Chapitre 6
Suites et séries de fonctions
Table des matières
6 Suites et séries de fonctions 1
6.1 Convergence simple, uniforme d’une suite de fonctions . . . . 1
6.2 Intégration sur un segment et convergence uniforme . . . . 8
6.3 Dérivation et convergence uniforme . . . . 9
6.4 Approximation des fonctionsHors programme en PC . . . . 11
6.5 Intégration sur un intervalle : théorème de convergence dominée . . . . 11
6.6 Modes de convergence d’une série de fonctions . . . . 12
6.7 Convergence uniforme et continuité . . . . 16
6.8 Intégration sur un segment d’une série de fonctions . . . . 18
6.9 Intégration terme à terme sur un intervalle d’une série de fonctions . . . . 19
6.10 Exercices . . . . 20
6.11 Dérivation d’une série de fonctions . . . . 24
6.1 Convergence simple, uniforme d’une suite de fonctions
Dans ce paragraphe, on donne les définitions pour des fonctionsf : X7→R. On les adapte dans le cas où les fonctions sont à valeurs dansCou même dans un evn. Il suffit de remplacer les valeurs absolues par le module ou la norme.
DÉFINITION6.1 ⋆⋆⋆ Convergence simple d’une suite de fonctions
On considère un ensemble non-vide quelconqueXet une suite de fonctions(fn)∈F(X,R)N où∀n∈N, fn : X7→R. On dit que la suite de fonctions(fn)n∈N converge simplementvers une fonction f : X7→Rsi pour toutx∈X, la suite numérique¡fn(x)¢
converge versf(x)dansR. Autrement dit :
∀x∈X, ∀ε>0, ∃N∈N: ∀n∈N, nÊN =⇒ ¯
¯f(x)−fn(x)¯
¯Éε.
Remarque 6.1 Dans cette définition, le rangNdépend dexetε.
PLAN6.1 : Pour étudier la convergence simple d’une suite de fonctions(fn) Pour étudier la convergence simple d’une suite de fonctions(fn),
1 Fixerx∈X.
2 Étudier la suite(fn(x)).
3 Noterf(x)=limn→+∞fn(x)
4 On définit ainsi une fonction f : X7→R, etfn cvs
−−−−−→n
→+∞ f.
X x
y=f(x)
y=f0(x) y=fn(x) f0(x)
fn(x) f(x)
FIGURE6.1 – Convergence simple d’une suite de fonctions
Exemple 6.1 On considère la suite de fonctions(fn)n∈Nde[0, 1]versRdéfinies par : fn:
½ [0, 1] −→ R
x 7−→ xn
Étudions la convergence simple de(fn). Six∈[0, 1[alorsfn(x)−−−−−→n
→+∞ 0et six=1alorsfn(x)=1−−−−−→n
→+∞ 1donc(fn)converge simplement vers
f :
[0, 1] −→ R
x 7−→
(0 six∈[0, 1[
1 six=1 .
Remarque 6.2 Si on considère une suite de fonctions(fn)définies surIà valeurs réelles qui converge simplement sur Ivers une fonctionf : I→R, il est naturel de se demander quelles propriétés des fn passent à la la limite f. Étudions plus précisément le problème de la continuité : si pour toutn∈N,fn∈C0(I), qu’en est-il def? On a vu dans l’exemple précédent quef n’est pas nécessairement continue surI. Essayons alors de comprendre quelle(s) hypothèse(s) imposer à (fn)pourf soit continue surI. Tentons un calcul : considéronsa∈Ietε>0. Pourx∈I, essayons de majorer¯¯f(x)−f(a)¯
¯ parε. Il faut faire intervenir nos hypothèses qui sont la convergence simple de fn vers f et la continuité desfn. Ceci nous invite à écrire :
¯¯f(x)−f(a)¯
¯=¯
¯f(x)−fn(x)+fn(x)−fn(a)+fn(a)−f(a)¯
¯É¯
¯f(x)−fn(x)¯
¯+¯
¯fn(x)−fn(a)¯
¯+¯
¯fn(a)−f(a)¯
¯.
On aimerait alors majorer chacun de ces3termes parε/3pour que leur somme soit plus petite queε.
1 On sait que pour tout n∈N, fn est continue surIdonc il existeη>0qu’on noteraη(n)car il dépend de la fonctionfn considérée tel que six∈I∩¤
a−η(n),a+η(n)£
alors¯¯fn(x)−fn(a)¯
¯Éε/3.
2 Comme fn(x)−−−−−→n
→+∞ f(x), il existe un rangN∈N, qu’on noteraN(x)car il dépend dex, tel que¯¯f(x)−fn(x)¯
¯É ε/3sinÊN(x).
3 On a alors¯¯f(x)−fn(x)¯
¯Éε/3sinÊN(a).
Afin d’obtenir la majoration souhaitée, il faut donc vérifier les deux « conditions croisées » qui sont «x ∈ I∩
¤a−η(n),a+η(n)£
» et «nÊN(x)pour toutx∈I∩¤
a−η(n),a+η(n)£
» et le principal obstacle est dû au fait que le rangNest dépendant dex. Si on suppose que ce n’est pas le cas, c’est-à-dire si on suppose qu’il existeNtel que pour toutx∈Iet pour toutn∈N,¯¯f(x)−fn(x)¯
¯Éε/3alors on obtient facilement notre majoration et on sait donc montrer que f est continue ena. Ces considérations nous amènent à la définition suivante.
DÉFINITION6.2 ⋆ Convergence uniforme d’une suite de fonctions
On considère un ensemble non-vide quelconqueXet une suite de fonctions(fn)∈F(X,R)N. On dit que cette suite de fonctionsconverge uniformémentvers une fonctionf : X7→Esi et seulement si :
∀ε>0, ∃N∈N: ∀n∈N, nÊN =⇒ £
∀x∈X, |fn(x)−f(x)| Éε¤
Remarque 6.3 Dans le cas des fonctions à valeurs dansR, cela signifie que pour toute bande délimitée par f −εet f+ε, à partir d’un certain rang, tous les graphes des fonctionsfn se trouvent dans cette bande. Voir la figure 6.2
Remarque 6.4 Il est instructif de comparer les définitions avec quantificateurs de la convergence simple et de la convergence uniforme. Dans le convergence simple, le «N» dépend duxet duεchoisi tandis qu’il ne dépend que duε dans le cas de la convergence uniforme, voir remarque 6.1.
X y=f(x) y=fn(x)
ε
FIGURE6.2 – Convergence uniforme
PROPOSITION6.1 ⋆ Caractérisation de la convergence uniforme aveckk∞
Une suite de fonctions(fn)n∈N∈F(X,R)Nconverge uniformément versf ∈F(X,R)si et seulement si : 1. À partir d’un certain rang, les fonctions(fn−f)sont bornées.
2. kfn−fk∞−−−−−→n
→+∞ 0. Démonstration
⇒ On suppose que(fn)converge uniformément versf. Soitε>0. À partir d’un certain rangN, sinÊNalors
∀x∈I, ¯
¯fn(x)−f(x)¯
¯Éε
donc à partir d’un certain rangfn−f est bornée on peut prendre sa norme sup et on akfn−fk∞Éε. On peut alors de plus affirmer quekfn−fk∞−−−−−→n
→+∞ 0.
⇐ Si à partir d’un certain rang, les fonctions(fn−f)sont bornées, alors on peut leur appliquer la normek.k∞et comme kfn−fk∞−−−−−→n
→+∞ 0alors pourε>0fixé, il existe un rangNtel que sinÊNalorskfn−fk∞Éε. Donc pour toutx∈I,
¯¯fn(x)−f(x)¯
¯Éεet on en déduit que(fn)converge uniformément versf.
Remarque 6.5 Si les fonctionsfnetf sont toutes bornées, pour étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn)vers la fonction f, on étudie la suite de réelsαn= kfn−fk∞. La normek.k∞s’appelle lanorme de la convergence uniforme.
Remarque 6.6 Si(fn)etf sont des fonctions bornées telles que(fn)converge uniformément versf alors kfnk∞−−−−−→
n→+∞ kfk∞. En effet¯¯kfk∞− kfnk∞
¯¯É kf−fnk∞−−−−−→n
→+∞ 0.
THÉORÈME6.2 ⋆⋆⋆ CV uniforme =⇒ CV simple
Soit une suite de fonctions(fn)∈F(X,R)N et une fonctionf : X7→R. Si la suite de fonctions(fn)converge uniformé- ment vers la fonctionf, alors la suite de fonctions(fn)converge simplement versf :
fn cvu
−−−−−→n
→+∞ f =⇒ fn cvs
−−−−−→n
→+∞ f
Démonstration C’est immédiat !
PLAN6.2 : Pour étudier la convergence d’une suite de fonctions(fn) Pour étudier la convergence d’une suite de fonctions(fn):
1 Étudier la convergence simple : fixerx∈Xet étudier la limite de la suite numérique(fn(x)).
2 Définir la fonction limite simple : f :
½ X −→ R
x 7−→ limn→+∞fn(x)
3 Étudier la convergence uniforme : si la suite de fonctions converge uniformément, ce ne peut être que vers la fonctionf.
4 Calculer (ou majorer)kfn−fk∞et montrer quekfn−fk∞−−−−−→n
→+∞ 0.
Voici trois exemples « graphiques » de suites de fonctions qui convergent simplement mais pas uniformément :
n n+1
1 y=fn(x)
(a) bosse glissante
1 n
y=fn(x) 1
(b) pic rétrécissant
1 2n
1 n
y=fn(x) n
(c) pic évanescent FIGURE6.3 – Pas de convergence uniforme
1. Dans le premier cas, on montre que(fn)converge simplement vers la fonction nulle. Les fonctions f et fn sont bornées. De pluskf −fnk∞,R
+=16→0donc la convergence n’est pas uniforme.
2. Dans le second cas, on montre que(fn)converge simplement vers
f :
R+ −→ R
x 7−→
(1 six=0 0 sinon
.
Là encore les fonctions f etfn sont bornées maiskf−fnk∞=16→0.
3. Dans le dernier exemple, montrons que(fn) converge simplement vers la fonction nulle. Soit x∈R∗
+. À partir d’un certain rang(N=E(1/x)+1), on a1/n<x donc fn(x)=0et f(x)=0. On a aussi pour toutn∈N, fn(0)= 0−−−−−→n
→+∞ 0ce qui prouve le résultat. Remarquons que là encore, les fonctionsf etfnsont toutes bornées. Par contre kfn−fk∞=n6−−−−−→n
→+∞ 0donc la convergence n’est pas uniforme.
Exemple 6.2 On considère la suite de fonctions(fn)définies par : fn:
½ [0,+∞[ −→ R x 7−→ nαxe−nx oùα>0est un réel fixé. Étudions la convergence simple et uniforme de cette suite.
1. CV simple. Àxfixé, fn(x)−−−−−→n
→+∞ 0. La suite converge simplement vers la fonction nulle.
2. CV uniforme. Calculonskfnk∞en étudiant les variations de fn ànfixé.
fn′(x)=nαe−nx£ 1−nx¤
On en déduit que pour toutn,fn−f =fnest bornée surR+et quekfnk∞=f(1/n)=nα−1e−1. La suite converge uniformément si et seulement siα<1.
PROPOSITION6.3 ⋆⋆ La limite uniforme de fonctions bornées est bornée Soit(fn)n∈N∈F(X,R)Nune suite de fonctions etf : X7→R. On suppose que :
H1 (fn)converge uniformément versf surX.
H2 Les fonctions(fn)sont bornées surX. Alors la fonctionf est bornée surX.
Démonstration On sait que pour toutn∈N,fn est bornée surXalors commefn cvu
−−−−−→n
→+∞ f, on sait aussi, d’après la proposition 6.1, que les fonctionsf−fnsont bornées à partir d’un certain rang. Maisf=(f−fn)+fnest une somme de fonction bornées sur Xet est donc bornée surX(car les fonctions bornées surXforment un sous-espace vectoriel deF(X,R)).
Remarque 6.7 Ce résultat est faux si on suppose uniquement la convergence simple. Par exemple, la fonction expo- nentielle n’est pas bornée sur[0,+∞[, et si l’on définit la suite de fonctions(fn)par :
fn:
R+ −→ R
x 7−→
(ex six∈[0,n] 0 six>n
Alors ces fonctions sont toutes bornées et la suite(fn)converge simplement versf :x7→ex. THÉORÈME6.4 ⋆⋆⋆ La limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue
Soit une partieA⊂Ret une suite(fn)∈F(A,R)N de fonctions définies surXet f : A7→R. Soit un pointx0∈A. On suppose que :
H1 Pour toutn∈N, la fonctionfn est continue au pointx0.
H2 La suite de fonctions(fn)converge uniformément vers la fonctionf. Alors la fonctionf est continue au pointx0.
Démonstration Soitε>0. Puisque la suite(fn)converge uniformément versf, il existe un rangN∈Ntel que pour toutnÊN, kfn−fk∞Éε/3. Posonsn=N. Puisque la fonctionfn est continue au pointx0, il existeα>0tel que∀x∈X,|x−x0| Éα =⇒
|fn(x)−fn(x0)| Éε/3. Soit alorsx∈Xtel que|x−x0| Éα. Majorons :
|f(x)−f(x0)| =
¯¯
¯[f(x)−fn(x)]+[fn(x)−fn(x0)]+[fn(x0)−f(x0)]¯
¯¯
É |f(x)−fn(x)| + |fn(x)−fn(x0)| + |fn(x0)−f(x0)| Éε/3+ε/3+ε/3
=ε
Remarque 6.8 Ce résultat est faux si l’on suppose uniquement la convergence simple, penser au pic rétrécissant ou à la figure 6.4.
1
1 2
1 2+1n
FIGURE6.4 – La limite simple de fonctions continues peut ne pas être continue
Remarque 6.9 On peut se servir de ce théorème pour montrer qu’une suite de fonctions ne converge pas uniformément.
Exemple 6.3 On considère la suite de fonctions(fn)n∈Ndéfinies par : fn:
½ [0, 1] −→ R
x 7−→ xn
Étudions la convergence simple et uniforme de cette suite. On sait, d’après l’exemple 6.1 qu’elle converge simplement vers la fonction
f :
[0, 1] −→ R
x 7−→
(0 six6=1 1 six=1
Il n’y a pas convergence uniforme puisque les fonctionsfn sont continues au point1mais pas la fonctionf.
Remarque 6.10 La continuité est une notion locale, aussi pour qu’une fonctionf obtenue comme limite simple d’une suite de fonctions continues(fn)soit continue en un point deIest-il suffisant d’avoir la convergence uniforme de cette suite sur un segment portant ce point (en dehors de ses extrémités) et inclus dansI. Ainsi, pour prouver la continuité de f surI, il suffit que(fn)converge uniformément versf sur tout segment deI.
PROPOSITION6.5 ⋆ Pour la convergence uniforme sur tout segment, la limite d’une suite de fonctions continues est continue
Soit un intervalleI⊂Ret une suite de fonctions(fn)∈F(I,R)Netf : I7→E. On suppose que :
H1 toutes les fonctionsfnsont continues surI;
H2 la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur tout segment deI. Alors la fonctionf est continue surI.
Démonstration Soitx0∈I. Montrons quef est continue au pointx0. On peut trouver un segmentK⊂Itel quex0∈K. Comme fn cvu
−−−−→n
→∞ f surKet que pour toutn∈N, la fonctionfnest continue surKalors la fonctionf est continue surKet en particulier au pointx0.
La proposition suivante est un corollaire immédiat de la proposition 6.1.
PROPOSITION6.6 ⋆ Convergence uniforme sur tout segment
Soit une partieI⊂Ret une suite de fonctions(fn)∈F(X,R)N. Alors la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur tout segmentvers la fonctionf : I7→Esi et seulement si pour tout segmentK=[a,b]⊂I:
1. À partir d’un certain rang f −fnest bornée surK; 2. kfn−fk∞,K=sup
x∈K|fn−f| −−−−−→n
→+∞ 0.
Remarque 6.11 En pratique, on ne cherche pas à prouver la convergence uniforme d’une suite de fonctions sur tout segment deImais seulement sur unefamille exhaustive de parties deI, c’est-à-dire une famille(Kω)ω∈Ωde parties deI telle que pour tout segment[a,b]deI, il existeω∈Ωtel que[a,b]⊂Kω. Souvent, pour la famille(Kω)ω∈Ω, on considère :
— quandI=R,Ka=[−α,α]avecα∈R∗ +.
— quandI=R∗
+,Kn=[α,+∞]avecα∈R∗
+. Exemple 6.4 Considérons pour toutn∈N∗,
fn:
R −→ R x 7−→
(x2sinnx1 six6=0
0 six=0
.
1. Pour x∈R∗, fn(x)=x2sinnx1 n ∼
→+∞
x n −−−−−→n
→+∞ 0 et fn(0)=0−−−−−→n
→+∞ 0 donc fn cvs
−−−−→n
→∞ f où f est la fonction identiquement nulle surR.
2. On a fn(n)=n2sin 1
n2 n ∼
→+∞1donc on ne peut avoir convergence uniforme de fnsurRversf.
3. PosonsK=[−α,α]avecα>0. Alors, en utilisant l’inégalité classique∀x∈R, |sinx| É |x|, il vient pour tout x∈K,
¯¯fn(x)¯
¯É
¯¯x2¯
¯ n|x|=|x|
n Éα n donckf−fnk∞,KÉα
n −−−−−→
n→+∞ 0. On en déduit quefn converge versf uniformément sur tout segmentK=[−α,α]. Si[a,b]est un segment deRalors[a,b]⊂[−α,α]avecα=max (|a|,|b|)et donc on a aussi convergence uniforme defn versf sur[a,b]. En conclusion,fn converge uniformément versf sur tout segment deR.
Remarque 6.12 Bien réfléchir à la remarque suivante : c’est une source d’erreurs classiques ! On considère une suite de fonctions(fn)définies sur un intervalleIet on suppose que cette suite de fonctions converge simplement vers une fonctionf : I7→Iet que la convergence est uniforme sur tout compact deI.
— On a prouvé quef était continue surI.
— Il peut ne pas y avoir de convergence uniforme surI! Par exemple, siI=[0, 1[et fn(x)=xn, montrer qu’il y a CVU sur tout segment[a,b]⊂[0, 1[, mais pas CVU sur[0, 1[.
Toute la fin de cette section est hors programme.
THÉORÈME6.7 ⋆ Double limiteHORS PROGRAMME EN PC
SoitA⊂R une partie deR, et un point adhérenta∈A. On considère une suite de fonctions(fn)∈F(A,R)N et une fonctionf : A7→R. On suppose que :
H1 ∀n∈N,fn(x)−−−→
x→a ln∈R.
H2 La suite de fonctions(fn)converge uniformément vers la fonctionf. Alors :
1. La suite numérique(ln)converge versl∈R. 2. f(x)−−−→x
→a l.
Démonstration
1. Montrons que la suite(ln)est de Cauchy. Soitε>0. Puisque la suite de fonctions(fn)converge uniformément vers f, il existe un rangN∈Ntel que
∀nÊN, kfn−fk∞Éε/2 Soit alorsnÊNetp∈N, pour toutx∈A,
|fn(x)−fn+p(x)| = |[fn(x)−f(x)]+[f(x)−fn+p(x)]| É |fn(x)−f(x)| + |f(x)−fn+p(x)| Éε Passons à la limite dans les inégalités lorsquex→a:
|ln−ln+p| Éε Comme la suite(ln)est de Cauchy, elle est convergente versl∈R. 2. Montrons quef(x)−−−−→x
→a l. Soitε>0.
— Comme la suite de fonctions(fn)converge uniformément versf, il existe un rangN1∈Ntel que∀nÊN1,kfn−fk∞É ε/3.
— Comme la suite(ln)converge versl, il existe un rangN2∈Ntel que∀nÊN2,|ln−l| Éε/3. Posonsn=max(N1, N2). Puisquefn(x)−−−−→x
→a ln, il existeα>0tel que∀x∈A, si|x−a| Éα, alors|f(x)−ln| Éε/3. Soit alorsx∈Atel que|x−a| Éα. Majorons :
|f(x)−l| = |[f(x)−fn(x)]+[fn(x)−ln]+[ln−l]| É |f(x)−fn(x)| + |fn(x)−ln| + |ln−l| Éε/3+ε/3+ε/3
=ε
Remarque 6.13 On peut donc sous l’hypothèse de convergence uniforme « intervertir » les limites :
n→+∞lim
¡lim
x→afn(x)¢
=lim
x→a
¡ lim
n→+∞fn(x)¢
Remarque 6.14 Le résultat précédent reste valable pour des limitesln= ±∞.
COROLLAIRE6.8 ⋆ C(K)est un sev ferme deL∞(K)HORS PROGRAMME EN PC
SiK⊂Rest une partie compacte, on considère l’evnL∞(K)l’ensemble des fonctions bornées surK, muni de la norme k.k∞. Alors l’ensembleC(K)des fonctions continues surKest un sous-espace fermé deL∞(K).
Démonstration
1. Une fonction continue sur un compact est bornée, doncC(K)⊂B(K).
2. Soit une suite(fn)∈C(K)Nqui converge versf ∈B(K). Puisquekfn−fk∞−−−−−→n
→+∞ 0, la suite(fn)converge uniformément surK. D’après le théorème précédent, la fonctionf est continue surK, doncf∈C(K).
6.2 Intégration sur un segment et convergence uniforme
On a souvent à étudier la limite d’une suite d’intégrales. Par exemple, chercher la limite de la suite(In)n∈Ndéfinie par In=
Z1 0
n4+x4 (n+x)4dx La tentation est grande de dire qu’àxfixé,
n4+x4 (n+x)4−−−−−→n
→+∞ 1
1 n
2 n
n
FIGURE6.5 – Un pic glissant
et « donc » queIn−−−−−→n
→+∞
Z1 0
dx=1. Ce « raisonnement » peut être faux comme le montre l’exemple suivant.
Considérons la suite de fonctions(fn)continues sur[0, 1]définies selon la figure 6.5 :
nlim→+∞
Z1
0 fn(x) dx6=
Z1 0
( lim
n→+∞fn(x)) dx
En effet,R01fn(x)dx=1/2et on a montré auparavant que(fn)convergeait simplement (et pas uniformément...) vers la fonction nulle. DoncZ1
0
( lim
n→+∞fn(x)) dx=0.
THÉORÈME6.9 ⋆⋆⋆ Intégrale d’une limite uniforme de fonctions continues
On considère une suite de fonctions(fn)∈C([a,b],R)Ncontinues sur un segment[a,b]. On suppose que
H1 La suite de fonctions(fn)convergeuniformémentvers une fonctionf : [a,b]7→Rsur le segment[a,b]. Alors la fonctionf est continue sur le segment[a,b], et
Zb
a fn(x) dx−−−−−→n
→+∞
Zb
a f(x) dx.
Démonstration Comme(fn)converge uniformément versf sur[a,b],f est continue sur[a,b]et donc intégrable sur[a,b]. Soit n∈N,
¯¯
¯ Zb
a fn(x) dx− Zb
a f(x) dx
¯¯
¯=
¯¯
¯ Zb
a
£fn(x)−f(x)¤ dx É
Zb a
¯¯fn(x)−f(x)¯
¯dx É(b−a)kfn−fk∞−−−−−→
n→+∞ 0
Remarque 6.15 Sous l’hypothèse de convergence uniforme, on peut donc inverser limite et intégrale :
nlim→+∞
Zb
a fn(x) dx= Zb
a
¡ lim
n→+∞fn(x)¢ dx
Remarque 6.16 On peut se servir de ce théorème pour montrer qu’une suite de fonctions ne converge pas uniformément.
Exemple 6.5 On considère la suite de fonctions(fn)n∈Ndéfinies par fn:
½ [0, 1] −→ R
x 7−→ n2xn(1−x) 1. Montrer que(fn)n∈Nconverge simplement.
2. Calculer pourn∈N,Z1
0 fn(x) dx.
3. En déduire que la convergence n’est pas uniforme.
4. Calculer explicitementkfnk∞et retrouver le résultat.
Solution :
1. Si x = 1, fn(1)=0 −−−−−→n
→+∞ 0. Si x ∈[0, 1[, la suite géométrique (xn) converge vers 0 et xn =o(n2). Donc fn(x)−−−−−→n
→+∞ 0. Par conséquent, la suite de fonctions(fn)converge vers la fonction nullef. 2. On calculeIn=
Z1
0 fn(x) dx= n2
(n+1)(n+2)−−−−−→
n→+∞ 1.
3. Il ne peut pas y avoir convergence uniforme de(fn) vers f car alors d’après le théorème précédent, on aurait Z1
0 fn(x) dx−−−−−→n
→+∞ 0.
4. On étudie les variations defn:
fn′(x)=n2xn−1£
n−(n+1)x¤ et donc
kfnk∞=fn
³ n n+1
´
= n2 n+1enln
¡1− 1 n+1
¢
n→+∞∼ n e On a donckfn−fk∞−−−−−→
n→+∞ +∞, et il n’y a pas convergence uniforme.
6.3 Dérivation et convergence uniforme
Une limite uniforme de fonctionC1sur un intervalle n’est pas forcémentC1, voir l’exercice??. Nous établissons dans cette section une condition suffisante pour que ce soit le cas.
On a alors le théorème :
THÉORÈME6.10 ⋆⋆⋆ Dérivation et convergence uniforme
On considère une suite d’applications(fn)n∈N∈F(I,R)Ndéfinies sur un intervalleI⊂R. On suppose que :
H1 ∀n∈N,fn∈C1(I,R).
H2 La suite de fonctions(fn)n∈Nconvergesimplementvers une fonctionf : I7→R.
H3 La suite de fonctions(fn′)n∈NconvergeuniformémentsurIvers une applicationg: I7→R. Alors :
1. La suite de fonctions(fn)n∈Nconverge uniformément sus tout segmentK⊂Iversf surI. 2. La fonctionf est de classeC1surI
3. f′=g.
qui est un cas particulier de :
THÉORÈME6.11 ⋆⋆⋆ Dérivation et convergence uniforme sur tout segment
On considère une suite d’applications(fn)n∈N∈F(I,R)Ndéfinies sur un intervalleI⊂R. On suppose que :
H1 ∀n∈N,fn∈C1(I,R).
H2 La suite de fonctions(fn)n∈Nconvergesimplementvers une fonctionf : I7→R.
H3 La suite de fonctions(fn′)n∈Nconvergeuniformémentsur tout segmentK⊂Ivers une applicationg: I7→R. Alors :
1. La suite de fonctions(fn)n∈Nconverge uniformément versf sur tout segmentK⊂I. 2. La fonctionf est de classeC1surI
3. f′=g.
Démonstration Fixons un pointa∈I.
Sif estC1surIet quef′=galors on doit avoir par le théorème fondamental de l’analyse pour toutx∈I,f(x)=f(a)+Rx ag(t)dt. Voilà qui motive le calcul suivant :
1. Montrons que la suite (fn)converge uniformément vers la fonctionG :x7→f(a)+Rx
ag(t)dt sur tout segment. Soit un segmentK⊂Ietx∈I, on a :
¯¯fn(x)−[f(a)+ Zx
a g(t)dt]¯
¯=
¯¯
¯¯fn(x)−fn(a)+fn(a)−f(a)− Zx
a g(t)dt
¯¯
¯¯
É
¯¯
¯¯fn(x)−fn(a)− Zx
a g(t)dt
¯¯
¯¯+¯
¯fn(a)−f(a)¯
¯
É
¯¯
¯¯ Zx
a fn′(t)dt− Zx
a g(t)dt
¯¯
¯¯+¯
¯fn(a)−f(a)¯
¯
É Zx
a
¯¯fn′(t)−f′(t)¯
¯dt+¯
¯fn(a)−f(a)¯
¯
É Zb
a
¯¯fn′(t)−f′(t)¯
¯dt+¯
¯fn(a)−f(a)¯
¯ É(b−a)kfn′−fk∞,K+¯
¯fn(a)−f(a)¯
¯ Par passage à la borne sup, on en déduit que
kfn−Gk∞,KÉ(b−a)kfn′−fk∞,K+ |fn(a)−f(a)| −−−−−→n
→+∞ 0
puisque(fn′)converge uniformément versget que(fn)converge simplement versf. Ainsi(fn)converge uniformément vers GsurK.
2. Puisque la suite de fonctions(fn)converge uniformément vers la fonctionGsurK, elle converge également simplement vers cette fonction. Par unicité de la limite, on en déduit que
f=f(a)+G .
3. Puisque∀x∈I,f(x)=f(a)+ Zx
a g(t) dt, d’après le théorème fondamental,f est de classeC1surIet∀x∈I,f′(x)=g(x). THÉORÈME6.12 ⋆ Généralisation
On considère une suite de fonctions(fn)n∈N∈F(I,R)Ndéfinies sur un intervalleI⊂R. On suppose que :
H1 ∀n∈N,fn∈Ck(I);
H2 ∀i∈[[0,k−1]], la suite de fonctions(fn(i))n∈Nconvergesimplementvers une applicationfi;
H3 la suite de fonctions dérivées kièmes,(fn(k))n∈N convergeuniformément surI(resp.uniformément sur tout segment deIvers une applicationg.
Alors :
1. La fonctionf =f0est de classeCksurI; 2. f(k)=g.
3. ∀i∈[[0,k]], la suite de fonction(fn(i))n∈N converge uniformément vers la fonctionf(i)sur tout segment deI.
Démonstration Par récurrence.
Remarque 6.17 On retiendra qu’il faut vérifier laconvergence simpledes premières dérivées de fn, et laconvergence uniforme sur tout segmentde la plus haute dérivée pour pouvoir intervertir dérivée et limite :
( lim
n→+∞fn)(k)= lim
n→+∞fn(k)
6.4 Approximation des fonctions Hors programme en PC
THÉORÈME6.13 ⋆ Approximation sur un segment par des fonctions en escalier
Soitf : [a,b]7→Rune fonction continue par morceaux. Il existe une suite de fonctions en escalier(ϕn)n∈Nqui converge uniformément versf sur le segment[a,b].
Démonstration
THÉORÈME6.14 ⋆ Par des fonctions affines par morceaux
Soit une fonctionf : [a,b]7→Rcontinue. Il existe une suite(fn)n∈Nde fonctions affines par morceaux et continues qui converge uniformément versf sur le segment[a,b].
Démonstration
THÉORÈME6.15 ⋆ Weierstrass
Soit une fonctionf : [a,b]7→Rcontinue sur un segment[a,b]. Il existe une suite(Pn)n∈N de fonctions polynômiales qui converge uniformément versf sur le segment[a,b].
Démonstration
Remarque 6.18 Dans le théorème précédent, le motsegmentest fondamental.
Exercice 6.4.1 ⋆
Soit f : [a,b]7→Rune fonction continue. On suppose que
∀n∈N, Zb
a
tnf(t) dt=0
Montrer que f est la fonction nulle.
Solution : Pour tout polynômeP,Zb
a P(t)f(t) dt=0. Considérons une suite(Pn)de polynômes convergeant uniformé- ment versf,
0= Zb
a f(t)Pn(t) dt−−−−−→
n→+∞
Zb
a f2(t) dt et doncf =0.
6.5 Intégration sur un intervalle : théorème de convergence dominée
Considérons la suite de fonctions(fn)n∈Ndéfinies sur[0,+∞[comme sur la figure 6.6 :
n 1
n
FIGURE6.6 – Bosse affaissante Puisquekfnk∞=1
n, cette suite de fonctions converge uniformément vers la fonction nullef sur[0,+∞[. Pourtant, 1=
Z+∞
0
fn(x) dx6−−−−−→n
→+∞
Z∞
0
f(x) dx=0
Dans le cas de l’intégrale généralisée, la convergence uniforme ne suffit pas pour intervertir les limites :
nlim→+∞
Z
Ifn(x) dx6=
Z
I
¡ lim
n→+∞fn(x)¢ dx
Il faut une hypothèse dedomination:
THÉORÈME6.16 ⋆⋆⋆ Théorème de convergence dominée de Lebesgue
On considère une suite de fonctions(fn)n∈Ndéfinies sur un intervalleI⊂R. On suppose que :
H1 ∀n∈N, la fonctionfnest continue par morceaux surI.
H2 La suite de fonctions(fn)convergesimplementsurIvers une fonctionf.
H3 La fonctionf est continue par morceaux surI.
H4 Hypothèse de domination :Il existe une fonctionϕ: I7→R,indépendante denqui est continue par morceaux etintégrable surItelle que
∀n∈N, ∀x∈I, |fn(x)| Éϕ(x) Alors :
1 ∀n∈N, la fonctionfn est intégrable surI.
2 La fonctionf est intégrable surI.
3 Z
I
fn(x) dx−−−−−→n
→+∞
Z
I
f(x) dx .
Démonstration Ce résultat est admis. La preuve est hors programme.
Remarque 6.19 Ce théorème est tellement pratique qu’on s’en sert souvent même siIest un segment : l’hypothèse de domination est souvent plus simple à vérifier que la convergence uniforme de la suite de fonctions(fn).
Exemple 6.6 Étudions la suite de terme général In=
Z+∞
0
e−xn x2+1dx Posons pournÊ1,
fn:
[0,+∞[ −→ R x 7−→ e−nx
x2+1
— ∀n∈N, la fonctionfnest continue surI=[0,+∞[.
— Soit x ∈I fixé, fn(x)−−−−−→n
→+∞
1
x2+1. La suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction f : ( I −→ R
x 7−→ 1
x2+1 .
— La fonctionf est continue surI.
— Domination :posonsϕ:
( I −→ R
x 7−→ 1
x2+1
. La fonctionϕest continue, positive et intégrable surI, et∀n∈N,
∀x∈I,|fn(x)| Éϕ(x).
D’après le théorème de convergence dominée, Z+∞
0 fn(x) dx−−−−−→n
→+∞
Z+∞
0 f(x) dx=π 2
6.6 Modes de convergence d’une série de fonctions
On considère un intervalleI⊂R. On donne les définitions de ce chapitre dans le cas de fonctionsf : I7→R, mais on peut généraliser sans problème dans le cas de fonctions f : I7→Cou f : I7→EoùEest un evn. Il suffit de remplacer la valeur absolue par le module ou la norme.
DÉFINITION6.3 ⋆ Série de fonctions
Soit(fn)∈F(I,R)N. On appellesérie de fonctions de terme général fn la suite(Sn)de terme général
Sn:
I −→ R
x 7−→
Xn k=0
fk(x)
On notePfnune telle série de fonctions. La fonctionSn s’appelle lanième somme partiellede la sériePfn.
DÉFINITION6.4 ⋆ Convergence simple d’une série de fonctions
On dit qu’une série de fonctionsPfn convergesimplement sur l’intervalleIsi et seulement si pour toutx∈Ifixé, la série numérique X
nÊ0
fn(x)converge.
SiPfn est simplement convergente surI, on définit alors la fonction
S :
I −→ R
x 7−→
+∞X
n=0
fn(x)
1. La fonctionSs’appelle lasomme de la série de fonctionset est notéeS=
+∞X
n=0
fn.
2. Pourn∈N, la fonctionS−Sn s’appelle lereste d’ordrende la série de fonctions et est noté Rn=
+∞X
k=n+1
fk
Remarque 6.20 Dire qu’une série de fonctionsPfn converge simplement surIrevient à dire que lasuite de fonctions (Sn)n∈N converge simplement surIvers la fonctionS.
Remarque 6.21 Il se peut qu’une série de fonctions ne converge simplement que sur un sous-ensembleD⊂I. On dit alors queDest le domaine de définition de la série de fonctions et on dit que la série de fonctionsPfnconverge surD. Exemple 6.7 On considère la suite de fonctions définies surRpar :
∀n∈N, fn:
½ R −→ R x 7−→ xn
Étudions la convergence simple de la série de fonctionsPfn et calculons sa somme, ses sommes partielles et son reste d’ordren.
La série converge simplement sur]−1, 1[et la somme vaut
+∞X
n=0
fn(x)= 1 1−x ses sommes partielles :
Sn(x)=1−xn+1 1−x et son reste d’ordren:
Rn(x)=xn+1 1−x
Exemple 6.8 [Fonctionζde Riemann]On définit la fonctionζde Riemannpar : ζ(x)=X
nÊ1
1 nx
On remarque qu’il s’agit d’une série de Riemann qui converge pourx>1. donc son domaine de définition est]1,+∞[ DÉFINITION6.5 ⋆ Convergence absolue d’une série de fonctions
On dit qu’une série de fonctionsPfnconverge absolumentsurIsi et seulement si pour toutx∈Ifixé, la série numérique P|fn(x)|converge .
DÉFINITION6.6 ⋆ Convergence uniforme d’une série de fonctions
On dit qu’une série de fonctionsPfn converge uniformément sur Isi et seulement si la suite de fonctions(Sn)n∈N
(sommes partielles) converge uniformément surI.
