Chapitre n°16
Objectifs
1. Loi normale ( Loi à densité sur un intervalle ) :
- centrée réduite n(0;1) et théorème de Moivre-Laplace (admis):
→ Connaître la fonction de densité de la loi normale n(0;1) et sa représentation graphique.
→Connaître les valeurs approchées u0,05 ≈ 1,96 et u0,01 ≈ 2,58.
2. Loi normale n ( µ ; ² ) :
→Savoir utiliser la calculatrice ou le tableur pour calculer une probabilité.
[Lien avec les autres disciplines : SI et SPC : Mesures physiques sur un système réel en essai]
→Connaître une valeur approchée des probabilités des événements suivants :
{X ∈ [ µ - ; µ + ]}, {X ∈ [ µ - 2 ; µ + 2]} et {X ∈ [ µ - 3 ; µ + 3]}
Activité n°1
Partie A
On considère une variable aléatoire X
nqui suit une loi binomiale b(n,p).
1. Quelles sont les valeurs possibles prises par X
n?
…...
2. Rappeler les valeurs de l'espérance mathématique E
n(X
n) et de l'écart-type σ
n(X
n) de X
n.
…...
3. Rappeler les formules donnant E(aX+b) en fonction de E(X) et V(aX+b) en fonction de V(X).
Partie B
On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilité d’une variable aléatoire X
nsuivant la loi binomiale b(n;0,3) où l’on fera varier n.
1. Dans le tableau ci-dessous, on donne pour n = 30 , les valeurs approchées des probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à 10
-2, les autres ayant été négligées). On en donne ensuite une représentation graphique en bâtons.
Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3
k ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...
P(X
30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...
a. Calculer P(6 ≤ x ≤ 11) .
…...
...
b. Représenter ci-dessous l’histogramme où chaque rectangle :
→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.
→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici une unité).
→ a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à sa probabilité).
Histogramme de la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,3
c. Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tous les rectangles possibles (et pas seulement ceux correspondant à une probabilité supérieure à 10
-2) ?
…...
d. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X
30.
…...
...
...
...
2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans le cas où n=50 et n=200, la probabilité élémentaire restant à 0,3
a. Dans chacun des deux cas, calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire.
…...
...
...
...
b. Où retrouve-t-on l'espérance sur les graphiques ?
…...
c. Quel est l'influence de l'écart-type sur les graphiques ?
…...
...
Partie C :
On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Y
n= X
n– μ, où X
nest la variable aléatoire de la partie B et μ est l'espérance de X
n.
1. Si n=30 , que vaut l'espérance de Y
30?
…...
2. Compléter le tableau suivant :
Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3
k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...
P(Y
30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...
3. Représenter l'histogramme de la loi de probabilité de Y
30sur le graphique ci- dessous :
Histogramme de la loi de probabilité de Y
304. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où n vaut 50 et où n vaut 200 :
Calculer, dans le cas général, l'espérance et l'écart-type de Y
n. Jouent-ils le même rôle pour les graphiques qu'à la partie B ?
…...
...
...
...
...
...
…...
...
...
Partie D
On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Z
ntelle que Z
n= X
nσ −μ où X
nest la variable aléatoire de la partie B, μ est l'espérance de X
net σ l'écart-type de X
n.
1. Calculer l'écart-type et l'espérance de Z
n.
…...
...
...
2. On donne n=30. Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs de k au centième) :
Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3
k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...
P(Z
30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...
3. On rappelle que chaque rectangle de l'histogramme :
→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.
→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici une unité).
→ a son aire égale à la probabilité.
a. Vérifier que la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire Z
30est constante.
...
...
b. Compléter alors le tableau suivant, en expliquant comment calculer la hauteur de chaque rectangle :
...
...
...
k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...
Aire du rectang-
le
... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...
Hau- teur du
rec- tangle
... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...
c. Compléter le graphique suivant avec l'histogramme de la loi Z
30.
d. Calculer P(-1,2 ≤ Z
30≤ 0,4).
...
...
...
...
Cours n°1
I) Loi normale centrée réduite Définition n°1
Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance μ vaut … Elle est dite réduite si son écart-type vaut ….
Propriété n°1
La fonction f définie par f(x) = …
√ ... …... est une fonction de densité de probabilité.
Démonstration :
f est …..., p... sur R et ∫
I
f (t )dt =... (admis)
Propriété n°2 : Théorème de Moivre-Laplace (admis)
Soit X
nune variable aléatoire qui suit la loi binomiale b(n;p)
(rappel : n est …... ; p est la probabilité de succès d'un événement élémentaire ; l'espérance d'une variable qui suit b(n;p) est …..., et l'écart-type est np(1-p)).
Soit Z
n= X
n– np
√ np (1− p ) est …... et …...
De plus lim
n→∞
P (a≤ Z
n≤b) = ∫
a
b
1
√ 2 π e
−x2
2
dx
Définition n°2
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :
f(x) = …
√ ... …...
On a alors, pour tous réels a et b tels que a ≤ b, P(a ≤ X ≤ b) =
∫
a
b
...
√ ... e
−...
....
dx
Remarque n°1
f n'admet pas de primitive explicite, on est donc contraint d'utiliser un outils numérique pour déterminer une valeur approchée de P(a ≤ X ≤ b) .
Propriété n°3 :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1).
Alors P(X ≤ -a) = P(X ≥ …).
Démonstration :
La fonction f définie par f(x) = …
√ ... …... est p...
Propriété n°4
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1).
Soit f la densité de probabilité associée.
Alors : E(X)= lim
...→−∞
∫
...
0
... dt + lim
...→+∞
∫
0 ...
... dt V(X)=....
Exemple n°1 : Méthode pour calculer une probabilité avec n (0;1) . Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1).
1. Déterminer a. P(2 ≤ X ≤ 3) Indications : Sur la TI :
– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit «NormalFrep(» et on écrit NormalFrep(...,...,0,1)
Sur la Casio :
– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur DIST puis sur NORM puis Ncd. On écrit alors NormCD(...,...,1,0)
...
(résultat : ≈0,021) b. P(X ≤ 0,7)
Pour n(0;1), P( X ≤ 0 )=...
La calculatrice donne P( 0 ≤ X ≤ 0,7) ≈...
Donc P(X ≤ 0,7) ≈ …...
(résultat : ≈0,758) c. P(X>-0,2)
La calculatrice donne P( -0,2 ≤X ≤ 0)
≈...
P(X>-0,2) = P(-0,2<X<0) + P(...) ≈...+ ...
(résultat : ≈0,579)
2.a. Déterminer t tel que P( X ≤ t)=0,25 Indications :
Sur la TI :
– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit «FracNormale(» et on écrit FracNormale(...,0,1)
Sur la Casio :
– Dans le menu RUN, on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur DIST
puis sur NORM puis InvN. On écrit alors InvNormCD(...,1,0)
...
(résultat : ≈-0,674)
2.b. Déterminer u tel que P(X > u)=0,4 P(X>u)=0,4 <=> P(X ≤ u) =...
...
(résultat : u≈0,2533)
Propriété n°5
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) et α un réel positif plus petit que 1.
Alors il existe un unique réel u
αpositif tel que P( -u
α≤ X ≤ u
α) = 1 – α.
Démonstration (principe)
Théorème de la bijection sur la fonction de densité f.
En particulier :
Si α = 0,05, u
α≈ 1,96 Si α = 0,01, u
α≈ 2,58
Exercice n°1
Ex.17 p.335
Exercice n°2
Ex.18 p.335
Exercice n°3
Ex.23 p.335
Exercice n°4*
Ex.27 p.335
Cours n°2
II) Loi normale (μ n ; σ ²) Définition n°3
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres μ et σ² si Z= X − μ
σ suit la loi normale centrée réduite.
Propriété n°6
Si X suit la loi normale de paramètres μ et σ² , alors : 1) E(X)=....
2) V(X)=...
3) σ(X)=...
4) P(X ∈ [μ – σ ; μ + σ]) ≈ …...
5) P(X ∈ [μ – 2σ ; μ + 2σ]) ≈ …...
6) P(X ∈ [μ – 3σ ; μ + 3σ]) ≈ …...
Exemple n°2 : Méthode pour calculer une probabilité avec n (μ; σ ² ) . 1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi n(7;2
2)
a. Déterminer une valeur approchée au millième de P( 6 ≤ X ≤ 9) :
...
...
(résultat : ≈0,533)
b. Déterminer une valeur approchée au millième de P( X ≤ 10) :
...
...
(résultat : ≈0,933)
2. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi n(6;3
2) a. Déterminer t tel que P( Y < t ) =0,95
...
...
(résultat : ≈10,935)
b . Déterminer u tel que P( Y ≥ u ) =0,1
...
...
(résultat : ≈9,844)
Exercice n°5
Ex.28 p.335
Exercice n°6
Ex.34 p.335
Exercice n°7*
Ex.86 p.340
Exercice n°8*
Ex.89 p.340
Exercice n°9*
Ex.93 p.340
Exercice n°10**
Sujet D p.350
Indices et résultats
Ex. n°1 (Ex.17 p.335): a. 0,136 b. 0,595 c. 0,087 d. 0,566 Ex. n°2 (Ex.18 p.335) : a. 0,683 b. 0,403 c. 0,224 d. 0,764 Ex. n°3 (Ex.23 p.335) : a ≈ 0,396
Ex. n°4* (Ex.27 p.335) : 1 et 2. φ(a)=0,96 3. a ≈ 1,751 Ex. n°5 (Ex.28 p.335) : a. 0,789 b. 0,773 c. 0,401 d.1
Ex. n°6 (Ex.34 p.335) : 1. 45,492 2. 39,712 3. 41,593 4. 37,407 Ex. n°7* (Ex.86 p.340) : 1. 120 km 2.a. 0,525 2.b. 0,858 3.114 Ex. n°8* (Ex.89 p.340) : 9545 fruits sont acceptés, en moyenne.
Ex. n°9* (Ex.93 p.340) : 1. 81,76 % 2. 2,28 % 3. Q
1≈ 2h30 , Q
2= 3h , Q
3≈ 3h30 .
Ex. n°10** (Sujet D p.350) : 1.a. 0,96. 1.d. μ ≈1,93 et σ ≈ 0,10. 2. 621 personnes.
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…...
* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...
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