Couplage fort de deux oscillateurs

Couplage fort

de deux oscillateurs

En pla¸cant de la mati` ere dans une cavit´ e optique, on peut obtenir un syst` eme composite cavit´ e-mati` ere aux propri´ et´ es nouvelles, si la mati` ere pr´ esente une r´ esonance ` a une pulsation

´ egale ` a une pulsation de r´ esonance de la cavit´ e, et si ces deux r´ esonances ont des coefficients d’amortissement faibles devant le coefficient de couplage entre ces syst` emes. Un tel ph´ enom` ene de couplage fort a ´ et´ e mis en ´ evidence pour des atomes en cavit´ e au d´ ebut des ann´ ees 1980, puis dans des h´ et´ erostructures de mat´ eriaux semi-conducteurs au d´ ebut des ann´ ees 1990.

Le probl` eme comporte trois parties tr` es largement ind´ ependantes.

La premi` ere partie donne une description purement classique de deux oscillateurs harmo- niques, de mˆ eme pulsation de r´ esonance ω <sub>0</sub> , et coupl´ es lin´ eairement ; le coefficient de couplage, homog` ene ` a une pulsation, est not´ e Ω <sub>1</sub> . Ces oscillateurs sont faiblement amortis : on caract´ erise chaque oscillateur par son coefficient d’amortissement γ <sub>1</sub> ou γ <sub>2</sub> , ´ egalement homog` ene ` a une pulsation. On consid` ere dans tout le probl` eme que Ω <sub>1</sub> , γ <sub>1</sub> et γ <sub>2</sub> sont tr` es petits devant la pul- sation de r´ esonance ω ₀ . L’objet du probl` eme est d’´ etudier comment la dynamique du syst` eme est modifi´ ee suivant l’importance relative des effets de couplage (Ω ₁ ) et d’amortissement (γ ₁ et γ ₂ ) : on distingue ainsi un r´ egime de couplage fort et un r´ egime de couplage faible.

On consid` ere dans les deux parties suivantes deux oscillateurs de natures physiques diff´ erentes : un mode du champ ´ electromagn´ etique dans une cavit´ e, et une r´ esonance du milieu mat´ eriel pr´ esent dans la cavit´ e. On d´ ecrit dans la deuxi` eme partie le couplage lumi` ere-mati` ere dans le cadre de l’optique classique, en examinant comment les propri´ et´ es de dispersion et d’absorption du milieu modifient la fonction de transmission de la cavit´ e optique.

La troisi` eme partie propose une description quantique du syst` eme le plus simple : un seul

atome, assimil´ e ` a un syst` eme ` a deux niveaux, coupl´ e ` a un mode discret du champ ´ electromagn´ etique

de la cavit´ e, contenant 0 ou 1 photon.

Pour all´ eger les calculs, on se place dans tout le probl` eme dans le cas r´ esonnant : les deux oscillateurs ont exactement la mˆ eme pulsation de r´ esonance, not´ ee ω <sub>0</sub> . Les coefficients d’amor- tissement sont d´ efinis par rapport ` a l’´ energie. Si on consid` ere une excitation harmonique de pulsation ω, on notera ∆ le d´ ecalage en pulsation ∆ = ω − ω ₀ .

Relations math´ ematiques utiles :

”Fonction” δ de Dirac :

Z +∞

−∞

exp(−jωt)dω = 2πδ(t) (1)

Z t

t

f (t)δ(t − t ₀ )dt = f (t ₀ ) si t ₀ ∈ ]t ₁ , t ₂ [ Z t

t

f (t)δ(t − t ₀ )dt = 0 si t ₀ ∈ / [t ₁ , t ₂ ]

On admettra que dans le cadre des calculs demand´ es dans ce probl` eme, on peut ´ ecrire : Z t

t

f(t)δ(t − t ₀ )dt = f(t ₀ )

2 si t ₀ = t ₁ ou t ₀ = t ₂ (2)

Transform´ ee de Fourier d’une lorentzienne : Z +∞

−∞

1

1 + ( ^ω _a ) ² exp(−jωt)dω = πa exp(−a|t|) (a > 0) (3)

Conventions d’´ ecriture :

On note j le nombre complexe tel que j ² = −1. Les candidats pourront, ` a leur convenance, noter les grandeurs complexes A e ou A. On note <[ ] la partie r´ eelle et =[ ] la partie imaginaire de la quantit´ e entre crochets.

Notations utilis´ ees dans le probl` eme :

Constantes fondamentales :

e charge ´ el´ ementaire . . . e = 1, 60 10 ⁻¹⁹ C m masse de l’´ electron . . . m = 9, 11 10 ⁻³¹ kg c vitesse de la lumi` ere dans le vide . . . c = 2, 99 10 ⁸ m.s ⁻¹ ₀ permittivit´ e di´ electrique du vide . . . ₀ = 8, 85 10 ⁻¹² F.m ⁻¹

¯

h constante de Planck r´ eduite . . . . ¯ h = h/(2π) = 1, 05 10 ⁻³⁴ J.s Premi` ere partie :

L inductance

Ω ₁ coefficient de couplage

γ ₁ et γ ₂ coefficient d’amortissement du circuit r´ esonnant 1 ou 2 ω e pulsation complexe

ω ₊ et ω − pulsations des modes propres

γ ₊ et γ − coefficients d’amortissement des modes propres

∆ ₊ et ∆ − d´ ecalages des pics de r´ esonance des circuits coupl´ es par rapport ` a ω <sub>0</sub> Deuxi` eme partie :

L longueur de la cavit´ e

n _B indice constant du milieu sans oscillateurs

r et t coefficients de r´ eflexion et de transmission en amplitude d’un miroir R et T coefficients de r´ eflexion et de transmission en ´ energie d’un miroir T _C ^sans (ω) transmission de la cavit´ e sans oscillateurs

T _C ^max transmission maximale de la cavit´ e sans oscillateurs

∆ _ISL intervalle en pulsation entre deux r´ esonances cons´ ecutives de la cavit´ e seule ε(ω) d´ esaccord de phase

γ _C largeur ` a mi-hauteur des pics de transmission de la cavit´ e seule F Finesse de la cavit´ e Fabry-Perot

τ temps d’un aller-retour de la lumi` ere dans la cavit´ e

γ coefficient d’amortissement de l’´ energie du mode de la cavit´ e seule e _r permittivit´ e di´ electrique relative

_rB = n ² _B

χ(ω) susceptibilit´ e e di´ electrique des oscillateurs de Lorentz ω ₀ pulsation de r´ esonance des oscillateurs de Lorentz γ _A coefficient d’amortissement des oscillateurs de Lorentz N nombre d’oscillateurs de Lorentz par unit´ e de volume ω _p pulsation plasma

₀ permittivit´ e di´ electrique du vide

α(ω) coefficient d’absorption des oscillateurs de Lorentz n(ω) indice du milieu contenant les oscillateurs de Lorentz α ₀ = α(ω = ω ₀ )

β param` etre de couplage

T _C ^avec (ω) transmission de la cavit´ e contenant les oscillateurs de Lorentz

∆ ₊ et ∆ − d´ ecalages des pics de transmission de la cavit´ e contenant les oscillateurs de Lorentz par rapport ` a ω ₀

Ω = ∆ ₊ − ∆ ₋ , ´ ecart entre ces deux pics de transmission

γ _AC largeur ` a mi-hauteur des pics de transmission de la cavit´ e contenant les oscillateurs t _C (ω) coefficient de transmission en amplitude de la cavit´ e

Troisi` eme partie :

v = ¯ hΩ ₁ /2 : ´ energie de couplage entre deux ´ etats quantiques ρ ₀ densit´ e d’´ etats (uniforme) en ´ energie

Γ probabilit´ e de transition par unit´ e de temps de l’´ etat discret vers le continuum, donn´ ee par la r` egle d’or de Fermi

¯

hγ largeur ` a mi-hauteur de la densit´ e d’´ etats en ´ energie ρ(¯ hω)

Premi` ere partie

Circuits ´ electriques coupl´ es

1 Equations diff´ erentielles coupl´ ees

On consid` ere deux circuits RLC s´ erie repr´ esent´ es sur la Figure 1, coupl´ es par une mutuelle inductance M . Afin d’all´ eger les calculs, on consid` ere que les circuits 1 et 2 comportent des capacit´ es C ´ egales, des inductances L ´ egales, mais des r´ esistances R ₁ et R ₂ en g´ en´ eral diff´ erentes.

On note e(t) la tension d’excitation ´ eventuellement impos´ ee en s´ erie au circuit 1 et u(t) la tension de sortie aux bornes de la r´ esistance R ₂ du circuit 2. On note i ₁ (t) et i ₂ (t) les courants parcourant les deux circuits, les orientations ´ etant pr´ ecis´ ees sur la Fig. 1. On suppose que le sens des enroulements est tel que M > 0.

Fig. 1 – Deux circuits RLC coupl´ es par mutuelle induction 1. ´ Etablir le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles reliant i 1 (t), i 2 (t) et e(t).

2. Montrer que ces relations peuvent se mettre sous la forme matricielle : L M

M L

d ² i ₁ /dt ² d ² i 2 /dt ²

+

R ₁ 0 0 R 2

di ₁ /dt di 2 /dt

+ 1/C

1 0 0 1

i ₁ i 2

=

de/dt 0

(4) 3. Les trois matrices caract´ erisent respectivement le terme inductif, le terme dissipatif et le

terme capacitif.

(a) ` A quelle condition sur ces trois matrices peut-on d´ efinir des variables qui permettent de d´ ecoupler les ´ equations (4) ?

(b) Cela est-il toujours possible ?

4. On suppose, dans cette question uniquement, que R ₁ = R ₂ = R.

(a) En examinant la sym´ etrie des ´ equations diff´ erentielles coupl´ ees liant i ₁ (t), i ₂ (t) et e(t), montrer qu’il existe, dans ce cas particulier o` u les r´ esistances sont ´ egales, deux combinaisons lin´ eaires simples de i ₁ (t) et i ₂ (t) qui permettent d’obtenir des ´ equations diff´ erentielles d´ ecoupl´ ees.

(b) Expliquer en quoi ces combinaisons d´ efinissent des modes propres du syst` eme coupl´ e.

2 Analyse du r´ egime harmonique forc´ e

On suppose que la tension excitatrice est de la forme e(t) = <[ E e exp(jωt)]. On cherche les courants sous la forme : i 1 (t) = <[ I e 1 exp(jωt)] ; i 2 (t) = <[ I e 2 exp(jωt)]. I e 1 = I 10 exp(jϕ 1 ) et I e ₂ = I ₂₀ exp(jϕ ₂ ) sont les amplitudes complexes des courants.

L’excitation e(t) est appliqu´ ee au niveau du circuit 1. On s’int´ eresse ` a la r´ eponse au

niveau du circuit 2, qui est de la forme u(t) = <[ U e exp(jωt)]. On d´ efinit donc la fonction

de transfert du montage par H(ω) = e U / e E. e

2.1 Comportement au voisinage de la r´ esonance

5. Montrer que les amplitudes complexes des courants v´ erifient une ´ equation matricielle de la forme :

ω ² − jωγ ₁ − ω ² ₀ ω ² Ω ₁ /ω ₀ ω ² Ω ₁ /ω ₀ ω ² − jωγ ₂ − ω ² ₀

I e ₁ I e ₂

!

= − jω L

E e

0

Exprimer les coefficients γ ₁ , γ ₂ , ω ₀ et Ω ₁ en fonction des donn´ ees du probl` eme. On remar- quera que le coefficient de couplage Ω 1 est bien positif avec les conventions d’orientation des circuits choisies.

6. On s’int´ eresse ` a des pulsations au voisinage de ω <sub>0</sub> . On note ∆ = ω − ω <sub>0</sub> le d´ ecalage entre la pulsation ω et la pulsation ω <sub>0</sub> . En utilisant l’hypoth` ese |∆/ω ₀ | << 1, montrer que l’´ equation matricielle prend la forme simplifi´ ee suivante :

2∆ − jγ ₁ Ω ₁ Ω ₁ 2∆ − jγ ₂

I e ₁ I e ₂

!

= − j L

E e

0

(5)

2.2 Fonction de transfert

7. En partant de la relation matricielle (5), ´ etablir l’expression de la fonction de transfert H(ω) au voisinage de e ω ₀ .

8. Exprimer le module de cette fonction de transfert | H(∆)| e en fonction de Ω 1 , γ 1 , γ 2 et ∆.

9. (a) En d´ eduire l’expression de | H(∆ = 0)|, le module de la fonction de transfert en e

∆ = 0.

(b) On s’int´ eresse ici aux variations de | H(∆ = 0)| e avec le coefficient de couplage Ω ₁ . Montrer que | H(∆ = 0, e Ω ₁ )| est une fonction croissante puis d´ ecroissante de Ω ₁ . On notera Ω c2 la valeur de Ω 1 pour laquelle | H(∆ = 0, e Ω 1 )| est maximale. Exprimer Ω c2

en fonction de γ ₁ et γ ₂ .

(c) Calculer | H(∆ = 0, e Ω ₁ = Ω _c2 )|.

10. On consid` ere ` a pr´ esent les variations de | H(∆)| e avec le d´ ecalage ∆. Rechercher les extrema de | H(∆)|. Montrer que pour un couplage sup´ e erieur ` a un couplage Ω <sub>c3</sub> , le module de la fonction de transfert poss` ede deux maxima en ∆ ₊ et ∆ − . Exprimer Ω _c3 en fonction de γ ₁ et γ 2 . Exprimer ∆ + et ∆ − en fonction de Ω 1 et Ω c3 .

11. Repr´ esenter sur un mˆ eme graphique l’allure du module de la fonction de transfert | H(∆)| e pour diff´ erentes valeurs du couplage : Ω ₁ < Ω _c2 ; Ω _c2 < Ω ₁ < Ω _c3 ; Ω ₁ > Ω _c3 .

12. On se place dans le cas o` u le couplage Ω ₁ est grand devant Ω _c3 (Ω ₁ >> Ω _c3 ) .

(a) Montrer que la hauteur des pics de la fonction de transfert | H(∆)| e est alors constante ; donner son expression en fonction de γ ₁ et γ ₂ .

(b) Donner la largeur ` a -3 dB des pics de | H(∆)| e en fonction de γ ₁ et γ ₂ .

2.3 Filtres ` a r´ esonateurs coupl´ es

Les exigences de miniaturisation et d’´ economie ´ energ´ etique des t´ el´ ephones mobiles n´ ecessitent le remplacement de certains composants discrets par des homologues int´ egr´ es sur silicium.

Des r´ esonateurs micro-m´ ecaniques sont ainsi d´ evelopp´ es pour la r´ ealisation de filtres passe-

bande de fr´ equences interm´ ediaires (entre celles du signal hyperfr´ equence re¸cu et celles

du domaine audible). Pour r´ ealiser un filtre d’ordre sup´ erieur ` a deux, l’approche courante est de coupler deux r´ esonateurs. On cherche ` a obtenir la bande passante la plus plate pos- sible, c’est ` a dire avec une variation de transmission aussi faible que possible au voisinage de la r´ esonance. Ce filtre ´ etant l’analogue du circuit ´ electrique coupl´ e pr´ esent´ e ci-dessus, les r´ esultats obtenus sur la fonction de transfert sont directement utilisables.

13. Montrer que pour obtenir la bande passante la plus plate possible, il faut choisir Ω 1 = Ω c3 . 14. On a vu pr´ ec´ edemment que le module de la fonction de transfert en ∆ = 0 est maximal pour Ω ₁ = Ω _c2 . En d´ eduire que ces deux conditions sont simultan´ ement satisfaites si les deux r´ esonateurs ont le mˆ eme coefficient d’amortissement qu’on notera γ.

15. Dans ces conditions optimales, quel est le lien entre le coefficient de couplage Ω 1 et le coefficient d’amortissement γ ?

16. Donner la valeur de la bande passante ` a -3 dB du filtre ainsi optimis´ e.

17. Application num´ erique : On veut obtenir une bande passante en fr´ equence ` a -3 dB de 140 kHz centr´ ee ` a ω ₀ /(2π) = 100 MHz. Quelles valeurs faut-il choisir pour γ/(2π) et Ω ₁ /(2π) ?

3 Analyse en r´ egime libre

3.1 Recherche des modes propres approch´ es

On suppose ici que e(t) = 0 pour t > 0. On cherche une solution particuli` ere pour t > 0 sous la forme i ₁ (t) = <[ I e ₁ exp(j ωt)] ; e i ₂ (t) = <[ I e ₂ exp(j ωt)]. Les quantit´ e es I e ₁ = I ₁₀ exp(jϕ ₁ ) et I e ₂ = I ₂₀ exp(jϕ ₂ ) sont les amplitudes complexes des courants. ω e est une pulsation complexe qu’on ´ ecrira sous la forme

ω e = ω + j γ 2

18. Pr´ eciser la signification physique et le signe de ω = <[ e ω] et de γ = 2=[ ω]. e 19. Montrer que ∆ = e ω e − ω ₀ v´ erifie l’´ equation alg´ ebrique :

4 ∆ e ² − 2j(γ 1 + γ 2 ) ∆ e − γ 1 γ 2 − Ω ² ₁ = 0 (6) 20. En d´ eduire l’expression des pulsations complexes ω e ₊ et ω e − caract´ erisant les deux modes

propres, dans chacun des cas suivants :

(a) Couplage faible : Ω ₁ < Ω _c1 = |γ ₁ − γ ₂ |/2. Montrer que les deux pulsations propres ω _± sont ´ egales, mais que les coefficients d’amortissement γ _± sont diff´ erents.

(b) Couplage fort : Ω ₁ > Ω _c1 = |γ ₁ − γ ₂ |/2. Montrer que les deux pulsations propres ω ± sont diff´ erentes, mais que les coefficients d’amortissement γ ± sont identiques. On notera γ leur valeur commune. On notera ω e ₊ la pulsation complexe dont la partie r´ eelle est la plus grande.

21. Repr´ esenter sur un graphique les pulsations ω ± des modes approch´ es en fonction de la valeur du coefficient de couplage Ω ₁ .

22. Repr´ esenter de mˆ eme les variations des coefficients d’amortissement γ ± de ces modes

approch´ es en fonction de Ω ₁ .

3.2 Evolution temporelle en couplage fort

On se place pour la fin de cette premi` ere partie dans le cas du couplage fort.

23. Donner l’expression g´ en´ erale de i ₁ (t) et i ₂ (t), en fonction des param` etres γ , ω <sub>+</sub> et ω − . 24. On consid` ere la situation o` u initialement un seul des deux modes propres est excit´ e.

Montrer que les deux courants i ₁ (t) et i ₂ (t) sont dans une relation d’amplitude et de phase bien pr´ ecise qu’on explicitera

(a) dans le cas du mode propre de pulsation ω ₊ , (b) dans le cas du mode propre de pulsation ω − . 25. On suppose qu’` a l’instant t = 0 on a

i 1 (0) = i 0 i 2 (0) = 0 di ₁

dt (0) = 0 di ₂

dt (0) = 0

Donner l’expression de i ₁ (t) et i ₂ (t) en fonction des param` etres i ₀ , γ , ω ₊ et ω − puis en fonction de i ₀ , γ, ω ₀ et Ω ₁ .

26. Repr´ esenter qualitativement l’´ evolution de i ₁ (t) et i ₂ (t) sur un mˆ eme graphique.

27. Interpr´ eter cette ´ evolution en terme de modes propres.

(a) Au bout de combien de temps l’´ energie est-elle enti` erement pass´ ee du circuit 1 au circuit 2 ?

(b) Au bout de combien de temps est-elle enti` erement revenue au circuit 1 ?

3.3 Pr´ eparation du syst` eme dans un ´ etat d´ etermin´ e

On suppose qu’on puisse faire varier la valeur de la mutuelle inductance de couplage d’une valeur nulle ` a la valeur M puis ` a nouveau ` a une valeur nulle. ` A partir d’une situation de couplage nul, on est ainsi capable de ”brancher” le couplage Ω ₁ pendant une dur´ ee d´ etermin´ ee, puis de revenir dans une situation de couplage nul.

28. On suppose qu’au d´ epart seul le circuit 1 oscille. Quelle dur´ ee minimale de couplage faut-il choisir pour obtenir, apr` es retour ` a la situation de couplage nul :

(a) un transfert de toute l’´ energie du circuit 1 au circuit 2 ?

(b) des oscillations d’amplitudes ´ egales dans les deux circuits 1 et 2 ?

Deuxi` eme partie

Couplage fort lumi` ere-mati` ere en cavit´ e

Dans cette partie, on consid` ere un interf´ erom` etre de Fabry-Perot contenant un milieu mat´ eriel qui pr´ esente une r´ esonance ` a la pulsation ω <sub>0</sub> . Il peut s’agir soit d’un jet atomique traversant la cavit´ e optique (Fig. 2.a), soit d’une h´ et´ erostructure de mat´ eriaux semi- conducteurs (Fig. 2.b). On examine de quelle mani` ere la pr´ esence de ce milieu mat´ eriel modifie la transmission de la cavit´ e lorsqu’une des pulsations de r´ esonance de la cavit´ e est ajust´ ee ` a ω ₀ .

On ´ etudie d’abord s´ epar´ ement un mode du champ ´ electromagn´ etique dans la cavit´ e en l’absence de cette r´ esonance du milieu. On d´ efinira le coefficient d’att´ enuation γ C (C pour

”cavit´ e”) de ce mode par la largeur des pics de transmission T _C ^sans (ω). On reliera ensuite γ _C ` a l’amortissement du mode du champ ´ electromagn´ etique dans la cavit´ e, dˆ u aux pertes vers les modes ext´ erieurs ` a la cavit´ e.

On d´ ecrit ensuite la r´ esonance du milieu mat´ eriel dans le cadre du mod` ele classique de l’oscillateur de Lorentz, avec un coefficient d’amortissement ph´ enom´ enologique γ _A (A pour ”atome”) . On fait apparaˆıtre le lien entre absorption et dispersion au voisinage de la r´ esonance.

On examine enfin l’influence de ces oscillateurs de Lorentz plac´ es dans la cavit´ e sur le facteur de transmission T _C ^avec (ω) de cette cavit´ e, ou sur l’´ evolution temporelle de l’intensit´ e en sortie de cavit´ e apr` es excitation br` eve. On supposera le faisceau laser de faible intensit´ e.

Fig. 2 – a) Cavit´ e optique travers´ ee par un jet atomique pr´ esentant une transition atomique r´ esonnante avec la cavit´ e. La longueur de la cavit´ e est L = 10 mm. b) H´ et´ erostructure de mat´ eriaux semiconducteurs. La g´ eom´ etrie du ”puits quantique” d´ efinit la pulsation de r´ esonance du milieu mat´ eriel. La cavit´ e optique a une longueur optique effective de l’ordre de λ, longueur d’onde de la r´ esonance (L ∼ 1 µm). L’alternance de mat´ eriaux d’´ epaisseur optique λ/4 permet de r´ ealiser des miroirs de coefficient de r´ eflexion ´ elev´ e.

1 Caract´ eristiques de la cavit´ e sans oscillateurs

1.1 Accord de phase et finesse

On consid` ere une cavit´ e Fabry-Perot plane constitu´ ee par les deux miroirs M ₁ et M ₂ ,

s´ epar´ es par la distance L (Fig. 3). Cet espace contient un milieu d’indice ”de base”

constant n _B . Pour simplifier les calculs on suppose que le mˆ eme milieu d’indice n _B est

´ egalement pr´ esent de part et d’autre de la cavit´ e.

Les coefficients de r´ eflexion en amplitude du miroir M ₁ sont r ₁ du cot´ e intra-cavit´ e et −r ₁ du cot´ e externe ; les coefficients de transmission en amplitude sont t ₁ pour l’onde entrante et t ⁰ ₁ pour l’onde sortante de la cavit´ e. Les coefficients de r´ eflexion et de transmission en

´ energie sont respectivement not´ es R ₁ et T ₁ . On a de mˆ eme r ₂ , −r ₂ , t ₂ , t ⁰ ₂ , R ₂ et T ₂ pour le miroir M ₂ . R ₁ et R ₂ sont tr` es proches de 1. On supposera r ₁ et r ₂ r´ eels.

Fig. 3 – Cavit´ e optique Fabry-Perot en r´ egime permanent. Les fl` eches indiquent le sens de propagation des ondes. Les champs ´ electriques sont dirig´ es suivant l’axe Ox.

29. Rappeler l’expression du d´ ephasage Φ(ω) associ´ e ` a un aller-retour de la lumi` ere dans la cavit´ e.

30. On envoie sur la cavit´ e une onde incidente de la forme E e _1e (z, t) = A e _1e exp[j(kz − ωt)]. Le champ dans la cavit´ e est la superposition d’une onde progressive E e C (z, t) = A e C exp[j(kz − ωt)] et d’une onde progressive de direction oppos´ ee E e _C ⁰ (z, t) = A e ⁰ _C exp[j (−kz − ωt)]. Il existe ´ egalement une onde r´ efl´ echie par la cavit´ e E e 1s (z, t) = A e 1s exp[j(−kz − ωt)] et une onde transmise E e _2s (z, t) = A e _2s exp[j(kz − ωt)] (voir Fig. 3).

(a) On consid` ere les amplitudes des champs dans le plan z = 0. Donner les relations liant les amplitudes A e _C et A e _1s aux amplitudes A e _1e et A e ⁰ _C , et faisant intervenir des coefficients caract´ erisant le miroir M ₁ .

(b) Donner l’amplitude A e ⁰ _C en fonction de A e _C , des coefficients caract´ erisant le miroir M ₂ et du d´ ephasage Φ(ω).

(c) Donner l’amplitude A e _2s en fonction de A e _C et des caract´ eristiques du miroir M ₂ . (d) En d´ eduire l’expression de l’amplitude A e _2s en fonction de l’amplitude incidente A e _1e . 31. On suppose pour toute la suite les deux miroirs identiques (et caract´ eris´ es par R et T ).

D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede l’expression du coefficient de transmission en ´ energie de la cavit´ e T _C (ω) en fonction de T , R et Φ(ω).

32. (a) A quelle condition sur la phase Φ(ω) la transmission T _C (ω) est-elle maximale ? (b) Donner l’expression de l’intervalle spectral libre d´ efini en pulsation :

∆ _ISL = ω _m+1 − ω _m , o` u ω _m et ω _m+1 sont deux pulsations de r´ esonance cons´ ecutives.

(c) Donner la valeur de T _C ^max .

33. Soit ε(ω) le d´ esaccord de phase ε(ω) = Φ(ω) − Φ(ω _m ) o` u ω _m est la pulsation de r´ esonance la plus proche de ω. Exprimer ε(ω) en fonction du d´ ecalage de pulsation ω − ω _m et de

∆ _ISL .

34. On consid` ere dor´ enavant uniquement le mode du champ ´ electromagn´ etique de pulsation ω <sub>m</sub> (not´ e ω <sub>0</sub> par la suite). On suppose que le d´ ecalage de pulsation ∆ = ω − ω <sub>m</sub> est tr` es faible devant l’intervalle spectral libre en pulsation, soit |∆| << ∆ _ISL . Montrer que le coefficient de transmission de la cavit´ e sans oscillateurs T _C (∆) se r´ e´ ecrit, apr` es d´ eveloppement

T _C ^sans (∆) = T ²

[1 − R] ² + R(2π∆/∆ _ISL ) ² (7)

35. Soit γ C la largeur totale ` a mi-hauteur des pics de transmission T _C ^sans (∆) de la cavit´ e sans oscillateurs.

(a) Pour quelles valeurs de ∆ la transmission chute-t-elle d’un facteur 2 ?

(b) En d´ eduire l’expression de γ _C en fonction de ∆ _ISL et R, puis en fonction de R, c, L et n _B .

(c) En d´ eduire l’expression de la finesse F d´ efinie par : F = ∆ _ISL /γ _C .

1.2 Dur´ ee de vie du mode de cavit´ e

On consid` ere dans cette partie que le champ dans la cavit´ e a ´ et´ e cr´ e´ e au voisinage de t = 0, au moyen d’une impulsion intense E e <sub>1e</sub> (z, t), de pulsation moyenne ω <sub>0</sub> , et de dur´ ee nettement plus longue que le temps d’un aller retour de la lumi` ere dans la cavit´ e. On s’int´ eresse ` a l’´ evolution temporelle ult´ erieure de l’amplitude du champ ´ electrique dans la cavit´ e, apr` es coupure de l’excitation.

On consid` ere ainsi que le champ dans la cavit´ e est alors la superposition d’une onde progressive E e <sub>C</sub> (z, t) = A <sub>C</sub> (t) exp[j(kz − ω <sub>0</sub> t)] et d’une onde progressive de direction op- pos´ ee E e <sub>C</sub> <sup>0</sup> (z, t) = A <sup>0</sup> <sub>C</sub> (t) exp[j (−kz − ω <sub>0</sub> t)]. Les amplitudes A <sub>C</sub> (t) et A <sup>0</sup> <sub>C</sub> (t) sont lente- ment variables : les variations rapides sont contenues dans le terme exp[j(kz − ω <sub>0</sub> t)]. Le d´ ephasage Φ(ω <sub>0</sub> ) associ´ e ` a un aller-retour de la lumi` ere dans la cavit´ e ´ etant un mul- tiple de 2π, on peut prendre A _C (t) et A ⁰ _C (t) r´ eels. Il existe ´ egalement deux ondes sor- tantes E e _1s (z, t) = A e _1s (t) exp[j(−kz − ω ₀ t)] et E e _2s (z, t) = A e _2s (t) exp[j(kz − ω ₀ t)] vers les z d´ ecroissant et croissant respectivement (voir Figure 3).

36. On note τ le temps mis par l’onde pour faire un aller-retour dans la cavit´ e. Exprimer τ en fonction des caract´ eristiques de la cavit´ e.

37. Justifier qu’apr` es excitation de la cavit´ e par une impulsion de dur´ ee bien sup´ erieure ` a τ, le champ remplit toute la cavit´ e. Expliquer pourquoi les amplitudes A _C (t) et A ⁰ _C (t) varient lentement ` a l’´ echelle du temps τ.

38. Exprimer A ⁰ _C (t) en fonction de A _C (t − τ) et des coefficients caract´ erisant le miroir M ₂ . 39. Rappeler la relation reliant l’amplitude A _C (t) ` a l’amplitude A ⁰ _C (t) et aux coefficients

caract´ erisant le miroir M ₁ . En d´ eduire une relation entre A _C (t) et A _C (t − τ).

40. Sachant que l’amplitude varie tr` es peu pendant la dur´ ee τ , calculer A _C (t) − A _C (t − τ ) et montrer que l’´ evolution de A _C (t) est gouvern´ ee par une ´ equation diff´ erentielle de la forme :

dA C (t) dt = − γ

2 A _C (t)

41. Exprimer le taux de d´ ecroissance du champ dans la cavit´ e γ/2 en fonction de (1 − R) et de τ .

42. Montrer que le coefficient d’amortissement de l’´ energie emmagasin´ ee dans la cavit´ e est

γ. Exprimer γ en fonction de (1 − R), L, n _B et c. Quel est le lien entre ce coefficient

d’amortissement γ de l’´ energie du mode de cavit´ e et la largeur totale ` a mi-hauteur γ _C des

pics de transmission ?

43. De quelle mani` ere ´ evolue l’intensit´ e I _s (t) d´ etect´ ee en sortie de cavit´ e ? Donner l’expression de la dur´ ee caract´ eristique δT de ce signal.

2 Oscillateurs de Lorentz

2.1 Electron ´ elastiquement li´ e

En l’absence d’oscillateurs, le mat´ eriau est transparent, d’indice de base n _B . En pr´ esence des oscillateurs, la permittivit´ e di´ electrique relative de la mati` ere e _r comporte deux termes : d’une part la permittivit´ e constante _rB = n ² _B , d’autre part la susceptibilit´ e di´ electrique des oscillateurs χ(ω) : e

e _r = _rB + χ(ω) e (8)

On mod´ elise ces oscillateurs en les assimilant ` a N atomes par unit´ e de volume poss´ edant chacun un ´ electron (masse m, charge −e) li´ e au coeur de l’atome par un potentiel har- monique d´ efini par la constante de rappel mω ₀ ² . On note − → r la position de l’´ electron par rapport au centre de l’atome. On mod´ elise les effets dissipatifs par une force de frottement de la forme − →

f = −mγ A − → v o` u − → v est la vitesse de l’´ electron. Ces effets dissipatifs sont faibles, ce qui se traduit par γ _A << ω ₀ .

44. Donner l’´ equation du mouvement de l’´ electron en pr´ esence du champ ´ electrique − → E (t).

45. On rappelle que, dans cette partie, on repr´ esente une grandeur harmonique h de pulsation ω par h(t) = <[ ˜ H exp(−jωt)], en suivant la convention d´ ej` a adopt´ ee pour les ondes.

Donner alors l’expression de la susceptibilit´ e di´ electrique χ(ω) en fonction de e ω, de ω ₀ , du coefficient d’amortissement γ _A et de la pulsation plasma ω _p d´ efinie par :

ω ² _p = N e ² m ₀ o` u 0 est la permittivit´ e di´ electrique du vide.

46. On ne s’int´ eresse qu’au voisinage de la r´ esonance. Sachant que |∆| << ω ₀ , donner l’ex- pression approch´ ee de χ e en fonction de l’´ ecart de pulsation ∆ = ω − ω 0 , du coefficient d’amortissement γ _A , de ω _p et de ω ₀ .

2.2 Absorption et dispersion

47. Rappeler le lien entre l’indice complexe n e et la permittivit´ e di´ electrique relative e _r . Sachant que | χ(ω)| e << _rB , faire un d´ eveloppement de l’indice complexe e n au premier ordre par rapport ` a χ. e

48. Rappeler comment l’indice de r´ efraction n et le coefficient d’absorption α, d´ efini par rapport ` a l’intensit´ e, sont reli´ es aux parties r´ eelle et imaginaire de l’indice complexe.

49. Exprimer e n en fonction de ω _p , ω ₀ , n _B , γ _A et ∆. En d´ eduire que l’indice de r´ efraction et le coefficient d’absorption du milieu contenant les oscillateurs de Lorentz sont de la forme :

α(ω) = α ₀ γ _A ²

4∆ ² + γ _A ² et n(ω) = n _B − α ₀ c ω ₀

∆γ _A

4∆ ² + γ _A ² (9)

Exprimer α ₀ en fonction de ω _p , n _B , c et γ _A .

50. Comment α ₀ varie-t-il avec le nombre N d’oscillateurs par unit´ e de volume ?

51. Quelle est la largeur totale ` a mi-hauteur du pic d’absorption ?

3 Caract´ eristiques de la cavit´ e avec oscillateurs

Le milieu mat´ eriel r´ esonnant d´ ecrit ci-dessus occupe maintenant tout le volume de la cavit´ e.

3.1 Effet de la dispersion

Dans cette partie on s’int´ eresse ` a l’effet de la dispersion : on ne prend pas en compte pour le moment l’absorption.

52. Donner la nouvelle expression du d´ ephasage Φ _avec (ω) associ´ e ` a un aller-retour de la lumi` ere dans la cavit´ e.

53. On consid` ere que la cavit´ e vide est accord´ ee sur la pulsation ω ₀ . On a donc Φ _sans (ω ₀ ) = p2π, avec p entier.

(a) En consid´ erant la forme de la fonction n(ω), montrer que Φ _avec (ω ₀ ) vaut toujours Φ _avec (ω ₀ ) = p2π.

(b) On cherche s’il existe, au voisinage de ω ₀ , d’autres valeurs de la pulsation qui v´ erifient la relation d’accord de phase Φ _avec (ω) = p2π, avec la mˆ eme valeur enti` ere p. Traduire cette condition sous la forme d’une relation liant n(ω), n _B , ω et ω ₀ .

(c) Discuter cette relation en tra¸cant sur un mˆ eme graphique la fonction n(ω) et une fonction de ω ` a d´ eterminer, sur un petit domaine de pulsation autour de ω 0 . Montrer

`

a l’aide du graphique qu’il existe, suivant l’importance du terme r´ esonnant, soit une soit trois solutions v´ erifiant cette condition d’accord de phase.

54. Donner la nouvelle expression du d´ esaccord de phase ε(ω) = Φ _avec (ω) − Φ _avec (ω ₀ ) en fonction de ω, ω ₀ , L, c, n _B et n(ω).

55. En introduisant le d´ ecalage de pulsation ∆ = ω − ω ₀ , montrer que le d´ esaccord de phase ε(ω) en pr´ esence du milieu r´ esonnant peut se mettre sous la forme :

ε(ω) = 2π

∆ ISL

[∆ − β ² ∆

4∆ ² + γ _A ² ] (10)

o` u β est un param` etre positif caract´ erisant le couplage entre les oscillateurs et la cavit´ e.

Exprimer β en fonction de F , α ₀ , L, γ _A et γ _C .

56. Exprimer ensuite β en fonction de N , e, m, ₀ et n _B . Montrer que β s’´ ecrit simplement en fonction de ω _p (qui caract´ erise la partie r´ esonnante de la mati` ere) et de l’indice de base n <sub>B</sub> qui caract´ erise la mati` ere non r´ esonnante.

57. Pr´ eciser la discussion graphique pr´ ec´ edente en recherchant les z´ eros de la fonction ε(ω).

Donner la position des nouveaux modes r´ esonnants en fonction des param` etres β et γ <sub>A</sub> . Montrer que les nouveaux modes r´ esonnants n’apparaissent que pour un couplage sup´ erieur ` a un couplage critique β _c que l’on pr´ ecisera.

58. Pr´ eciser la d´ ependance de β avec N . Comment faut-il choisir la concentration volumique d’oscillateurs pour avoir un couplage ´ elev´ e ?

59. La prise en compte du ph´ enom` ene d’absorption, qui fait l’objet de la partie suivante, r´ ev` ele l’existence de deux pics de transmission alors que l’on a trois z´ eros de la fonction d´ esaccord de phase ε(ω). Proposer une explication.

3.2 Effets de la dispersion et de l’absorption

L’absorption est maintenant prise en compte.

-200 -100 0 100 200

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

a)

T

avec

/ T

max

Décalage de fréquence (MHz)

-200 -100 0 100 200

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

b)

T

/ T

max

Décalage de fréquence (MHz)

Fig. 4 – Transmission de la cavit´ e optique en fonction du d´ ecalage de fr´ equence entre le laser et la r´ esonance de la cavit´ e vide. a) cavit´ e vide, b) cavit´ e travers´ ee par le jet atomique.

60. Montrer qu’en pr´ esence du milieu absorbant, le coefficient de transmission de la cavit´ e T _C (∆) vaut :

T _C ^avec (ω) = T ² exp(−α(ω)L)

[1 − R exp(−α(ω)L)] ² + 4R exp(−α(ω)L) sin ² (Φ(ω)/2) (11) 61. On fait l’hypoth` ese d’une tr` es faible absorption pour un aller-retour dans la cavit´ e, soit α(ω)L ≤ α ₀ L << 1. On se limite ` a de tr` es petits ´ ecarts de pulsation : |∆| << ∆ _ISL . On rappelle que la cavit´ e est de grande finesse (R ' 1). Montrer que le coefficient de transmission de la cavit´ e T _C (∆) se r´ e´ ecrit, apr` es d´ eveloppement

T _C ^avec (ω) = T ²

[1 − R + α(ω)L] ² + ε(ω) ² (12)

62. En utilisant les r´ esultats des questions 32, 35, 49 et 55, on arrive apr` es des manipulations alg´ ebriques ´ el´ ementaires qui ne sont pas demand´ ees ` a exprimer T _C ^avec (∆) sous la forme

T _C ^avec (∆) = T _C ^max γ _C ²

u − (2β ² + γ _A ² − γ _C ² ) + (Ω ² + γ _A ² ) ² /u (13) o` u u repr´ esente la quantit´ e u = 4∆ ² + γ _A ² , et

Ω ² = β ² (β ² + 2γ _A ² + 2γ _A γ _C ) − γ _A ²

On suppose dor´ enavant que le coefficient de couplage β est assez ´ elev´ e pour que Ω soit r´ eel (positif). On cherche ` a pr´ eciser la forme de la fonction de transmission T _C ^avec (∆), et en particulier la position, la largeur et la hauteur des pics de transmission.

(a) Montrer que T _C ^avec (∆) poss` ede deux pics dont les positions sont ∆ ± = ±Ω/2. V´ erifier que ces pics sont l´ eg` erement d´ ecal´ es par rapport aux z´ eros de la fonction d´ esaccord de phase ε(ω), d´ etermin´ es ` a la question 57.

(b) On suppose pour toute la suite que β >> γ _A et β >> γ _C . Montrer que Ω peut s’´ ecrire de mani` ere approch´ ee : Ω ∼ p

β ² + γ _A γ _C

(c) Calculer alors la hauteur des pics de transmission en ∆ = ±Ω/2, en fonction de

T _C ^max , γ _A et γ _C .

(d) Montrer que ces pics ont une forme lorentzienne. On posera ∆ = ±Ω/2 + η avec

|η| << Ω/2.

(e) D´ eterminer la largeur totale ` a mi-hauteur des pics de transmission γ AC , en fonction de γ _A et γ _C .

63. Dans l’exp´ erience repr´ esent´ ee sur la figure 2.a, un jet d’atomes de Baryum traverse une cavit´ e optique r´ esonnante avec une transition du Baryum. Cette fr´ equence de r´ esonance est ω ₀ /(2π) = 5, 4.10 ¹⁴ Hz. La largeur de la transition atomique est connue et vaut γ _A /(2π) = 20 MHz. L’absorbance α ₀ L vaut α ₀ L = 0,2 et la finesse de la cavit´ e est F = 500.

(a) D´ eduire de la figure 4.a la largeur du mode de cavit´ e γ _C /(2π).

(b) En pr´ esence du jet atomique le pic de transmission se d´ edouble. V´ erifier que les caract´ eristiques des deux pics de transmission obtenus sur la figure 4.b sont com- patibles avec les pr´ edictions du mod` ele pr´ ec´ edent : distance Ω/(2π) entre les pics de transmission de la cavit´ e, largeur des pics de transmission γ AC /(2π), hauteur des pics de transmission.

3.3 Evolution temporelle de l’intensit´ e en sortie de cavit´ e

0 1 2 3 4 5 6

intensité (unités arbitraires)

temps (picosecondes)

Fig. 5 – Evolution temporelle de l’impulsion transmise par la cavit´ e. La courbe repr´ esente l’intensit´ e d´ etect´ ee en fonction du temps en sortie de la cavit´ e apr` es excitation par une impulsion lumineuse.

On suppose maintenant que l’on a excit´ e ` a t ∼ 0 la cavit´ e avec une impulsion laser de pulsation moyenne ω <sub>0</sub> et de dur´ ee ∆t. Le champ ´ electrique de cette impulsion (dans le plan z = 0 <sup>−</sup> juste avant le miroir M <sub>1</sub> ) est de la forme E <sub>1e</sub> (t) = A <sub>1e</sub> (t) exp(−jω <sub>0</sub> t). L’enveloppe A <sub>1e</sub> (t) est non nulle sur un intervalle de largeur ∆t. L’onde en sortie de cavit´ e peut s’´ ecrire (dans le plan z = L <sup>+</sup> juste apr` es le miroir M ₂ ) sous la forme E _2s (t) = A _2s (t) exp(−jω ₀ t).

On cherche ` a d´ eterminer l’allure de l’enveloppe A _2s (t).

Dans la description classique faite ici, le syst` eme cavit´ e-mati` ere est lin´ eaire ; sa r´ eponse temporelle est donc li´ ee ` a sa r´ eponse en fr´ equence par une transformation de Fourier. On d´ ecompose donc chaque champ sous la forme

E _1e (t) = 1 2π

Z +∞

−∞

E ˆ _e (ω) exp(−jωt)dω

E _2s (t) = 1 2π

Z +∞

−∞

E ˆ _s (ω) exp(−jωt)dω Pour chaque pulsation , on peut ´ ecrire

E ˆ _s (ω) = t _C (ω) ˆ E _e (ω) o` u t _C (ω) = p

T _C (ω) exp[jϕ(ω)]

est le coefficient de transmission en amplitude de la cavit´ e, de module p

T _C (ω) et de phase ϕ(ω). Pour la suite on supposera que cette phase ϕ(ω) varie peu sur un intervalle de quelques Ω autour de ω ₀ ; on n´ egligera donc l’influence du terme exp[jϕ(ω)] dans ce qui suit.

64. L’impulsion doit ˆ etre suffisamment br` eve pour que sa largeur spectrale soit nettement sup´ erieure ` a Ω. Quelle condition doit v´ erifier la dur´ ee ∆t de cette impulsion d’excitation ? 65. Sachant que le facteur de transmission en amplitude de la cavit´ e t _C (ω) est constitu´ e de deux ”pics” centr´ es en ω ₀ ± Ω/2 et de largeur ∼ γ _AC , comment varie le champ E _2s (t) en sortie de cavit´ e ?

66. Repr´ esenter sur un sch´ ema l’allure de E _2s (t) ; on fera apparaˆıtre la fonction enveloppe A 2s (t). Comparer les variations du champ ´ electrique E 2s (t) en sortie de cavit´ e aux varia- tions du courant i ₂ (t) dans le cas des circuits ´ electriques coupl´ es (question 26).

67. Montrer que l’intensit´ e I _s (t) de l’impulsion d´ etect´ ee en sortie de cavit´ e pr´ esente des os- cillations amorties. Relier la p´ eriode T _osc de ces oscillations et leur dur´ ee caract´ eristique δT ⁰ aux quantit´ es Ω et γ _AC .

68. La figure 5 repr´ esente l’allure typique du signal enregistr´ ee dans le domaine visible (ω ₀ /(2π) = 3, 6 10 ¹⁴ Hz) pour une h´ et´ erostructure semiconductrice GaAs/GaAlAs. En 4,5 ps, on observe 5 oscillations et une d´ ecroissance globale d’un facteur 20 du signal (cf.

Fig. 5). Donner l’ordre de grandeur de la dur´ ee caract´ eristique δT ⁰ et de la p´ eriode T _osc des oscillations. En d´ eduire, dans le domaine fr´ equentiel, les valeurs de l’´ ecart entre les deux pics Ω/(2π) et de la largeur des pics γ AC /(2π).

69. La longueur optique effective de la cavit´ e est de quelques microm` etres. Traduire num´ eriquement

les deux conditions impos´ ees sur la dur´ ee ∆t de l’impulsion d’excitation (questions 37 et

64). Ces conditions sont elles compatibles ?

Troisi` eme partie

Couplage entre ´ etats quantiques

Dans cette partie on aborde le traitement quantique du couplage des deux oscillateurs.

On pr´ esente d’abord le cas le plus simple du couplage de deux ´ etats discrets de dur´ ee de vie infinie. On envisage cette situation dans le cas d’un mode ´ electromagn´ etique discret de la cavit´ e et d’un syst` eme ` a deux niveaux pr´ esent dans la cavit´ e.

On consid` ere ensuite le cas du couplage d’un ´ etat discret ` a un continuum. Il s’agit par exemple du mode ´ electromagn´ etique discret de la cavit´ e, faiblement coupl´ e au continuum des modes ´ electromagn´ etiques ext´ erieurs ` a la cavit´ e. On cherche ` a montrer que ce couplage se traduit par un temps de vie fini pour le mode de cavit´ e.

On pr´ esente enfin un mod` ele permettant un passage progressif entre ces deux situations limites. Cette situation permettra de d´ ecrire le couplage entre un niveau atomique discret et un mode de la cavit´ e de largeur finie.

1 Couplage entre deux ´ etats discrets

On consid` ere un syst` eme atomique pr´ esentant deux niveaux, un niveau fondamental |gi et un niveau excit´ e |ei d’´ energie ¯ hω ₀ par rapport au fondamental, plac´ e dans une cavit´ e optique pr´ esentant un mode ´ electromagn´ etique r´ esonnant avec la transition e − g. On consid` ere uniquement deux ´ etats possibles pour la cavit´ e : l’´ etat |0i sans photon et l’´ etat

|1i ` a un photon dans la cavit´ e. Le syst` eme composite atome-photon, d’hamiltonien H ₀ , a donc deux ´ etats excit´ es de mˆ eme ´ energie, |e, 0i (atome dans son ´ etat excit´ e, pas de photon) et |g, 1i (atome dans son ´ etat fondamental, un photon), au dessus de l’´ etat fondamental

|g, 0i, comme indiqu´ e sur la figure 6.

Fig. 6 – Diagramme d’´ energie du syst` eme atome-champ

Le syst` eme atomique peut absorber un photon de la cavit´ e ou en ´ emettre un. L’interaction dipolaire ´ electrique fait apparaˆıtre un terme de couplage hors-diagonal de la forme H ₁ =

−d.E ₀ , o` u d est l’´ el´ ement de matrice du dipˆ ole et E ₀ = p

¯

hω ₀ /(2 ₀ V ) est le ”champ

´ electrique par photon”, V ´ etant le ”volume” du mode. On admet que le couplage lumi` ere- mati` ere entre ces deux ´ etats ne comporte que ces termes hors-diagonaux, qu’on supposera r´ eels positifs :

hg, 1|H 1 |e, 0i = he, 0|H 1 |g, 1i = ¯ hΩ ₁

2 > 0

L’hamiltonien H ₀ +H ₁ est donc repr´ esent´ e dans le sous-espace |e, 0i, |g, 1i par la matrice :

¯ h

ω ₀ Ω ₁ /2 Ω ₁ /2 ω ₀

(14) 70. Donner l’expression des ´ energies ¯ hω ± des ´ etats perturb´ es.

71. Donner l’expression des ´ etats propres normalis´ es |ψ ₊ i et |ψ − i en fonction de |e, 0i et |g, 1i.

72. On pr´ epare initialement le syst` eme dans l’´ etat |ψ(0)i = |e, 0i ` a t = 0. Soit |ψ(t)i l’´ etat du syst` eme, normalis´ e, ` a l’instant t. Donner l’expression de |ψ(t)i en fonction de |ψ ₊ i et

|ψ − i, puis en fonction de |e, 0i et |g, 1i.

73. En d´ eduire la probabilit´ e P _C (t) de trouver le syst` eme dans l’´ etat initial |e, 0i. Donner l’expression de la pulsation de Rabi qui caract´ erise l’oscillation observ´ ee.

74. Dans le cas des exp´ eriences r´ ealis´ ees avec un jet atomique, chaque atome passe un temps fini dans la cavit´ e. Le couplage ne s’applique donc que de t = 0 ` a t = t <sub>1</sub> , pendant que l’atome traverse la cavit´ e. ` A l’instant t = 0 l’atome est dans son ´ etat excit´ e |ei, et la cavit´ e ne contient pas de photon.

(a) A quelle condition sur le produit Ω 1 t 1 retrouve-t-on en sortie de cavit´ e l’atome dans son ´ etat fondamental, avec un photon dans la cavit´ e ?

(b) D´ ecrire l’´ etat final du syst` eme atome-cavit´ e dans le cas Ω ₁ t ₁ = π/2. En quoi cet ´ etat

´

echappe-t-il ` a toute description classique ?

75. Faire un lien entre les ´ etats stationnaires |ψ ₊ i et |ψ − i du hamiltonien H ₀ +H ₁ et l’allure du spectre de transmission de la cavit´ e optique ´ etudi´ ee dans la deuxi` eme partie du probl` eme.

2 Couplage d’un ´ etat discret ` a un continuum large

On consid` ere un syst` eme d’hamiltonien H ₀ . Ce syst` eme comporte un ´ etat discret |ii d’´ energie ¯ hω <sub>i</sub> et un quasi-continuum d’´ etats |ki d’´ energie ¯ hω <sub>k</sub> = ¯ hω <sub>i</sub> + kε, avec k entier variant de −∞ ` a +∞ (voir Fig. 7). L’´ ecart ´ energ´ etique ε entre deux niveaux d’´ energie cons´ ecutifs est tr` es petit. Ces ´ etats, tr` es serr´ es et ´ equidistants en ´ energie peuvent ˆ etre assimil´ es ` a un continuum de densit´ e d’´ etats en ´ energie constante ρ(¯ hω) = ρ ₀ = 1/ε.

Fig. 7 – Diagramme d’´ energie du syst` eme ´ etat discret - continuum large

On consid` ere une faible perturbation H ₁ couplant l’´ etat discret et le quasi-continuum, poss´ edant les propri´ et´ es suivantes :

hk|H ₁ |ii = v hi|H ₁ |ki = v ^∗ hi|H ₁ |ii = 0 hk|H ₁ |ki = 0 Le vecteur d’´ etat du syst` eme ` a l’instant t s’´ ecrit :

|Ψ(t)i = c _i (t)e ^−jω

^t |ii + X

k

c _k (t)e ^−jω

^t |ki

76. Rappeler la forme g´ en´ erale de l’´ equation de Schr¨ odinger reliant |Ψ(t)i et l’hamiltonien H ₀ + H ₁ .

77. Appliquer cette relation pour obtenir deux ´ equations diff´ erentielles, l’une reliant dc i /dt ` a une somme portant sur les coefficients c <sub>k</sub> (t), l’autre reliant dc <sub>k</sub> /dt ` a c _i (t).

78. Exprimer dc _i /dt sous la forme d’une int´ egrale. On utilisera pour cela la relation de passage de la somme discr` ete ` a l’int´ egrale :

X

k

f _k = Z

f _k ρ ₀ d(¯ hω _k )

79. Le syst` eme est pr´ epar´ e dans l’´ etat |ii ` a l’instant t = 0. On a donc comme conditions initiales : c _i (0) = 1 et c _k (0) = 0.

(a) Exprimer c k (t) sous la forme d’une int´ egrale.

(b) En d´ eduire l’expression de dc _i /dt sous la forme d’une double int´ egrale.

80. Simplifier cette ´ equation int´ egro-diff´ erentielle en int´ egrant d’abord en pulsation, en uti- lisant l’identit´ e math´ ematique (1), puis en int´ egrant en temps, en utilisant l’identit´ e math´ ematique (2).

81. Montrer que l’amplitude de probabilit´ e c _i (t) v´ erifie une ´ equation diff´ erentielle de la forme : dc _i (t)

dt = − Γ 2 c _i (t) Exprimer Γ en fonction de v, ¯ h et ρ ₀ .

82. Donner la forme de l’´ evolution temporelle de l’amplitude de probabilit´ e c _i (t) puis de la probabilit´ e P (t) de trouver le syst` eme dans l’´ etat |ii ` a l’instant t.

83. Quelle est la dur´ ee de vie du syst` eme pr´ epar´ e dans l’´ etat |ii ?

84. On se limite dans cette question aux temps courts t << 1/Γ. On note p la probabilit´ e de transition par unit´ e de temps de l’´ etat discret vers le continuum. Montrer que, pour t << 1/Γ, la probabilit´ e de transition par unit´ e de temps p vaut Γ. En d´ eduire qu’on retrouve bien la r` egle d’or de Fermi, qui s’´ ecrit pour ce continuum non-d´ eg´ en´ er´ e :

p = 2π

¯

h |v| ² ρ(¯ hω = ¯ hω _i ) 85. Montrer que l’amplitude de probabilit´ e c _k (t) s’´ ecrit :

c _k (t) = v

¯ h

1 − e ^−Γt/2 e ^j(ω

^−ω

^)t

ω _k − ω _i + jΓ/2 (15)

86. On se place ` a t >> 1/Γ. Calculer la probabilit´ e dP de trouver le syst` eme dans un ´ etat du continuum d’´ energie ¯ hω _k ` a d(¯ hω <sub>k</sub> ) pr` es ` a l’instant t. Justifier la forme spectrale de la raie d’´ emission d’un atome ` a deux niveaux au repos. Pr´ eciser la valeur de la largeur de la raie.

3 Transition couplage faible - couplage fort

Pour faire un lien entre les deux situations de couplage : entre deux ´ etats discrets (couplage

fort) ou entre un ´ etat discret et un continuum large (couplage faible) on envisage dans

cette derni` ere partie le couplage entre un ´ etat discret et un continuum de largeur finie

Fig. 8 – Diagramme d’´ energie du syst` eme niveau discret - continuum de largeur ¯ hγ (voir Fig. 8). On suppose que le continuum a une densit´ e d’´ etats en ´ energie de forme lorentzienne, avec une largeur totale ` a mi-hauteur ¯ hγ.

ρ(¯ hω) = ρ 0

γ ² 4(ω − ω _i ) ² + γ ²

87. En adaptant le r´ esultat obtenu ` a la question 79b, donner la nouvelle ´ equation int´ egro- diff´ erentielle v´ erifi´ ee par c _i (t).

88. Simplifier cette relation en utilisant la relation (3) du formulaire.

89. D´ eriver l’´ equation obtenue par rapport au temps. Montrer que l’´ evolution de c _i (t) est r´ egie par l’´ equation diff´ erentielle du second ordre :

d ² c i (t) dt ² + γ

2 dc i (t)

dt + Γγ

4 c i (t) = 0

90. On prend comme conditions initiales : c _i (0) = 1 et c _k (0) = 0. Montrer que dc _i

dt (t = 0) = 0 91. Cas du couplage faible : Γ < γ/4.

(a) Donner la forme des solutions dans le cas o` u Γ < γ/4.

(b) Montrer que pour Γ << γ/4 (continuum large), on retrouve aux temps longs la loi de d´ ecroissance exponentielle, avec une dur´ ee de vie du syst` eme pr´ epar´ e dans l’´ etat

|ii ´ egale ` a 1/Γ.

92. Cas du couplage fort : Γ > γ/4.

(a) Donner la forme des solutions dans le cas o` u Γ > γ/4.

(b) On consid` ere dans les questions qui suivent le cas Γ >> γ/4 (continuum ´ etroit).

Donner l’expression de l’amplitude de probabilit´ e c _i (t) ` a l’ordre le plus bas.

(c) Donner de mˆ eme l’expression de la probabilit´ e P (t) de trouver le syst` eme dans l’´ etat

|ii ` a l’instant t.

(d) Exprimer, en fonction de Γ et γ, la pulsation Ω des oscillations obtenues pour P (t), et

le coefficient d’amortissement de ces oscillations. On pourra v´ erifier que la condition

de couplage fort ´ enonc´ ee ici Γ > γ/4 se r´ e´ ecrit Ω > (γ − 0)/2, condition analogue ` a

celle envisag´ ee dans la premi` ere partie.

(e) Montrer que la pulsation Ω des oscillations est de la forme : Ω = 2|v|

¯ h

√ N

Que repr´ esente le nombre N ? Comparer la pulsation obtenue avec celle qu’on aurait dans le cas d’un couplage de l’´ etat |ii ` a un ´ etat unique.

93. Le continuum de densit´ e d’´ etat ρ(¯ hω) (de largeur ¯ hγ) repr´ esente la densit´ e spectrale du mode ` a 1 photon de la cavit´ e. Cet ´ elargissement est dˆ u ` a la dur´ ee de vie finie du mode de cavit´ e (´ egale ` a 1/γ). L’´ etat discret repr´ esente l’´ etat excit´ e atomique, de dur´ ee de vie beaucoup plus longue que celle du photon.

(a) L’obtention de sources de photons uniques de taux de r´ ep´ etition ´ elev´ e n´ ecessite de r´ eduire fortement le temps de vie radiatif du syst` eme atomique. Montrer que, en r´ egime de couplage faible, le couplage du syst` eme atomique avec la cavit´ e permet de r´ eduire fortement ce temps de vie radiatif.

(b) Dans le r´ egime de couplage fort, pr´ eciser de quelle mani` ere la largeur des pics de

transmission est modifi´ ee. Discuter l’origine physique de ce ph´ enom` ene.