( ; ) appartient à la droite d’équation = +
⟺ = + ( les
coordonnées de M vérifient l’équation de la droite )
mathsbdp.fr Droites dans un repère I Caractérisation d'une droite du plan à l'aide de ses coordonnées
Propriété. L'ensemble des points ( ; ) dont les coordonnées vérifient une relation de la forme = + avec et deux réels, est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
L'ensemble des points ( ; ) dont les coordonnées vérifient une relation de la forme
= avec réel, est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Rappel. La courbe représentative d’une fonction affine ( fonction qui s’écrit ( ) = + ) est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
Réciproquement, si une droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, alors cette droite représente une fonction affine.
Propriété. Une droite du plan admet dans un repère une équation réduite de la forme
= + ou =
∆ droite d'équation = 2
∆ droite d'équation = 2 − 1
Application : construire les droites , et d'équations respectives : ∶ = 3 − 2 ; : = −1 ; ∶ = −2
Le point (0,3 ; −1) appartient-il
à la droite ( ) d’équation : = 3 − 2 ?
∆ ∆
II Droite non parallèle à l'axe des ordonnées
Il s'agit des droites d'équation réduite de la forme = +
est appelé le cœfficient directeur de la droite ou la pente de la droite.
est appelé l'ordonnée à l'origine
Exemple.
a pour équation : ____________________________
a pour équation : ______________________________
Propriété. Soit une droite ( ) d'équation = +
Soient ( !; !) et "( #; #) deux points distincts de la droite ( ). On a le coefficient directeur de la droite tel que : = $(%%&$&('' =é*+,- ./ $é*+,- ./ ( Preuve : ( ! ; !) ∈ ( ) ⟺ ! = ! +
"( # ; #) ∈ ( ) ⟺ # = # + ; on soustrait membre à membre ; on obtient :
# − ! = ( # − !) soit =$(%%&$&(''
Remarque : les droites parallèles à l’axe des ordonnées ( « les verticales ) d’équation
= 1234 245 n’ont pas de coefficient directeur.
III Détermination de l'équation réduite d'une droite.
Méthode 1 : trouver l'équation réduite d'une droite par le calcul
Lorsqu'on connaît les coordonnées ( ; ) et ( ; ) de deux points distincts d'une droite,
• si = ( les deux points ont la même abscisse ), la droite est parallèle à l'axe des ordonnées ; son équation réduite est = .
• si ≠ , la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ; son équation réduite est de la
forme = + .
• Le coefficient directeur est égal à = $(77&$&(88 ou = $(88&$&(77
• On calcule l'ordonnée à l'origine avec les coordonnées de l'un ou l'autre des points en résolvant une équation d'inconnue : = + ou = + .
1 −1
2 1
Exemples :
① Dans un repère, on donne les points (−3 ; 1 ) et 9(2 ; −4).
Déterminer l’équation réduite de la droite ( 9).
On a ≠ ; donc l’équation réduite est de la forme = +
= $(<<&$&(== = &>&
&(& )= &?? = −1 L’équation s’écrit : = −1 +
Les coordonnées de M vérifient l’équation donc = −1 + soit 1 = −1 × (−3) +
soit = 1 − 3 = −2 ; l’équation réduite de ( 9) est :
= −1 − 2 soit = − − 2
② Dans un repère, on donne les points A(−2 ; 18 ) et C(−2 ; 1). Déterminer l’équation réduite de la droite (AC).
On a D = E donc l’équation réduite est de la forme = F L’équation réduite est : = −2
Méthode 2 : trouver l'équation réduite d'une droite par lecture graphique
• Si la droite est verticale, l'équation réduite est de la forme = ; est l'abscisse d'un point de la droite.
• Sinon, l'équation réduite de la droite est de la forme = +
est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
est l'accroissement des ordonnées ( positif ou négatif ) lorsqu'on passe d'un point de la droite à un autre point dont l'abscisse est augmentée d'une unité.
Tracer une droite connaissant son coefficient directeur et un point
GHH⃗
Ex1.
Ex1.Ex1.
Ex1. Construire la droite d’équation réduite = 2 − 1
= + avec = 2 ( coefficient directeur )
= −1 ordonnée à l’origine
On place le point ( 0 ; −1), puis en avant d’une unité à droite, on monte de 2 unités graphiques pour obtenir un autre point de la droite.
On peut utiliser un tableau de valeurs ; on choisit deux valeurs
de et on calcule les correspondant avec l’équation réduite.
Pour construire la droite, on place les points ( 0 ; −1 ) et ( 2 ; 3 ).
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
Vecteur directeur d’une droite
Définition : (d) est une droite du plan.
On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur non nul fH⃗ qui possède la même direction que la droite (d).
Remarque : Tout vecteur colinéaire à f→ est aussi un vecteur directeur de (d).
Exemple : Soient (−2 ; 4) et "(6 ; 2).
Alors "HHHHH⃗ i 8−2j est un vecteur directeur de (d).
fH⃗ i 4−1j qui lui est colinéaire, est aussi un vecteur directeur
de (d).
Équation cartésienne d’une droite Soient , , des réels.
Propriété: Toute droite (d) admet une équation de la forme + + = 0 avec ( ; ) ≠ (0 ; 0).
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d).
Le vecteur fH⃗ i− j est un vecteur directeur de cette droite (d).
Démonstration :
Soit ( k ; k) un point de la droite et fH⃗(l ; m) un vecteur directeur de (d).
Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs HHHHHH⃗ i − k
− kj et fH⃗ il mj sont colinéaires, soit 54n HHHHHH⃗ ; fH⃗o = 0 soit encore p − k l
− k mp = 0. Donc : m( − k) − l( − k) = 0
m − m k− l + l k = 0
1 2
0 2
−1 3
m − l + l k− m k = 0
Cette équation peut s'écrire : + + = 0 avec = m et = −l et = l k− m k. Les coordonnées de fH⃗ sont donc il
m j = i− j.
Propriété réciproque(admise) : L'ensemble des points ( ; ) tels que + + = 0 avec ( ; ) ≠ (0 ; 0) est une droite (d) de vecteur directeur fH⃗(− ; ).
Exemple : Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A(3 ; 1) et de vecteur directeur fH⃗(– 1 ; 5).
Solution : Soit un point ( ; ) de la droite (d).
Les vecteurs HHHHHH⃗ s − 3− 1t et fH⃗ i−15 j sont colinéaires, soit 54n HHHHHH⃗ ; fH⃗o = 0 soit encore u − 3 −1− 1 5 u = 0.
Donc : 5( − 3) − (−1)( − 1) = 0. Ou encore : 5 + − 16 = 0.
Une équation cartésienne de ( ) est : 5 + − 16 = 0.
Autre méthode : Comme fH⃗i– 15 j est un vecteur directeur de ( ), avec fH⃗i– j pour une équation cartésienne du type + + = 0, une équation de ( ) est de la forme :
5 + 1 + = 0. Pour déterminer c, il suffit de remplacer les coordonnées de A dans l'équation : 5 × 3 + 1 × 1 + = 0 soit 15 + 1 + = 0 soit = −16
On retrouve l’équation cartésienne : 5 + − 16 = 0 IV Droites parallèles, droites sécantes
Voici un tableau récapitulatif des positions relatives de deux droites à partir de leur équation réduite.
Méthode 3 : Interpréter un système de deux équations à deux inconnues
Lors de la résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues avec des coefficients non nuls, chaque équation peut se transformer en une équation réduite de droite.
Résoudre un tel système revient à chercher les éventuels points d'intersection de deux droites à partir de leurs équations réduites.
Ces deux droites peuvent être :
• sécantes ( les coefficients directeurs des droites sont différents soit ≠ ′ ) ;
le système a une unique solution : les coordonnées du point d’intersection des deux droites.
• confondues ( même équation réduite ). Le système a une infinité de solutions.
• strictement parallèles, c’est-à-dire w = w′ et x ≠ x′. Le système n'a aucune solution.
V Compléments
On a rencontré cette année les fonctions affines, c'est-à-dire les fonctions qui s'écrivent sous la forme ( ) = + . Leur représentation graphique est une droite dont l'équation réduite est = + .
Si > 0, la fonction affine est croissante sur ℝ et la droite "monte".
Si < 0, la fonction affine est décroissante sur ℝ et la droite "descend".
Si = 0, la fonction affine est constante sur ℝ et la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
Exercice. 1. Dans un repère, déterminer l'équation réduite de la droite (GH) avec | ( 4 ; −5 ) et } ( 4 ; 1 ). 2. Dans un repère, déterminer l'équation réduite de la droite (RS) avec ( −2 ; −1 ) et ~ ( 1 ; 3 ).
