´equilibre
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0−0.50.00.51.0
un un+1
f(x) =−1+xλx2
Un seul point d’´equilibre u∗ = 0
f0(u∗) =f0(0) =−λ
Un exemple non biologique
Exemple de la suite u
n+1= −
1+uλun2n
(λ > 0)
Stabilit´e deu∗= 0
Cas0< λ <1, avecu0 = 0.9 ⇒ u∗ = 0est stable.
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0−0.50.00.51.0
un+1
Exemple de la suite u
n+1= −
1+uλun2n
(λ > 0)
Stabilit´e deu∗= 0
Cas0< λ <1, avecu0 = 0.9 ⇒ u∗ = 0est stable.
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0−0.50.00.51.0
un+1
Un exemple non biologique
Exemple de la suite u
n+1= −
1+uλun2n
(λ > 0)
Stabilit´e deu∗= 0
Cas1< λ, avecu0 = 0.05 ⇒ u∗ = 0 est instable.
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0−0.50.00.51.0
un+1
Exemple de la suite u
n+1= −
1+uλun2n
(λ > 0)
Stabilit´e deu∗= 0
Cas1< λ, avecu0 = 0.05 ⇒ u∗ = 0 est instable.
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0−0.50.00.51.0
un+1
Le mod`ele logistique discret
Plan d´ etaill´ e
2 Mod`eles discrets dans R La suite de Fibonacci
Analyse qualitative des syst`emes discrets Un exemple non biologique
Le mod`ele logistique discret
Le mod` ele logistique discret
´Equations du mod`ele
nt+1=nt+rnt
1−nt
K
Le mod`ele logistique discret
Le mod` ele logistique discret
Stabilit´e des points d’´equilibre
n?=n?+rn?
1−n? K
Il existe deux points d’´equilibre :
n?= 0 n? =K
Le mod` ele logistique discret
Points d’´equilibre
nt+1=nt+rnt
1−nt
K
df
dn = 1 +r −2rn K
n?= 0 df
dn(0) = 1 +r >1 donc n? = 0 est un point d’´equilibre instable.
n?=K df
dn(K) = 1−r
Sir <2 alorsn?=K est un point d’´equilibre stable.
Sir >2 alorsn?=K est un point d’´equilibre instable.
Le mod`ele logistique discret
Le mod` ele logistique discret
r<1
0.0 0.5 1.0 1.5
0.00.51.01.5
Nt Nt+1
Le mod` ele logistique discret
1<r<2oscillations amorties
0.0 0.5 1.0 1.5
0.00.51.01.5
Nt Nt+1
Le mod`ele logistique discret
Le mod` ele logistique discret
r>2cycle limite `a deux ´etats
0.0 0.5 1.0 1.5
0.00.51.01.5
Nt Nt+1
Le mod` ele logistique discret
r>2cycle limite `a quatre ´etats
0.0 0.5 1.0 1.5
0.00.51.01.5
Nt Nt+1
Le mod`ele logistique discret
Le mod` ele logistique discret
r>2cycle limite `a huit ´etats
0.0 0.5 1.0 1.5
0.00.51.01.5
Nt Nt+1
