Oscillateurs

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Table des matières

11 Oscillateurs électrocinétiques 2

11.1Exercices d’application 2

11.1.1 OQS : naissance des oscillations. . . 2 11.1.2 OQS : Effets de la saturation . . . 2 11.1.3 OR : Multivibrateur astable . . . 2

11.2Problèmes 3

11.2.1 Oscillateur à résistance négative. . . 3 11.2.2 Générateur de fonctions. . . 4 11.2.3 Oscillateur de Hartley. . . 4

11.3Annales 5

11.3.1 Conditionnement des signaux par oscillateurs . . . 5 11.3.2 Modulation de largeur d’impulsions. . . 6 11.3.3 Capteur de proximité capacitif. . . 9

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11 Oscillateurs électrocinétiques

11.1 Exercices d’application

11.1.1 OQS : naissance des oscillations

On considère le circuit bouclé ci-dessous, dans lequel l’ALI est idéal :

− +

B∞ i^I_s

I

i⁻ iI⁺

ε

R₁

R2

C L R R0

u₁(t) u₂(t)

u3(t)

On cherche à créer un oscilateur quasi-sinusoïdal, à partir du bruit de fonctionnement de la masse.

1. Dans quel régime doit-on placer l’ALI pour obtenir une croissance des oscillations pour un oscillateur quasi-sinusoïdal ?

2. Établir l’équation différentielle qui relieu₁(t) et u₂(t) à travers le filtreRkLkC.

3. En supposant un régime linéaire de fonctionnement de l’ALI, établir le lien entre u₃(t) et u₂(t).

4. En déduire l’équation différentielle vérifiée par u2(t) dans la phase de fonctionnement linéaire et donner alors le critère de démarrage spontané des oscillations.

11.1.2 OQS : Effets de la saturation

On reprend l’exercice précédent pour lequel, en régime linéaire on a établit les relations suivantes, toujours valables :

R₀RLCd²u2

dt² +L(R₀+R)du2

dt +R₀Ru₂ =RLdu1

dt (11.1)

V+=u2 (11.2)

V−= R1

R₁+R₂u3 (11.3)

1. On suppose que les oscillations croissantes du régime linéaire atteigne la saturation positive à l’instant t = 0, en déduire l’équation différentielle vérifiée par u2(t). Que peut-on dire de celle vérifiée paru₂(t) lorsque la saturation négative sera atteinte ?

2. En prenant des valeurs classiques pour les impédances, quel type de régime obtient-on ? En déduire la période de cette phase.

11.1.3 OR : Multivibrateur astable On étudie le circuit donné ci-dessous :

(3)

11. Oscillateurs électrocinétiques 11.2. Problèmes

+

−

B∞ I

is

I

i⁺ iI⁻

ε

− +

B∞ i^I_s

I

i⁻ iI⁺

ε

ALI2

R₁

R₂ R

C

u₁

u2

u₃

ALI1

1. Établir l’équation différentielle reliant la tensionu₁(t) àu₂(t).

2. Dans quel régime de fonctionnement se trouve l’ALI2 ? On suppose que le condensateur est déchargé et queu₃(t= 0) = +V_sat. En déduire la loi horaire u₂(t). Jusqu’à quel instantt₁ est-elle valable ? 3. En déduire l’évolution ultérieure, puis la période de la tensionu₂(t).

11.2 Problèmes

11.2.1 Oscillateur à résistance négative

Soit les circuit électriques ci-dessous dans lesquels fonctionne un ALI idéal. Les dipôles sont tous idéaux.

+

−

B∞ i_s i⁻

i⁺ ε

us

u_e

R

R₂ R₁

I

•

Fig. 11.1

+

−

B ∞ i_s i⁻

i⁺ ε

us

R

R₂ R₁

I

C L

r •

•

Fig. 11.2

1. Rappeler les hypothèses associées à un ALI idéal, tracer sa caractéristique, et nommer les diverses zones de fonctionnement.

2. On s’intéresse au circuit de la figure11.1. Pour un régime quelconque, établir le lien entre, d’une partV⁻,I etu_s, et d’autre partV⁺ etu_s.

3. En régime linéaire, en déduire une relation entreu_e etI.

4. En régime linéaire, la tensionus est liée àV⁺. À partir de quelle valeur deI le système bascule-t-il en saturation à +V_sat? En déduire une relation entre u_e,I etV_sat.

5. De même, À partir de quelle valeur deI le système bascule-t-il en saturation à −V_sat? En déduire une relation entreue,I etVsat.

6. Tracer la caractéristique statique u_e en fonction de I en précisant les zones correspondant au fonctionnement en régime linéaire, en saturation positive et négative. Montrer que dans un intervalle

(4)

11. Oscillateurs électrocinétiques 11.2. Problèmes

donné deue, ce circuit se comporte comme un dipôle de résistance négativeRN que vous exprimerez en fonction deR₁,R₂ et/ouR.

7. On considère maintenant le montage de la figure 11.2. Établir l’équation différentielle régissant l’évolution deI(t) en régime linéaire et en régime de saturation.

8. Discuter de la stabilité des régimes étudiés.

9. Quelle(s) est (sont) la (les) condition(s) sur R (et autres) permettant d’obtenir des oscillations quasi-sinusoïdales ? Même question pour des oscillations sinusoïdales.

11.2.2 Générateur de fonctions

Soit le circuit électrique de la figure 11.3, dans lequel les ALI sont idéaux.

ALI 1 ALI 1

− +

B∞ is1

i⁺

i⁻

ε₁ ALI 2

+

−

B∞ i_s2 i⁻

i⁺ ε2

us

u_e

u1

R

C

R1

R₂

•

•A

•

•B

• •

Fig. 11.3 – Générateur de fonctions

1. Tracer la caractéristique d’un ALI idéal, en précisant les zones qui représentent ses régimes de fonctionnement.

2. Dans quel régime de fonctionnement va se placer l’ALI 1 ? Justifier.

3. En supposant que l’ALI 2 fonctionne en régime linéaire, établir la fonction de transfert H₂ = ^u_u^s₁. En déduire l’équation différentielle qui relieus etu1.

4. L’ALI 1 fonctionne en régime de saturation. En supposant queu₁= +V_sat, déterminer la valeur de u_e permettant une bascule de u₁ à−V_sat.

5. En supposant queus(t= 0) = 0, au bout de combien de tempsus(t) va-t-il atteindre ce critère ? 6. En supposant maintenant queu₁ =−V_sat, déterminer la valeur de u_e permettant une bascule de

u₁ à +V_sat.

7. Au bout de combien de temps us(t) va-t-il atteindre ce critère ? 8. En déduire l’allure du signalu_s(t) ainsi que sa période.

11.2.3 Oscillateur de Hartley

On considère le circuit ci-dessous dans lequel l’ALI est idéal et fonctionne en régime linéaire.

filtre de Hartley

B ∞ i^I_s

− iI⁻

+ iI⁺

ε

αR2

R₂ L₂

L₁ R₁

C

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11. Oscillateurs électrocinétiques 11.3. Annales

1. Parmi les propositions suivantes, identifier la forme de la fonction de transfert du filtre deHartley.

H1 = H0

1 + j_Qω^ω₀ −_ω^ω

0

2 H2= j_Qω^ω₀H₀

1 + j_Qω^ω₀ −_ω^ω

0

2 H3 = −H₀_ω^ω

0

2

1 + j_Qω^ω₀ −_ω^ω

0

2

2. Déterminer les caractéristiquesω₀,H₀ etQ à l’aide des graphes ci-dessous :

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶

−80

−60

−40

−20 0

fen Hz GdB

940 960 980 1,000 1,020 1,040 1,060

−9

−8

−7

−6

−5

fen Hz GdB

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶

−100

−50 0 50 100

fen Hz

ϕendegree

3. Déterminerα pour qu’il y ait des oscillations quasi-sinusoïdales.

4. Étudier le démarrage des oscillations : condition d’apparition et évolution de l’amplitude au cours du temps.

11.3 Annales

11.3.1 Conditionnement des signaux par oscillateurs [2015 PT]

On considère le montage électronique de la figure 11.4, pour lequel l’ALI utilisé est supposé idéal et est alimenté au moyen d’une alimentation symétrique ±V_cc = ±12 V et sa tension de saturation est V_SAT= 11 V.

Fig. 11.4 – Montage envisagé pour l’extraction d’informations issue d’un capteur Le bloc 1 réalise un filtre de fonction de transfert complexe

H= ^u_u²₁ = _1+jQ^A(⁰^x−x¹) avecA₀ = 0,1 ; Q= 25 ;x= _ω^ω₀ ; log(25)'1,4.

Étude du bloc 1

1. Donner les équations des deux asymptotes hautes et basses fréquences du gain en décibels de ce filtre.

2. Représenter le diagramme de Bode (en amplitude uniquement) donnant ce gain en décibels en fonction de log(x).

3. Préciser la nature de ce filtre.

(6)

4. Exprimer, à partir du schéma du bloc 1 , la fonction de transfertH en fonction deω et des valeurs caractéristiques des composants de ce bloc 1 . Par identification, donner les expressions littérales deω₀ et de Qen fonction des valeurs caractéristiques des composants.

Étude du bloc ALI

5. Déterminer l’expression littérale de la fonction de transfert complexeG= ^u_u³₂. 6. On poseK=kGk. Exprimer K en fonction de R₁ etR₂.

Système bouclé

7. On ferme l’interrupteur, réalisant ainsi un système bouclé. Déduire des questions précédentes l’équa- tion différentielle vérifiée paru3

8. A partir de cette équation :

(a) trouver une condition liantA0,K,Qpour que s’établissent des oscillations quasi sinusoïdales, (b) déterminer alors la fréquencef0 de ces oscillations,

9. Toujours à partir de l’équation différentielle deu₃, montrer que la naissance d’oscillations impose des conditions sur le produit A0.K et les expliciter.

10. On choisit les composants de manière à obtenir l’équation différentielle suivante : d²u₃

dt² −10⁴du₃

dt + 9.10⁸u₃ = 0

(a) Donner l’expression numérique deu₃ en fonction de t sans chercher à calculer les constantes dépendant des conditions initiales.

(b) Montrer que l’on obtient des oscillations dont l’amplitudeAvarie temporellement.

(c) Exprimer et représenter Aen fonction de t.

(d) Dans la pratique, on obtient une stabilisation de l’amplitude à une valeur Amax; expliquer pourquoi et expliciterA_max.

(e) Compte tenu de ce qui précède, représenter l’allure de u3(t).

On utilise le dispositif complet pour suivre les déplacements x de la partie mobile d’un capteur capacitif dont la capacité est donnée par la loiC =C₀ 1−^x_l, avecC₀ = 10 µF et l= 10 mm. Ce capteur forme le condensateur du bloc 1 . Les composants choisis sont tels que le montage oscille à une fréquence fosc liée à la capacité C par la relation : fosc = ^√^D_C, avec D = 1 H⁻¹². A la position de référence du capteur (x= 0), la fréquence d’oscillation estf_or.

11. Montrer que pour un petit déplacementx(xl), la fréquence d’oscillation peut se mettre sous la formefosc'ax+b, et expliciter aetben fonction des données.

12. On note ∆f =f_osc−f_or la variation de fréquence liée à un déplacement. La plus petite variation détectable est ∆fmin= 3 Hz ; quel est le plut petit déplacement détectable ?

11.3.2 Modulation de largeur d’impulsions [2016 PT]

Les composants semi-conducteurs sont très répandus dans l’électronique moderne. Ce problème propose d’étudier [. . . ] la réalisation, à l’aide d’ALI d’une Modulation de Largeur d’Impulsion (MLI).

Modulation de largeur d’impulsion : réalisation analogique

On considère le montage de la figure A.2 mettant en jeu un ALI supposé idéal auquel on applique : – Un signal modulant ue(t),

– Une tension « dent de scie »u_scie(t) de périodeT dont l’allure temporelle est représentée figure A.3.

(7)

1. Rappeler les caractéristiques d’un ALI idéal.

2. L’ALI fonctionne-t-il en régime linéaire ou en régime saturé ? Quelle fonction réalise un tel montage ? La tensionuscie(t) est une tension dite « dent de scie » (cf figure A.3). On note T la période de cette tension etU_max la tension maximale atteinte par u_scie(t).

3. Déterminer la pente a des rampes de la tensionu_scie(t) en fonction deT etU_max.

4. On considère un signal modulant continu :ue(t) =U0. Déterminer les duréesτ+etτ−, correspondant respectivement aux temps passés en saturation haute et en saturation basse durant une périodeT en fonction deU₀,U_max etT. Représenter graphiquement le signalu_mod(t) en sortie de l’ALI entre t= 0 ett= 3T.

5. Que se passe-t-il siU₀ > U_max?

6. On considère maintenant comme signal modulant u_e(t) un signal sinusoïdal de période T_e = 5T, de valeur basse 0 et de valeur haute Umax (atteinte pourt = 0). On prendra fe = _T¹_e = 1 kHz, la fréquence du signal modulant.

(a) Donner l’équation horaire deue(t).

(b) Représenter le spectre deue(t).

(8)

(c) On a représenté en11.5, le signalue(t) sur une période. Représenter sur le même graphique les signauxu_scie(t) etu_mod(t). On noteV_satla tension de saturation positive de l’ALI. On prendra pour le tracé graphique :V_sat = ^U^max₂ .

(d) On réalise expérimentalement la modulation de largeur d’impulsion. Pour savoir comment obtenir le signal modulant à partir du signal modulé (démodulation), on observe le spectre du signal. Celui-ci est donné figure A.4 – l’échelle des amplitudes est arbitraire. Proposer, en le justifiant, le type de filtre permettant de démoduler le signalu_mod(t).

Réalisation d’un signal « dent de scie »

Le principe de cette modulation est basé sur l’utilisation d’un signal dent de scie. On se propose ici d’étudier une façon de créer un tel signal. On considère le montage suivant (les ALI sont supposés idéaux) :

7. Rappeler les ordres de grandeurs des impédances d’entrée et de sortie réelles d’un ALI.

8. Expliquer brièvement pourquoi on peut commencer par étudier les deux étages 1 et 2 représentés sur le schéma séparément.

9. On considère l’étage 1. On admet que :

– Quand le signal u_e(t) est positif, la diode D₂ est assimilable à un interrupteur ouvert et la diodeD₁ à un fil,

– Quand le signal ue(t) est négatif, la diode D2 est assimilable à un fil et la diode D1 à un interrupteur ouvert.

(a) Déterminer l’équation différentielle qui relieu_s(t) et u_e(t) quandu_e(t) est positive. Comment appelle-t-on un tel montage ?

(9)

(b) Déterminer l’équation différentielle qui relieus(t) et ue(t) quand ue(t) est négative.

10. On considère maintenant l’étage 2 :

(a) Expliquer pourquoi on sait que l’ALI de l’étage 2 va fonctionner en régime de saturation.

(b) On suppose que la sortie est en saturation haute et u_e = V_sat . Déterminer les gammes de valeurs possibles pourus.

(c) On suppose que la sortie est en saturation basse et u_e = −V_sat. Déterminer les gammes de valeurs possibles pouru_s.

(d) Représenter la caractéristique de transfertue(us). Comment appelle-t-on un tel montage ? On considère maintenant le montage entier. Il n’y a pas de « tension d’entrée » et la tension de sortie est la tensionu_s(t).

11. On suppose que, àt= 0, l’étage 2 vient de basculer en saturation hauteu_e=V_sat. (a) Déterminerus(t= 0) puis l’équation littérale horaire deus(t) pour t >0.

(b) Déterminer la date t₁ à laquelle l’étage 2 va basculer en saturation basse. On note ∆t_haut la durée pendant laquelle l’étage 2 est en saturation haute. Expliciter littéralement ∆thaut. 12. At=t1, l’étage 2 vient donc de basculer en saturation basse.

(a) Déterminer l’expression littérale deu_s(t) pourt > t₁.

(b) Déterminer la datet2 à laquelle l’étage 2 va basculer à nouveau en saturation haute. On note

∆t_bas la durée pendant laquelle l’étage 2 est en saturation basse. Déterminer littéralement

∆t_bas et la périodeT du signalu_s(t).

13. Représenter sur le graphique figure 11.6 fourni, les signaux us(t) et ue(t) en supposant ∆tbas = 19∆t_haut.

14. On veut créer un signal dent de scie de fréquencef = 1 MHz. On choisitC = 10 pF. De plus, pour que le signal ressemble le plus au signal dent de scie de la figure A.2, on fixe ∆tbas = 19∆thaut . Déterminer les valeurs de R₁ etR₂ en fonction deC etf. Faire l’application numérique.

Fig. 11.5 – Chronogramme du signal ue(t) sur une

période Fig. 11.6– Chronogramme à compléter : on fera ap-

paraître les grandeurs∆t_haut et ∆t_bas

11.3.3 Capteur de proximité capacitif [2013 E3A PSI]

Comme le montre la figure11.7ci-dessous, la tête de mesure de ce capteur est formée d’un conducteur cylindrique (A) et d’une enveloppe métallique coaxiale (B) réalisant un condensateur de capacité fixeC_e:

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Fig. 11.7 Fig. 11.8

Le but de la mesure est de détecter la distancez entre la tête de mesure et la cible. Lorsque la cible métallique s’approche de l’extrémité des conducteurs (A) et (B), ceux-ci constituent avec elle deux autres condensateurs :

– L’un, de capacité C(z), a pour armatures le disque externe du conducteur central cylindrique (A) de diamètre 2r etz est la distance qui le sépare de la cible ;

– L’autre est un condensateur parasite, de capacité C_p(z), formé par l’enveloppe extérieure (B) du capteur et la cible.

Le schéma électrique équivalent du capteur est représenté sur la figure11.8.

1. Déterminer la capacité C_AB de la tête de mesure en fonction de C_e,C(z) et C_p(z).

2. Proposer une opération technique simple permettant de s’affranchir de la capacité parasiteCp(z) (ce qui sera le cas dans la suite du problème :C_p →+∞).

Le capteur fonctionne pour une distance cible-tête de mesure z variant d’une faible quantité ∆z à partir d’une valeur de référencez0 :z=z0+ ∆z(avec l’approximation ∆z/z0 1). On montre alors que

C_AB =C₀

1−k∆z z₀

Conditionnement du capteur

A la tension électrique v(t) = V₀cos(ωt+φ) peut être associée, en notation complexe, le signal analytiquev(t) =V₀exp (jωt) oùV₀ =V0exp(jφ) désigne l’amplitude complexe du signal et j le complexe tel que j²=−1.

Les amplificateurs opérationnels sont supposés idéaux et en fonctionnement linéaire.

Le capteur de capacité CAB est inséré dans un circuit de mesure comportant deux blocs : un bloc amplificateur (figure11.9) et un bloc de filtrage (figure 11.10).

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Fig. 11.9 Fig. 11.10

3. Exprimer les fonctions de transfert (ou transmittances) en boucle ouverteH₁(jω) = ^V_V²

1 etH₂(jω) =

V₄

V₃ en supposant chacun des blocs alimenté par une tension sinusoïdale. Préciser la nature du filtre de fonction de transfertH₂(jω).

La borne de sortie de l’ALI est reliée à l’entrée du filtre et la borne de sortie du filtre est reliée à la borne non inverseuse de l’ALI, de sorte que :v₁ =v₄ etv₂=v₃ =v_s.

4. Quelle est l’expression de la fonction de transfertH(jω) =H₁(jω)×H₂(jω) en régime sinusoïdal ? En déduire l’équation différentielle à laquelle obéit la tensionvs(t) pour un régime quelconque. Pour quelle valeur deR2, en fonction deR1,C etCAB, des oscillations sinusoïdales stables peuvent-elles s’établir ? Quelle est alors la pulsationω₀ de ces oscillations ?

FixonsC=C₀ etR =R₁ et supposons de ∆z= 0. Dès que la tête du capteur se déplace par rapport à la cible, la capacité CAB varie. On suppose par la suite que la résistance R2 garde la valeur obtenue pour ∆z= 0 etC est fixée à C₀.

5. Réécrire, pour un faible déplacement de la cible (∆z/z₀ 1), l’équation différentielle vérifiée par vs(t) en faisant apparaître les paramètres k, C0,R et ∆z/z0. Comment évolue alorsvs(t) pour un faible déplacement ∆z positif ou négatif de la cible ?

La condition d’oscillation n’est plus vérifiée à chaque instant par une résistance R₂ fixe car cette condition s’écrit en fonction de la capacitéCAB variable ; la résistanceR2 est remplacée par un montage approprié assurant les oscillations. Ce montage ne sera pas étudié ici.[...]On montre alors que, pour une valeur adaptée deR₂, les oscillations obtenues vérifient :

ω_OSC'ω0

1 +k

2

∆z z₀

Conditionnement du signal

La tensionv₂(t) =V₀sin(ωt) est injectée dans une série de trois montages élémentaires A, B et C ne comportant que des composants idéaux (figure11.11).

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Fig. 11.11

6. Écrire les tensionse⁺ et e⁻ mesurées par rapport à la masse de potentiel nul, respectivement aux entrée non inverseuse et inverseuse de l’ALI en fonction des composants de l’étage A et des tensions v₂etv₅; en déduire la transmittanceT_A(jω) = ^V_V⁵

2. Comparer les amplitudesV₅ etV₂ puis exprimer le déphasageφde v5 par rapport àv2. Préciser la fonction de cet étage.

E représente une tension continue délivrée par un générateur.

7. Préciser le rôle joué par le bloc B. Exprimer la tension instantanée v6(t) en sortie de ce bloc, en fonction de l’amplitudeV₀, du déphasage φ, de la tension E, de la pulsationω et de t.

Relation utilisable : 2 sin(a) sin(b) = cos(a−b)−cos(a+b).

8. Déterminer la fonction de transfert T_C(jω) = ^V_V^SC

6 . En déduire le rôle de l’étage C ainsi que sa pulsation caractéristiqueω_C. Montrer que, par un choix judicieux de ω_C, la tension de sortie V_SC est continue et « image » de cos(φ).