CPGE 2 ; kholle 7 1) On se propose de calculer

CPGE 2 ; kholle 7

1) On se propose de calculer 𝐼₂(𝑥) = ₀¹_(𝑥2^𝑑𝑡_+𝑡2)² par trois méthodes (𝑥 > 0)

 Par un changement de variable en posant : 𝑡 = 𝑥 tan 𝜃

 En calculant 𝐼₁(𝑥) = ^𝑑𝑡

𝑥²+𝑡² 1

0 puis en intégrant 𝐼₁(𝑥) par parties

 En dérivant la fonction 𝐼₁

2) Pour 𝑥 ≠ 0 , on pose 𝑓 𝑥 = cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 3𝑥

𝑥

 Justifier que f est définie sur ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[

 Montrer que f est dérivable sur ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[ et calculer 𝑓^′(𝑥)

 En utilisant la formule de la moyenne, justifier que f est prolongeable par continuité en 0

 Le prolongement est-il dérivable en 0 ? (on pourra utiliser le TAF) 3) Soit 𝜑 : 𝑥 ⟼ 𝜑 𝑥 = 𝑥 + cos 𝑡 𝑑𝑡₀^𝜋 𝑥 ≥ 1

 Montrer que 𝜑 est définie sur [1 ; + ∞ [

 Montrer que 𝜑 est de classe 𝐶¹ sur ]1 ; + ∞ [ puis calculer 𝜑^′(𝑥)

 Déduire les variations de la fonction 𝜑

 Calculer 𝜑 1 puis _{𝑥 ⟶+ ∞}^lim 𝜑(𝑥) puis _{𝑥 ⟶+ ∞}^{lim 𝜑(𝑥)}

𝑥

 Etudier la concavité de 𝜑 4) Pour 𝑥 < 1, on pose 𝐼 𝑥 = ^𝑑𝑡

𝑥²−2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑡 +1 𝜋

0

 En écrivant la forme canonique de 𝑥²− 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1, justifier l’existence de 𝐼(𝑥) sur ] − 1 ; 1 [

 Justifier la continuité de la fonction 𝐼 sur ] − 1 ; 1 [

 Calculer 𝐼(𝑥)

 Montrer que pour tout x ≠ 0 , on a : ^{2(𝑥−cos 𝑡)}

1−2𝑥 cos 𝑡+𝑥² = ¹

𝑥+^𝑥²−1

𝑥

1 1−2𝑥 cos 𝑡+𝑥²

 Déduire la valeur de 𝑓(𝑥) = ^{2(𝑥−cos 𝑡)}

1−2𝑥 cos 𝑡+𝑥² 𝜋

0 𝑑𝑡

puis de 𝐹(𝑥) = ln⁡₀^𝜋 (1 − 2𝑥 cos 𝑡 + 𝑥²) 𝑑𝑡 5) Etude de la fonction définie par 𝑓 𝑥 = _𝑥^2𝑥_{ln ⁡(1+𝑡}^𝑑𝑡 ₂₎

a) Justifier que 𝑓 est définie sur ℝ^∗ b) Justifier que 𝑓 est impaire

c) Justifier que 𝑓 est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer 𝑓’(𝑥) ; Déduire les variations de 𝑓

d) Déterminer un encadrement de 𝑓(𝑥) ; Déduire les limites de 𝑓 en 0⁺ et en +∞