Chap 16 : Caractéristique
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Chap 16 : Caractéristique
I. Généralités
anneau unitaire A
, .
L'application A 1 est un morphisme d'anneau. Son noyau est de la forme
j q q
n n
carAq est appelé la caractéristique de : A x A qx, 0
0 1
Si , est un isomorphisme de sur un sous-anneau de
Si , se factorise en un isomorphisme de sur un sous-anneau de
q j A
q j A
q
corps
car 0
car 2 :
Si , s'étend en un isomorphisme de sur un sous-corps de
Si , c'est un nombre premier contient un sous-corps isomorphe à j
p p
( ) ( )1 mph inj de corps 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ou ( ) 0 | ou |
m j m j n p ab j p j a j b j a j p a b
j n j b p
La 2 proposition est vraie pour anneau intègree
1
car 0 car
Un corps premier est le plus petit sous-corps de : c'est le corps engendré par
Si , le corps premier "est" Si p premier, le corps premier "est"
p
Un corps de caractéristique peut être infini : p ( )X p
II. Corps de caractéristique p 2
Tous les corps considérés sont commutatifs. corps de caractéristique p
/ / / /
( ) |
Morphisme de Frobenius : est un morphisme de corps injectif.
Si est fini, c'est un automorphisme. (car )
HP
k p p
p p p
x x
x y x y p C
1({0}) (Ferm
fini de car , .p at + n racines d'un polynôme)
p p
* car
fini de car. p f tel que pf
.
1 ( 1) ( 1)' 0
Polynômes Pas de formule de Taylor d'ordre
Pb avec la multiplicité des racines : p p, p p
X X X
*
( ) ppcm{ ( ) / *}, | | 1 || * |,
? *, 1, 0 1
1
*
corps fini commutatif , Si Sinon, dans ,
est cyclique ( tq a moins de racines)
k
m x
k S x a ak S
c m c x X
S
x m m
p
x
Utile : si est fini, a *x ax bijection
