Signal 4 Les oscillateurs amortis

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Signal 4 Les oscillateurs amortis

Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2021-2022

Contenu du programme officiel :

Notions et contenus Capacités exigibles

Circuit RLC série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux.

Analyser, sur des relevés expérimentaux, l’évolution de la forme des ré- gimes transitoires en fonction des paramètres caractéristiques.

Prévoir l’évolution du système à partir de considérations énergétiques.

Écrire sous forme canonique l’équation différentielle afin d’identifier la pulsation propre et le facteur de qualité.

Décrire la nature de la réponse en fonction de la valeur du facteur de qualité.

Déterminer la réponse détaillée dans le cas d’un régime libre ou d’un sys- tème soumis à un échelon en recherchant les racines du polynôme caracté- ristique.

Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire selon la valeur du facteur de qualité.

Mettre en évidence la similitude des comportements des oscilla- teurs mécanique et électronique.

Réaliser l’acquisition d’un régime transitoire pour un système linéaire du deuxième ordre et analyser ses caractéristiques.

Stockage et dissipation d’énergie. Réaliser un bilan énergétique.

En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.

Table des matières

1 Le système masse-ressort amorti 2

1.1 Étude qualitative du problème . . . 2

1.2 Position du problème . . . 2

1.3 Équation différentielle d’un oscillateur amorti . . . 3

1.4 Régime transitoire et régime permanent . . . 3

2 Classification des régimes transitoires 4 2.1 Le polynôme caractéristique . . . 4

2.2 Le régime pseudo-périodique . . . 4

2.3 Le régime apériodique (ou sur-amorti) . . . 6

2.4 Le régime critique . . . 8

3 Étude énergétique 8 3.1 Évolution de l’énergie mécanique . . . 8

3.2 Le portrait de phase . . . 9

4 Le circuit RLC série 10 4.1 Mise en équation électrique . . . 10

4.2 Discussion des réponses . . . 10

4.3 Aspects énergétiques . . . 11

5 Analogie électrique et mécanique 11

Dans le chapitre précédent, nous avons étudié l’équation de l’oscillateur harmonique. Si cette équa- tion permet de décrire une large gamme de systèmes physique, il ne s’agit toujours que d’une première approximation. En effet, un système décrit par un oscillateur harmonique oscille indéfiniment sans perdre d’énergie. Or, il existe toujours une phénomène physique provoquant un perte d’énergie, plus ou moins importante, qui va atténuer le mouvement. Selon l’importance de cette perte, le mouvement sera amorti plus ou moins rapidement. C’est ce que nous allons étudier dans ce chapitre.

Les éléments de ce chapitre permettent par exemple de discuter les amortisseurs automobiles, qui ne peuvent être modélisés par se simples ressort sinon ils oscilleraient indéfiniment et n’amortiraient rien.

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1 Le système masse-ressort amorti

Considérons à nouveau une masse accrochée à un ressort vertical. Le ressort est accroché par un extrémité au plafond tandis qu’une masse m est accrochée à l’extrémité libre. Cette fois, nous tenons compte du fait que la masse est dans l’air qui exerce une force de frottement fluide sur la masse.

1.1 Étude qualitative du problème

Lors des chapitres précédents, nous avons déjà étudié le problème de la chute amortie par frottement fluide et le problème de l’oscillateur harmonique. Lors de la première étude (voir chapitre M2), nous avons mis en évidence le temps caractéristique τ = m/λ avec λ le coefficient de frottement fluide. Dans le chapitre précédent, nous avons déterminé la pulsation de l’oscillateur harmonique, ce qui conduit à une périodeT = 2π/ω0 =^pm/k avec k la constante de raideur du ressort.

Le problème de ce chapitre mélange ces deux ingrédients. D’ors et déjà, on peut dire que siτ T, les frottement stopperont rapidement le mouvement et on ne verra pas d’oscillations. À l’inverse, si τ T, l’aspect oscillant du problème va dominer et on observera des oscillations avant amortissements.

On peut donc introduire un paramètre sans dimension proportionnel àτ /T qui permet qualitativement de séparer deux régimes possibles pour le système. Cette étude qualitative est validée par l’étude analytique qui suit.

1.2 Position du problème

On étudie le problème dans le référentiel terrestreR_T supposé galiléen et on se placera en coordonnées cartésiennes.

Bilan des forces :

. le poids #»p =m#»g =mg#»ez; . la force de rappel du ressort #»

F =−k(`(t)−`₀)#»e_z. Ici`(t) =z(t) d’où #»

F =−k(z(t)−`₀)#»e_z. . la force de frottement fluide de l’air sur la masse

F#»_f=−λ#»v(t)

avec λle coefficient de frottement et #»v(t) le vec- teur vitesse de la masse m.

Seconde loi de Newton :En notant #»a le vec- teur accélération de la masse, il vient

m#»a =mg#»ez−k(z(t)−`0)#»ez−λ#»v . (1.1) Expression des vecteurs cinématiques :Les vecteurs cinématiques de la masse, qui ne peut bou- ger que selon l’axe #»e_z, sont donc

−−→OM =z(t)#»e_z et #»v = ˙z(t)#»e_z

et #»a = ¨z(t)#»ez.

` O

`₀ z= 0

z(t)

#»ez

−

→F

−

→F_f

−

→p

Fig. 1 – Schéma du problème du système masse- ressort vertical en tenant compte de la force de frottements fluide. L’origine desz est prise au niveau du plafond.

Projection : Projetons la seconde loi de Newton (1.1) sur l’axe #»ez en utilisant les vecteurs cinéma- tiques. Il vient

m¨z(t) =−kz(t)−λz(t) +˙ k`₀+mg . (1.2)

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IPosition d’équilibre

Lorsque le ressort est à l’équilibre, on a ¨z(t) = 0 et ˙z(t) = v(t) = 0, dans ce cas, il vient 0 =

−kz_eq+k`0+mg, la position de la masse à l’équilibre est donc zeq =`0+ mg

k . Cette position d’équilibre est supérieure à la longueur à vide, ce qui est cohérent avec le fait que le poids tire la masse vers le bas.

IÉtablissement de l’équation différentielle

On trouve, en utilisant la position d’équilibre, et en divisant par la masse pour avoir un coefficient 1 devant la dérivée d’ordre supérieur

z(t) +¨ λ

mz(t) +˙ k

mz(t) = k

mz_eq . (1.3)

1.3 Équation différentielle d’un oscillateur amorti

Définition. Unoscillateur amortiest un système physique décrit par la fonctionz(t) vérifiant l’équation différentielle linéaire à coefficient constants du second ordre suivante

z(t) +¨ ω₀

Qz(t) +˙ ω₀²z(t) =ω²₀z_eq (1.4) avec ω₀ lapulsation propredu système,z_eq la valeur d’équilibre de la fonctionz(t) etQlefacteur de qualité du système, un nombre sans dimension.

Remarque :Tout comme l’équation harmonique, cette équation différentielle est à connaître sous cette forme par cœur.

En SII, on utilise souvent la notationQ= 1/(2z).

Pour trouver les coefficients ω₀ et Q, on procède par identification entre l’équation (1.4) connue par cœur et l’équation physiques (1.3) en commençant parω0.

. Par identification, on trouve dans notre problème à nouveau ω₀ = s

k m .

. Pour trouver le facteur de qualité, en connaissant par cœur l’équation (1.4) et en identifiant avec les coefficients de l’équation (1.3), il vient

λ m = ω0

Q =⇒ Q= ω0m

λ =⇒ Q=

√ km λ .

L’expression du facteur de qualité n’est pas à connaître par cœur par contre il faut savoir la retrouver rapidement. On retrouve bien le paramètre prévu au paragraphe 1.1.

Application 1 :Vérifier, à partir de l’équation(1.4), que le facteur de qualité est bien sans dimension.

1.4 Régime transitoire et régime permanent

À l’aide de l’animation[1], on constate que, à partir d’une condition initiale de la masse en vitesse et position, le mouvement de la masse au cours du temps varie selon la valeurs des coefficients.

Après un régime plus ou moins long, comportant ou non des oscillations selon la valeur deQ, la masse arrive à une certaine position d’équilibre. Par exemple, sont tracés figure 5 différents mouvement de la masse au cours du temps selon la valeur du facteur de qualitéQ.

À nouveau, comme sur les systèmes du premier ordre, on observe un régime transitoire, plus complexe qu’au premier ordre, entre deux régimes permanents décrits par des positions d’équilibres données. Ainsi, pour changer la position d’un système du second ordre, un régime transitoire apparaît qui dépend de la valeur des coefficients ω₀ etQ.

Ainsi, si un système physique est décrit par une grandeur φ variant en fonction du temps régie par l’équation différentielle d’un oscillateur amorti, on aura schématiquement le comportement suivant.

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ϕ₁ ϕ₂ État initial

Régime permanent 1

État final Régime permanent 2 Régime transitoire

d’ordre 2

2 Classification des régimes transitoires

2.1 Le polynôme caractéristique

Pour commencer, nous devons résoudre l’équation différentielle (1.4) réécrite ci-dessous.

z(t) +¨ ω0

Qz(t) +˙ ω²₀z(t) =ω²₀z_eq.

Pour cela, comme cela a été étudié en mathématique, nous devons calculer lepolynôme caractéristique de l’équation homogène, soit

r²+ω₀

Qr+ω₀²= 0. Les racines de ce polynôme dépendent du discrimant

∆ = ω₀

Q 2

−4ω₀² =ω₀² 1

Q² −4

. (2.1)

Selon le signe de ce discriminant, les racines de ce polynôme sont réelles ou complexes.

2.2 Le régime pseudo-périodique Prenons le cas où Q > 1

2, dans ce cas, selon l’équation 2.1, on a ∆ < 0. Les racines du polynôme caractéristique sont alors sous la forme

r_1,2 =−ω₀ 2Q±i

p|∆|

2 . La solution de l’équation homogène s’exprime alors par

z_EH(t) = exp

−ω₀ 2Qt

[Acosωt+Bsinωt]

avec A etB des constantes inconnues, et ω= p|∆|

2 = ω0

2

4− 1 Q²

1/2

.

Comme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent, la solution particulière de l’équation différen- tielle (1.4) correspond à la position d’équilibre. Il vient la solution de l’équation différentielle

z(t) = exp

−ω0

2Qt

[Acosωt+Bsinωt] +zeq

avec A etB deux constantes à déterminer à l’aide des conditions initiales.

Remarque :Cette expression est à retrouver systématiquement à l’aide de la résolution d’équa- tion différentielle étudiée en mathématique.

Application 2 : Trouver le système d’équation vérifié par les constantes A et B dans le cas des conditions initialesz(0) =Letz(0) = 0. En déduire˙ A etB.

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Définition. Lerégime pseudo-périodiques’observe lorsque Q > 1

2 . Dans ce cas, le régime transitoire est un régime oscillant à une pulsation différente deω₀ dont l’amplitude décroît exponentiellement.

z₀ zeq

t z(t)

Fig. 2 – Le régime pseudo-périodique pour Q = 10. L’enveloppe exponentielle est tracée en pointillée.

Le premier régime permanent correspond à z(t < 0) = z0 puis le second régime permanent correspond à z(t→+∞) =z_eq.

PrenonsQ1, dans ce cas, dans l’équation (1.4), on aω₀/Qqui tend vers 0. L’équation devient celle de l’oscillateur harmonique, on observera donc des oscillations. Ce phénomène se retrouve en constatant queQest inversement proportionnel àλ, la constante de la force de frottement. Et donc plusQest grand, plus les frottements sont négligeables.

Toutefois, les frottements, même faibles, existent et traduisent une dissipation d’énergie sont présents, l’oscillation est donc nécessairement décroissante.

Remarque :Attention, la pulsation des oscillations vaut ω =ω0

p4−Q⁻², qui n’existe que pourQsupérieur à 1/2 et qui n’est pasω0, elle dépend de Q. PourQ1, les deux pulsations sont très proches par contre pourQ proche de1/2, les pulsations diffèrent significativement.

IDurée du régime transitoire :

Le régime transitoire peut être défini comme le temps nécessaire à ce que l’amplitude de l’enveloppe exponentielle, et donc des pseudo-oscillations, devienne inférieur à 1% dezeq−z₀. Dans ce cas, les oscillations deviennent négligeables car non mesurables. Nous avons défini dans le chapitre E3 le temps caractéristique d’un régime transitoire exponentiel par 5τ avec τ le temps caractéristique de l’exponentielle.

Propriété.La durée du régime transitoire τ_pp du régime pseudo-périodique est donnée par τ_pp≈10Q ω0

. On retiendra que le régime transitoire du régime pseudo-périodique est d’autant plus long que Q est grand.

INombre de pseudo-oscillations :

Le nombre N de pseudo-oscillations est déterminé par l’enveloppe exponentielle. En effet, on peut considérer que le nombre de pseudo-oscillations visibles correspond au nombre de période d’oscillations durant le régime transitoire. La période d’une pseudo oscillation étant donnée par T = 2π

ω , il vient N = τpp

T ≈10Q ω0

ω0

4π

4− 1 Q²

1/2

= 10 4πQ

4− 1

Q² 1/2

.

En se plaçant dans l’hypothèse où suffisamment d’oscillations sont observables, et donc Q 1, il vient

4− 1 Q²

1/2

≈2. De plus, on a 20

4π ≈1.6.

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En tout, il y a donc environ 1.6Q oscillations lors du régime transitoire. Or les dernières ont une amplitude très faible et sont peu visibles.

Propriété.On retiendra que le nombre N de pseudo-oscillations observables est donné par N ≈Q. Deux courbes pour deux facteurs de qualité différents sont tracés figure 3a.

Q= 3 Q= 10

z0 t

z(t)

(a) Influence du facteur de qualitéQsur le nombre N pour une même pulsationω0 : N ≈Q .

Q= 1 Q= 3 Q= 10

z_eq

z0

Régime pseudo-périodique

t z(t)

(b) Durée du régime transitoire en fonction du facteur de qualitéQpour une même pulsationω₀.

Fig. 3 – Le nombre de pseudo-oscillations et la durée du régime transitoire du régime pseudo-périodique en fonction de facteur de qualitéQ pour une même pulsationω₀.

2.3 Le régime apériodique (ou sur-amorti) Prenons le cas où Q < 1

2, dans ce cas, selon l’équation 2.1, on a ∆ > 0. Les racines du polynôme caractéristique sont alors sous la forme

r1 =−ω₀ 2Q+

√

∆

2 =−ω₀ 2

1 Q +

s 1 Q² −4

!

et r2 =−ω₀ 2

1 Q−

s 1 Q² −4

! .

On remarque que ces deux racines sont bien négatives, car s 1

Q² −4< 1 Q. La solution de l’équation homogène s’exprime alors par

z_EH(t) =Aexp (r1t) +Bexp (r2t)

avec A etB des constantes inconnues, et r₁ etr₂ les deux racines exprimées précédemment.

Comme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent, la solution particulière de l’équation différen- tielle (1.4) correspond à la position d’équilibre. Il vient la solution de l’équation différentielle

z(t) =Aexp (r1t) +Bexp (r2t) +zeq

avec A etB deux constantes à déterminer à l’aide des conditions initiales.

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Définition. Le régime apériodique s’observe lorsque Q < 1

2 . Dans ce cas, le régime transitoire est un retour à l’équilibre composée d’une somme de deux exponentielles. Plusieurs courbes sont tracés figure 4.

Prenons cette fois Q1, dans ce cas, dans l’équation (1.4), on a ω₀/Q qui tend vers l’infini. Comme Q est inversement proportionnel à λ, la constante de la force de frottement, cela signifie que celle-ci est très importante. Ce phénomène correspond par exemple à lâcher le ressort dans un fluide très visqueux, comme de l’huile.

Il n’y aura donc naturellement aucune oscillations.

IDurée du régime transitoire :

La durée d’un régime transitoire d’un régime exponentiel est liée à la constante de temps dans l’exponentielle. Ici, il y a deux exponentielles de constantes de temps −1/r₁ et −1/r₂. La durée du régime transitoire sera imposée par l’exponentielle la plus longue. Or, comme −r₁ > −r₂, le durée du régime transitoire est donnée par

τa =−5 r2

= 10 ω0

1 1 Q−

s 1 Q² −4

.

Si l’on considèreQ1, on a s 1

Q² −4 = 1 Q

p1−4Q²≈ 1 Q.

Propriété.La durée du régime transitoire τa du régime apériodique est donnée par τa ≈ 5

Qω₀ . On retiendra que le régime transitoire du régime apériodique est d’autant plus long queQest petit.

Q= 0.3 Q= 0.2 Q= 0.1 z_eq

z₀

Régime apériodique

t z(t)

Fig. 4 – Durée du régime transitoire du régime critique en fonction du facteur de qualité Q pour ω0 fixé.

Attention, la pente à l’origine dépend de la condition initiale.

Remarque : La différence fondamentale avec un retour à l’équilibre exponentielle vient de la pente à l’origine. En effet, dans une dynamique d’ordre 1, elle dépend uniquement de la constante de temps τ. Dans une dynamique d’ordre 2, la vitesse à l’origine est fixée par les conditions initiales. Dans notre exemple, elle est vraisemblablement nulle dont la courbe a une pente nulle au temps t= 0, ce qui est difficile à voir sur les graphiques à cause de l’échelle de temps.

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2.4 Le régime critique

Définition. Le régimecritiqueest le régime intermédiaire entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. Il s’observe pour rigoureusement Q= 1

2 . Il s’agit du régime transitoire le plus court et qui se rapproche le plus rapidement possible du régime permanent. Il est tracé figure 5.

C’est un régime idéal car, dû aux incertitudes expérimentales, il est impossible d’avoir rigoureusement la condition Q = 1/2 sur un système réel. On peut toutefois s’en rapprocher suffisamment pour ne plus voir les oscillations tout en restant le plus court possible.

D’un point de vue mathématique, on a dans ce cas le discriminant du polynôme caractéristique qui est nul, et doncr =−ω0

2Q =−ω₀ l’unique racine du polynôme caractéristique. Il vient la solution de l’équation différentielle

z(t) = (A+Bt) exp (−ω₀t) +z_eq

avec AetB des constantes dépendant des conditions initiales. Attention, dans ce cas dimensionnellement, A est une longueur et B est une vitesse.

Régime pseudo-périodique (Q= 3) Régime critique (Q= 1/2) Régime apériodique (Q= 0.1) zeq

z₀ t

z(t)

Fig. 5– Différentes solutions de l’équation de l’oscillateur amorti(1.4)en fonction du facteur de qualitéQpour des conditions initiales correspondant à une vitesse initiale nulle et à une compression du ressort.

3 Étude énergétique

3.1 Évolution de l’énergie mécanique

Nous souhaitons étudier l’évolution de l’énergie mécanique. Comme pour toutes les études mécaniques, partons de l’équation de la seconde loi de Newton (1.2) que nous multiplions par la vitesse ˙z(t), il vient

mz(t)¨˙ z(t) =−k(z(t)−`₀) ˙z(t)−λz˙²(t) +mgz(t)˙ . (3.1) On reconnaît

. la dérivée de l’énergie cinétique

dE_c(t) dt = d

dt 1

2mz˙²(t)

=mz(t)¨˙ z(t) ;

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. la dérivée de l’énergie potentielle d’élongation du ressort dE_p,r(t)

dt = d dt

1

2k(z(t)−`0)²(t)

=k(z(t)−`0) ˙z(t).

Par ailleurs, comme nous le verrons par la suite, l’énergie potentielle de pesanteur d’une massem avec un axe zvers le bas s’exprime commeE_p,p(t) =−mgz(t).

Ainsi, l’équation (3.1) se réécrit d

dt(E_c(t) +E_p,r(t) +E_p,p(t)) = dE_m(t)

dt =−λz˙²(t) (3.2)

où l’on noteE_m(t) l’énergie mécanique totale en fonction du temps, soit la somme de l’énergie cinétique et de toutes les énergies potentielles.

On note P_f(t) = −λz˙²(t) la puissance dissipée par les frottements. Cette puissance est équivalente à l’énergie dissipée par effet Joule en électricité. Plus les frottements sont forts, et donc plus λ est grand, plus la perte d’énergie sera importante.

On a donc la relation énergétique

dE_m(t)

dt =P_f(t)<0.

La dérivée de l’énergie mécanique est négative, la masse perd donc de l’énergie au cours du temps à cause des frottements. C’est cohérent avec la nature physique des frottements. Cette énergie dissipée est convertie, comme la majorité des pertes d’énergie en physique, sous forme de chaleur.

Pour observer la diminution d’énergie en fonction du temps selon les régimes, on peut se rapporter à l’animation[2].

Remarque :La discussion précise sur les relations énergétiques et les puissances sera menée, en ce qui concerne la mécanique, dans le chapitre M3 plus tard dans l’année.

3.2 Le portrait de phase

Sur la figure 6 est tracé le portrait de phase entre v= ˙z(t) et Z =z(t)−zeq. On trace en fonction de cette variable pour centrer le portrait de phase autour de 0.

Les courbes sont cette fois ouvertes et partent de la condition initiale vers le point d’équilibre (v = 0, Z = 0). Cette convergence vers le point d’équilibre traduit la dissipation de l’énergie.

En ce qui concerne le régime pseudo-périodique, un tour dans le portrait de phase correspond à une oscillation. En comptant le nombre de tour, on obtient N et en utilisant N ≈1.5Q, on estime Q. Sur la figure 6, on aQ≈2.

Z v Pseudo-périodique

Apériodique Critique

z₀−z_eq

t= +∞

t= 0

Fig. 6 – Visualisation des différentes solutions dans le portrait de phases avecZ =z(t)−z_eq.

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4 Le circuit RLC série

Nous étudions maintenant le courant dans le circuit électrique de la figure 7. Pour cela, nous allons réutiliser exactement la méthode décrite au chapitre E3 pour obtenir l’équation différentielle du premier ordre dans les circuits électriques.

On suppose que dans la figure ci-contre, àt <0, le condensateur est déchargé.

E

i(t)

R L C

uC(t) uL(t)

uR(t)

Fig. 7 – CircuitRLC série.

4.1 Mise en équation électrique

Toutes les notations de tension et de courant sont indiquées sur le schéma.

Relations des dipôles : . loi d’Ohm

uR(t) =Ri(t) ; (4.1) . bobine

uL(t) =Ldi(t)

dt ; (4.2)

. condensateur

q(t) =Cu_C(t)

⇒ i(t) = dq(t)

dt =CduC(t)

dt . (4.3)

Loi des mailles :

E =uR(t) +uC(t) +uL(t). (4.4)

Équation électrique : Utilisons (4.1) et (4.2) pour remplacer les tensions dans (4.4). Il vient E=Ri(t) +uC(t) +Ldi(t)

dt . Dérivons cette relation pour pouvoir utiliser la relation (4.3), il vient donc

0 =Rdi(t) dt + 1

Ci(t) +Ld²i(t)

dt² (4.5)

que l’on peut mettre sous la forme canonique d’une équation différentielle du second ordre 0 = d²i(t)

dt² +R L

di(t) dt + 1

LCi(t). (4.6)

4.2 Discussion des réponses

Comme nous l’avons vu précédemment, les coefficients de l’équation différentielles doivent être trouvés par identification. Il vient d’abord ω0 =

r 1

LC puis nous devons résoudre ω0

Q = R

L ⇒ Q= ω0L

R ⇒ Q= 1

R s

L C . Pour tracer l’allure du courant, nous avons besoin des conditions initiales :

. le courant traversant une bobine étant une fonction continue du temps, on a i(t= 0⁻) =i(t= 0⁺) = i(0) = 0.

. la tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue du temps, il vient doncu_C(t= 0⁻) = u_C(t= 0⁺) =u_C(0) = 0. En écrivant la loi des mailles (4.4) à t= 0 et en utilisant ces deux conditions, il vient u_L(0) =E et en prenant la définition (4.2), il vient di(0)

dt = E L.

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À t= 0, le courant est nul et sa dérivée est positive. En utilisant ces conditions initiales, deux courbes de courants, une dans le régime pseudo-périodique et l’autre dans le régime critique, sont tracées figure 8.

Application 5 : Donner les expressions dei(t) selon la valeur de Q.

Régime pseudo-périodique (Q= 3) Régime apériodique (Q= 0.1)

0 t

i(t)

Fig. 8 – Visualisation du courant dans un circuit RLC en fonction du temps pour deux valeurs de Q. Comme discuté précédemment, pour Q > 1/2, le régime est pseudo-périodique et pour Q < 1/2, le régime est apé- riodique. Les deux courbes ont la même pente à l’origine mais c’est peu visible à cause de l’échelle des temps choisie.

4.3 Aspects énergétiques

Application 6 : Réaliser un bilan de puissance.

5 Analogie électrique et mécanique

On constate que les études du ressort amortie et du RLC séries sont très similaires. Plus généralement, on constate une analogie entre les systèmes électriques et mécaniques. La comparaison des équations (1.3) et (4.6) permet d’affirmer les équivalences suivantes.

Électricité Mécanique

Intensitéi Vitessev= ˙x

Tension du condensateur u_C Positionx CapacitéC Raideur du ressort k Résistance R Coefficient de frottement λ

InductanceL Masse m

Énergie magnétiqueLi²/2 Énergie cinétique mv²/2 Énergie électrostatiqueCu²/2 Énergie potentielle kx²/2

À l’aide de cette équivalence, on peut construire des systèmes électriques pour tester des modèles mécaniques. Les systèmes électriques sont beaucoup plus simples à réaliser en pratique.

Références

[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/ressort.

php

[2] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/

oscillateur_horizontal.php