Chapitre n°16

(1)

Chapitre n°16

Objectifs

1. Loi normale ( Loi à densité sur un intervalle ) :

- centrée réduite n(0;1) et théorème de Moivre-Laplace (admis):

→ Connaître la fonction de densité de la loi normale n(0;1) et sa représentation graphique.

→Connaître les valeurs approchées u0,05 ≈ 1,96 et u0,01 ≈ 2,58.

2. Loi normale n ( µ ;  ² ) :

→Savoir utiliser la calculatrice ou le tableur pour calculer une probabilité.

[Lien avec les autres disciplines : SI et SPC : Mesures physiques sur un système réel en essai]

→Connaître une valeur approchée des probabilités des événements suivants :

{X ∈ [ µ -  ; µ + ]}, {X ∈ [ µ - 2 ; µ + 2]} et {X ∈ [ µ - 3 ; µ + 3]}

Activité n°1

Partie A

On considère une variable aléatoire Xn qui suit une loi binomiale b(n,p).

1. Quelles sont les valeurs possibles prises par Xn ?

…...

2. Rappeler les valeurs de l'espérance mathématique En(Xn) et de l'écart-type σn(Xn) de Xn.

…...

3. Rappeler les formules donnant E(aX+b) en fonction de E(X) et V(aX+b) en fonction de V(X).

…...

Partie B

On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilité d’une variable aléatoire Xn suivant la loi binomiale b(n;0,3) où l’on fera varier n.

1. Dans le tableau ci-dessous, on donne pour n = 30, les valeurs approchées des probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à 10^-2, les autres ayant été négligées). On en donne ensuite une représentation graphique en bâtons.

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...

P(X30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

(2)

a. Calculer P(6 ≤ x ≤ 11).

…...

...

b. Représenter ci-dessous l’histogramme où chaque rectangle :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici une unité).

→ a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à sa probabilité).

Histogramme de la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,3

c. Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tous les rectangles possibles (et pas seulement ceux correspondant à une probabilité supérieure à 10^-2) ?

…...

d. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X30.

…...

...

2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans le cas où n=50 et n=200, la probabilité élémentaire restant à 0,3

(3)

a. Dans chacun des deux cas, calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire.

…...

...

b. Où retrouve-t-on l'espérance sur les graphiques ?

…...

c. Quel est l'influence de l'écart-type sur les graphiques ?

…...

...

Partie C :

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Yn = Xn – μ, où Xn est la variable aléatoire de la partie B et μ est l'espérance de Xn.

1. Si n=30, que vaut l'espérance de Y30 ?

…...

2. Compléter le tableau suivant :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Y30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

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3. Représenter l'histogramme de la loi de probabilité de Y30 sur le graphique ci- dessous :

Histogramme de la loi de probabilité de Y30

4. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où n vaut 50 et où n vaut 200 :

Calculer, dans le cas général, l'espérance et l'écart-type de Yn. Jouent-ils le même rôle pour les graphiques qu'à la partie B ?

…...

...

(5)

...

…...

...

Partie D

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Zn telle que Zn= ^Xⁿ_σ^−μ où Xn

est la variable aléatoire de la partie B, μ est l'espérance de Xn et σ l'écart-type de Xn.

1. Calculer l'écart-type et l'espérance de Zn.

…...

...

2. On donne n=30. Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs de k au centième) :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Z30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

3. On rappelle que chaque rectangle de l'histogramme :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici …...).

→ a son aire doit être égale à la probabilité, sachant que les probabilités, elles, n'ont pas changées.

a. Vérifier que la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire Z30 est constante.

...

b. Compléter alors le tableau suivant, en expliquant comment calculer la hauteur de chaque rectangle :

...

(6)

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

Aire du rectang-

le

... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

Hau- teur du

rectangle

... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

c. Compléter le graphique suivant avec l'histogramme de la loi Z30.

d. Calculer P(-1,2 ≤ Z30 ≤ 0,4).

...

(7)

Cours n°1

I) Loi normale centrée réduite Définition n°1

Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance μ vaut … Elle est dite réduite si son écart-type vaut ….

Propriété n°1

La fonction f définie par f(x) = …

√

^... …... est une fonction de densité de probabilité.

Démonstration :

f est …..., p... sur R et

∫

I

f (t)dt=... (admis)

Propriété n°2 : Théorème de Moivre-Laplace (admis)

Soit Xn une variable aléatoire qui suit la loi binomiale b(n;p)

(rappel : n est …... ; p est la probabilité de succès d'un événement élémentaire ; l'espérance d'une variable qui suit b(n;p) est …..., et l'écart-type est np(1-p)).

Soit Zn = X_n– np

√

^np^(1−p⁾ est …... et …...

De plus lim

n→ ∞P(a≤Z_n≤b) =

∫

a

b 1

√

²^π^e

−x²

2 dx

Définition n°2

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

f(x) = …

√

^... ^…...

On a alors, pour tous réels a et b tels que a ≤ b, P(a ≤ X ≤ b) =

∫

a

b ...

√

^...^e

−...

.... dx

(8)

Remarque n°1

f n'admet pas de primitive explicite, on est donc contraint d'utiliser un outils numérique pour déterminer une valeur approchée de P(a ≤ X ≤ b) .

Propriété n°3 :

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1).

Alors P(X ≤ -a) = P(X ≥ …).

Démonstration :

La fonction f définie par f(x) = …

√

^... ^…... est p...

Propriété n°4

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1). Soit f la densité de probabilité associée.

Alors : E(X)= lim

...→−∞

∫

...

0

...dt+ lim

...→+∞

∫

0 ...

...dt V(X)=....

Exemple n°1 : Méthode pour calculer une probabilité avec n (0;1)

.

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1).

1. Déterminer a. P(2 ≤ X ≤ 3) Indications : Sur la TI :

– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit «NormalFrep(» et on écrit NormalFrep(...,...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu RUN, on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur DIST

puis sur NORM puis Ncd. On écrit alors NormCD(...,...,1,0)

...

(résultat : ≈0,021) b. P(X ≤ 0,7)

Pour n(0;1), P( X ≤ 0 )=...

La calculatrice donne P( 0 ≤ X ≤ 0,7) ≈...

Donc P(X ≤ 0,7) ≈ …...

(résultat : ≈0,758) c. P(X>-0,2)

La calculatrice donne P( -0,2 ≤X ≤ 0)

≈...

(9)

P(X>-0,2) = P(-0,2<X<0) + P(...) ≈...+ ...

(résultat : ≈0,579)

2.a. Déterminer t tel que P( X ≤ t)=0,25 Indications :

Sur la TI :

– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit «FracNormale(» et on écrit FracNormale(...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu RUN, on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur DIST

puis sur NORM puis InvN. On écrit alors InvNormCD(...,1,0)

...

(résultat : ≈-0,674)

2.b. Déterminer u tel que P(X > u)=0,4 P(X>u)=0,4 ⇔<=> P(X ≤ u) =...

...

(résultat : u≈0,2533)

Propriété n°5

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) et α un réel positif plus petit que 1.

Alors il existe un unique réel uα positif tel que P( -uα ≤ X ≤ uα ) = 1 – α.

Démonstration (principe)

Théorème de la bijection sur la fonction de densité f.

En particulier :

Si α = 0,05, uα ≈ 1,96 Si α = 0,01, uα ≈ 2,58

Exercice n°1

Ex.17 p.335

Exercice n°2

Ex.18 p.335

Exercice n°3

Ex.23 p.335

Exercice n°4*

Ex.27 p.335

(10)

Cours n°2

II) Loi normale n (μ ; σ ²) Définition n°3

On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres μ et σ² si Z= X−μ

σ suit la loi normale centrée réduite.

Propriété n°6

Si X suit la loi normale de paramètres μ et σ² , alors : 1) E(X)=....

2) V(X)=...

3) σ(X)=...

4) P(X ∈ [μ – σ ; μ + σ]) ≈ …...

5) P(X ∈ [μ – 2σ ; μ + 2σ]) ≈ …...

6) P(X ∈ [μ – 3σ ; μ + 3σ]) ≈ …...

Exemple n°2 : Méthode pour calculer une probabilité avec n (μ; σ ² )

.

1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi n(7;2²)

a. Déterminer une valeur approchée au millième de P( 6 ≤ X ≤ 9) :

...

(résultat : ≈0,533)

b. Déterminer une valeur approchée au millième de P( X ≤ 10) :

...

(résultat : ≈0,933)

2. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi n(6;3²) a. Déterminer t tel que P( Y < t ) =0,95

...

(résultat : ≈10,935)

b. Déterminer u tel que P( Y ≥ u ) =0,1

...

(résultat : ≈9,844)

(11)

Exercice n°5

Ex.28 p.335

Exercice n°6

Ex.34 p.335

Exercice n°7*

Ex.86 p.340

Exercice n°8*

Ex.89 p.340

Exercice n°9*

Ex.93 p.340

Exercice n°10**

Sujet D p.350

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Indices et résultats

Ex. n°1 (Ex.17 p.335): a. 0,136 b. 0,595 c. 0,087 d. 0,566 Ex. n°2 (Ex.18 p.335) : a. 0,683 b. 0,403 c. 0,224 d. 0,764 Ex. n°3 (Ex.23 p.335) : a ≈ 0,396

Ex. n°4* (Ex.27 p.335) : 1 et 2. φ(a)=0,96 3. a ≈ 1,751 Ex. n°5 (Ex.28 p.335) : a. 0,789 b. 0,773 c. 0,401 d.1

Ex. n°6 (Ex.34 p.335) : 1. 45,492 2. 39,712 3. 41,593 4. 37,407 Ex. n°7* (Ex.86 p.340) : 1. 120 km 2.a. 0,525 2.b. 0,858 3.114 Ex. n°8* (Ex.89 p.340) : 9545 fruits sont acceptés, en moyenne.

Ex. n°9* (Ex.93 p.340) : 1. 81,76 % 2. 2,28 % 3. Q1 ≈ 2h30, Q2 = 3h, Q3 ≈ 3h30.

Ex. n°10** (Sujet D p.350) : 1.a. 0,96. 1.d. μ ≈1,93 et σ ≈ 0,10. 2. 621 personnes.

(13)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :