Corrigé succinct du contrôle du 6 octobre 2017

2017-2018

Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines MA100Bio

Corrigé succinct du contrôle du 6 octobre 2017

Exercice 1. Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes f(x) =

r2 + 3x

5−2x ; g(x) =p

x²−3x+ 2 ; h(x) = ln (4x+ 3).

Correction.

1. Il faut que le dénominateur ne s’annule pas donc x 6= ⁵₂. En plus il faut que le terme sous la racine soit positif ou nul, c’est-à-dire (2 + 3x)(5−2x) > 0, soit x ∈ [−²₃,⁵₂]. L’ensemble de définition est donc[−²₃,⁵₂[.

2. Il faut x² −3x+ 2 > 0. L’ensemble de définition est donc x ∈]−

∞,1]∪[2,+∞[.

3. Il faut4x+ 3>0. L’ensemble de définition est donc]− ³₄,+∞[.

Exercice 2. Pour calculer des limites faisant intervenir des différences de racines carrées, on rappelle qu’il est souvent utile de faire intervenir "l’ex- pression conjuguée", c’est-à-dire d’utiliser la relation

√a−√ b= (√

a−√ b)(√

a+√

√ b) a+√

b = a−b

√a+√ b.

En utilisant cette technique, calculer les limites suivantes 1. lim

x→0

√1 +x−√ 1−x

x ;

2. lim

x→0

1 x(p

1 +x+x²−1).

Correction.

1. lim

x→0

√1 +x−√ 1−x

x = lim

x→0

2x x(√

1 +x+√

1−x) = lim

x→0

√ 2

1 +x+√

1−x = 1.

2. lim

x→0

1 x(p

1 +x+x²−1) = lim

x→0

x²+x x(√

1 +x+x²+ 1) = lim

x→0

x+ 1

√

1 +x+x²+ 1 = 1/2.

Exercice 3. Calculer, en expliquant le raisonnement, les limites suivantes 1

1. lim

x→−∞e^x2−3x−5; 2. lim

x→−∞

e^x+ 1 e^2x ; 3. lim

x→+∞

e^x+ 1 e^2x .

Correction.

1. lim

x→−∞e^x2−3x−5 = +∞; 2. lim

x→−∞

e^x+ 1

e^2x = lim

x→−∞

1

e^2x = +∞;

3. lim

x→+∞

e^x+ 1

e^2x = lim

x→+∞

e^x

e^2x = lim

x→+∞

1 e^x = 0.

Exercice 4. Résoudre

1. ln(x²) + ln(x+ 2) = ln(x(x+ 1)); 2. sin(^x₄)6

√2 2 . Correction.

1. Il faut tout d’abordx 6= 0, x+ 2 >0, et x(x+ 1) >0. En utilisant les propriétés du logarithme, l’équation s’écrit aussi ln(^x_x(x+1)^2(x+2)) = 0, c’est-à-direln(^x(x+2)_x+1 ) = 0ou encore ^x(x+2)_x+1 = 1et doncx²+x−1 = 0.

Les racines de ce polynôme sont ^−1±

√ 5

2 . Elles vérifient les contraintes et sont donc les solutions de l’équation ;

2. sin(^π₄) =

√ 2

2 donc les solutions sont telles que ^x₄ + 2kπ ∈[−^5π₄ ,^π₄]et doncx∈[−5π, π] + 8kπ.

Exercice 5. Donner l’ensemble de définition, le tableau de variations et les limites correspondantes de la fonction

f(x) = e^x 1 +x².

Correction. Cette fonction est définie surRet sa dérivée est f⁰(x) = (x−1)²e^x

(1 +x²)² >0.

La fonction est donc croissante et elle tend vers0en−∞et vers+∞en+∞.

Exercice 6. Calculer la dérivée de la fonction f(x) = sin²(2x) + ln((x+ 1)²).

Correction. On a

f⁰(x) = 4 sin(2x) cos(2x) + 2 x+ 1.

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