Terminale STG Centres étrangers juin 2007. Page n ° 1 Mercatique
Exercice 1 ( 6 points, 55 min ).
1. a. Il y a 525 personnes sur 1500 personnes interrogées qui connaissent le commerce équitable.
Or 525
1500 = 0,35 = 35 %.
Donc la proportion de personnes connaissant le commerce équitable est égale à 35 %.
1. b. Il y a 156 personnes âgées de moins de 25 ans sur 1500 personnes connaissant le commerce équitable.
Or 156
1500 = 0,104 = 10,4 %.
Donc la proportion de personnes âgées de moins de 25 ans connaissant le commerce équitable est de 10,4 %.
1. c. Il y a 48 personnes connaissant le commerce équitable parmi les 195 personnes de plus de 60 ans.
Or 48
195 ≈ 24,6 %.
Donc parmi les plus de 60 ans, le pourcentage des personnes connaissant le commerce équitable est proche de 24,6.
1. d. Il y a 156 + 171 personnes âgées de moins de 40 ans connaissant le commerce équitable sur les 525.
Or 327
525 ≈ 62,3 %
Donc parmi les personnes connaissant le commerce équitable, le pourcentage des personnes âgées de moins de 40 ans est proche de 62,3.
2.a. La probabilité conditionnelle de A sachant C correspond à la probabilité parmi les personnes connaissant le commerce équitable des personnes qui connaissent aussi le label AB. Or il y en a 504.
Or 504
525 = 0,96.
Donc pC ( A ) = 0,96
La probabilité conditionnelle de A sachant C correspond à la probabilité parmi les personnes ne connaissant pas le commerce équitable des personnes qui connaissent aussi le label AB. Or il y en a 546.
Or 546
975 = 0,56.
Donc
pC ( A ) = 0,56.
b. Complétons l'arbre de probabilité ci-dessous à l'aide de la propriété :
" la somme des probabilités des chemins issus d'un même nœud est égale à 1 ".
A 0,96
C 0,35
0,04 A A 0,65 0,56
C
0,44 A
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c. p ( A ∩ C ) = pC ( A ) × p ( C ) = 0,96 × 0,35 = 0,336.
p ( A ∩ C ) =
pC ( A ) × p (C) = 0,56 × 0,65 = 0,364.
d. Un journaliste déclare : " 70 % de la population française connaît le label AB ".
p ( A ) = p ( A ∩ C ) + p ( A ∩ C ) = 0,336 + 0,364 = 0,70.
L'affirmation est vraie.
e. p ( A ∩ C ) = 0,336
p ( A ) × p ( C ) = 0,70 × 0,35 = 0,245.
p ( A ∩ C ) ≠ p ( A ) × p ( C ).
Donc les événements A et C ne sont pas indépendants.
Autre méthode : pC ( A ) ≠ p ( A ).
Exercice 2 ( 6 points , 55 min ).
Partie A 1. t =
68839 68839
56628− = − 12211
68839 ≈ − 0,18.
Le taux d'évolution global du nombre d'écoles en France entre les années 1980 et 2004 est proche de − 0,18.
2. a. Une valeur approchée du réel a tel que a7 = 56628
60196 est a ≈ 0,99.
2. b. Le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'écoles en France entre les années 1997 et 2004 est le nombre t qui vérifie ( 1 + t )7 = 56628
60196 ⇔ 1 + t ≈ 0,99 ⇔ t ≈ − 0,01.
3. En admettant qu'à partir de l'année 2004 le taux d'évolution annuel est de − 1 %, Le nombre d'écoles en France en 2008 sera le nombre n qui vérifie
( 1 − 1 % )4 = n
56628 ⇔ n = 56628 × 0,994 ≈ 54397.
Partie B
1. Un ajustement affine de ce nuage est envisageable car les points semblent alignés.
2. On choisit comme ajustement affine de ce nuage, la droite ∆ d'équation y = − 510,6 x + 69 003 obtenue par la méthode des moindres carrés. Par cet ajustement affine, calculer la nouvelle estimation, à l'unité près, du nombre d'écoles en France en 2008.
2008 correspond à x = 28. Donc y = − 510,6 × 28 + 69003 = − 14296,8 + 69003 = 54706,2.
La nouvelle estimation est proche de 54 706.
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Exercice 3 ( 8 points ; 70 min ).
Partie A −−−− QCM
1. f ( 0 ) est égale à : d. 8. Car la courbe de f passe par le point ( 0 ; 8 ).
2. f ' ( 0 ) est égale à : b. 0 Car la tangente à la courbe de f au point ( 0 ; 8 ) est horizontale.
3. Sur l'intervalle [ − 1 ; 4 ] l'équation f ( x ) = g ( x ) a : b. deux solutions
Car les deux courbes se coupent en deux points d'abscisses proches de − 1 et de 1,35.
4. g a pour dérivée : a. ( 0,5x + 1 ) ex ; car g ( x ) = 0,5 ( x + 1 ) ex = ( 0,5x + 0,5 ) ex Donc g ' ( x ) = 0,5 × ex + 0,5 ( x + 1 ) ex = ( 0,5x + 1 )ex
Partie B −−−− Application économique.
1. a. f ( x ) = x e
) 1 x (
8 + Donc f ( 1 ) = 8 × 2 × e-1 = 16
e ≈ 5,886.
1. b. f ( x ) est la quantité en milliers de porte-clés que les entreprises sont prêtes à acheter au prix x.
Donc le nombre de porte-clés ( à l'unité près ) que les entreprises sont prêtes à acheter au prix unitaire de 1 euro est proche de 5 886.
1. c. g ( x ) = 0,5 ( x + 1 ) ex. Donc g ( 1 ) = 0,5 × 2 × e = e ≈ 2,718.
Or g ( x ) est la quantité en milliers de porte-clés que DISTRI-PUB propose au prix x.
Donc au prix unitaire de 1 euro, la société DISTRI-PUB proposera 2 718 porte-clés.
Et 2 718 < 5 886. Donc la société DISTRI-PUB ne peut pas satisfaire à la demande des entreprises.
En utilisant un tableur
1. Dans la cellule C2, on a saisie la formule " =0.5*(A2+1)*exp(A2) "pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les résultats de la colonne C.
Dans la cellule D2, on a saisie la formule " =B2−C2 "pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, le résultat de la colonne D.
2. Dans la cellule A3 on a saisie la formule " =A2+$F$2 ", puis on l'a recopiée vers le bas.
La formule affichée dans la cellule A8 est " =A7+$F$2 ".
3. A partir de ces deux feuilles de calcul, le prix d'équilibre est compris entre 1,38 et 1,39.
Une valeur approchée à 0,01 près du prix d'équilibre est 1,39 euros.
Par le calcul algébrique
1. f ( x ) = g ( x ) ⇔ x e
) 1 x (
8 + = 0,5 ( x + 1 ) ex ⇔ 8 ( x + 1 ) = 0,5 ( x + 1 ) ex × ex ⇔ ( x + 1 ) ( 8 − 0,5 e2x ) = 0
2. Résolvons sur [ 0,5 ; 4 ] l'équation f ( x ) = g ( x ).
f ( x ) = g ( x ) ⇔ ( x + 1 ) ( 8 − 0,5 e2x ) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ou 8 − 0,5 e2x = 0 ⇔ x = − 1 ou 8 − 0,5e2x = 0
⇔ e2x = 16 ⇔ ln ( e2x ) = ln ( 16 ) ⇔ 2x = ln ( 16 ) ⇔ x = 0,5 × ln ( 16 ) = ln ( 16 ) = ln ( 4 ).
La valeur exacte du prix d'équilibre est ln ( 4 ) euros.
Remarque ln ( 4 ) ≈ 1,386.
